精品解析：2024年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考第七次模拟考试数学试题

陕西师大附中2023—2024学年度初三年级 第七次适应性训练数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点，在边上，，，，若点是边的中点，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 直线与直线（，为常数，）关于坐标原点中心对称，若在直线上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，菱形中，，过点作于点，并交于点，过点作于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 0 8 12 12 下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 当时，随着的增大而增大 C. 抛物线与轴的一个交点坐标为 D. 函数的最大值为 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 10. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 _____． 11. 如图，连接正六边形的对角线、、，若，则正六边形外接圆的半径为_________． 12. 已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为_____（请用“”连接）． 13. 如图，点是正方形对角线上的三等分点（靠近点），点、为边上的动点，且，当取最小值时，_________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组：． 16. 解方程：． 17. 如图，已知中，，请利用尺规作图法，在上求作一点D，使得与的周长相等（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、，将向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点，，的对应点分别为，，． （1）请画出； （2）点的坐标为_________；的面积为_________． 20. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）若甲已被选上，则再从其余3人中任意选取1名，恰好选中丁的概率为_________； （2）请用画树状图或列表的方法，求选中的2名宣传员恰好为甲、丙同学的概率． 21. 、两地相距米．甲、乙两机器人分别从、两地同时出发，匀速而行，去往目的地，．图中，分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系． （1）求所在直线的函数表达式． （2）当甲机器人到达目的地时，求此时乙机器人行走的距离． 22. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，现抽取两位同学的六次模拟成绩（满分100分）并进行整理、描述和分析，统计如下：（单位：分） 甲的成绩：90，89，92，89，90，90 乙的成绩：91，85，94，87，91，92 平均数 中位数 众数 甲的成绩 90 90 乙的成绩 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________；_________；_________； （2）甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则_________（填“”“”“”）； （3）应用你所学的统计知识，分析应选哪位同学参加市级信息技术大赛？ 23. 如图，亮亮和聪聪两人在某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水平放置的小平面镜至点处，此时亮亮在小平面镜内恰好看到塔顶，经测量，亮亮的眼睛到地面的距离米，米，米，在点处测得通信塔顶端的仰角为．已知点、、在同一条水平直线上，求塔顶到水平地面的距离．（参考数据：，，，，，） 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，延长至，使得． （1）求证：为的切线； （2）过点作交于点，若的半径，，求的长． 25. 平面直角坐标系中，抛物线：过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题探究 （1）如图①，在矩形中，，，点为的中点，点为边上的动点，沿折叠，点落在点处，求点到边距离的最小值． 问题解决 （2）如图②，某公园一角有一块四边形空地，其中，，，米，米，在边中点处有一地下水源．现计划在四边形内寻找一个合适位置建蓄水池，要求，同时在水流通道中点处安装一喷灌装置，并计划在及区域内种植花卉．为了节约用水，求种植花卉区域面积的最小值（即及面积和的最小值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2023—2024学年度初三年级 第七次适应性训练数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键． 由可求的大小，再结合平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ， ， ， 故选：D． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式法则． 根据单项式乘单项式法则计算即可； 【详解】解： ， 故选：A． 4. 如图，在中，，点，在边上，，，，若点是边的中点，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 先根据勾股定理求出，则，最后根据三角形的中位线定理得出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，点D为中点， ∵点是边的中点， ∴， 故选：B． 5. 直线与直线（，为常数，）关于坐标原点中心对称，若在直线上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标系中点的对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求得直线与坐标轴的交点为和，则其对称点和在直线，再用待定系数法求直线的表达式，把代入即可求解． 【详解】解：当，则， ∴直线与y轴交于点， 当时，，解得， ∴直线与x轴交于点， ∵直线与直线（，为常数，）关于坐标原点中心对称， ∴可得和关于原点对称的点和在直线上， 将和代入 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵在直线上， ∴有， 故选：C． 6. 如图，菱形中，，过点作于点，并交于点，过点作于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、角平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即， 故选：D． 7. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．由邻补角的性质得到，由圆周角定理求出． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 8. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 0 8 12 12 下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 当时，随着的增大而增大 C. 抛物线与轴的一个交点坐标为 D. 函数的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式． 根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：由表格可得，， 解得， ， ∴该抛物线的开口向下，故选项A错误，不符合题意； 该抛物线的对称轴是直线， 当时，随着的增大而增大，故选项B错误，不符合题意， ∵当时，或，抛物线与轴的交点坐标为或， 故选项C错误，不符合题意； 函数的最大值为，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 10. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解． 【详解】解：根据规律可得第七行的规律为 第八行的规律为 ∴根据规律第八行从左到右第三个数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 11. 如图，连接正六边形的对角线、、，若，则正六边形外接圆的半径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，掌握正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．根据正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的外接圆圆心为O，连接，与相交于点， 由对称的性质得：， ， 正六边形， ， ， ， ， ∴，， ∴， 在中，， ， 故答案为：． 12. 已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为_____（请用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 则，，的大小关系为， 故答案为：． 13. 如图，点是正方形对角线上的三等分点（靠近点），点、为边上的动点，且，当取最小值时，_________． 【答案】6 【解析】 【分析】该题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确判断出当取最小值时，点、的位置． 根据题意确定当取最小值时，，画出图象解答即可； 【详解】如图，当时，取最小值， 过P作， 此时， ∵是正方形，点是正方形对角线上的三等分点（靠近点），且， ∴，， 则 ，， 则，， 此时， 故答案为：6． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，涉及零次幂的含义，二次根式的乘法运算，先计算乘方运算，零次幂，二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得； 解②得； 原不等式组的解集为． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得， 整理，得， 解得 经检验，是原方程的根． 17. 如图，已知中，，请利用尺规作图法，在上求作一点D，使得与的周长相等（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 点D为所作． 【解析】 【分析】根据中垂线的性质求解作图即可． 【详解】解：如图所示，的周长为，的周长为，且， ∴满足即可， ∴点D是边的中垂线与的交点， 【点睛】题目主要考查中垂线的性质及作法，熟练掌握中垂线的性质是解题关键． 18. 如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即， 又， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质；首先利用平行线的性质，再证明，即可证明． 【详解】略. 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、，将向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点，，的对应点分别为，，． （1）请画出； （2）点的坐标为_________；的面积为_________． 【答案】（1） 解：如图，为所求， （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-平移作图，点的坐标平移规律，以及割补法求三角形面积． （1）先将A、B、C向左平移1个单位，再向上平移3个单位后的对应点描出来，再顺次连接为，，即可； （2）按照平移规律求解即可得点的坐标为．再根据网格利用割补法求的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为， 的面积为． 故答案为：，． 20. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）若甲已被选上，则再从其余3人中任意选取1名，恰好选中丁的概率为_________； （2）请用画树状图或列表的方法，求选中的2名宣传员恰好为甲、丙同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或者树状图法求概率，掌握列表法或者树状图法是解题的关键． （1）运用概率计算公式即可； （2）利用列表法计算即可． 【小问1详解】 解：∵从其余3人中任意选取1名， ∴恰好选中丁的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 第二个 第一个 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) 共有12种等可能的结果，其中甲、丙同学都被选为宣传员的结果有2种， 所以甲、丙同学都被选为宣传员的概率为． 21. 、两地相距米．甲、乙两机器人分别从、两地同时出发，匀速而行，去往目的地，．图中，分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系． （1）求所在直线的函数表达式． （2）当甲机器人到达目的地时，求此时乙机器人行走的距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握一次函数图象的性质，行程问题中的数量关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，把代入（1）中解析式即可求解． 【小问1详解】 解：设所在直线的函数表达式为， 直线过点，， ， 解得， 所在直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，，（米）， 答：此时乙机器人行走的距离为米． 22. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，现抽取两位同学的六次模拟成绩（满分100分）并进行整理、描述和分析，统计如下：（单位：分） 甲的成绩：90，89，92，89，90，90 乙的成绩：91，85，94，87，91，92 平均数 中位数 众数 甲的成绩 90 90 乙的成绩 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________；_________；_________； （2）甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则_________（填“”“”“”）； （3）应用你所学的统计知识，分析应选哪位同学参加市级信息技术大赛？ 【答案】（1）90；90；91 （2） （3）甲、乙同学成绩的平均数相同，但乙同学成绩的中位数和众数比甲同学高，所以选乙 【解析】 【分析】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． （1）根据平均数的定义直接求出乙的成绩的平均数，再找到乙的成绩的6个数据中出现次数最多的即为的值，将甲成绩的6个数据进行排序，第3和第4个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到成绩的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数、中位数和众数作决策即可． 【小问1详解】 解：乙成绩的平均数， 乙成绩的6个数据中，出现次数最多的是：91， ∴； 将甲成绩的6个数据进行排序：89，89，90，90，90，92； ∴； 故答案为：90；90；91； 【小问2详解】 由折线统计图可知：乙的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 甲、乙同学成绩的平均数相同，但乙同学成绩的中位数和众数比甲同学高，所以选乙 23. 如图，亮亮和聪聪两人在某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水平放置的小平面镜至点处，此时亮亮在小平面镜内恰好看到塔顶，经测量，亮亮的眼睛到地面的距离米，米，米，在点处测得通信塔顶端的仰角为．已知点、、在同一条水平直线上，求塔顶到水平地面的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】20米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的判定与性质，先分析题干得出，，，再得出，然后证明，把数值代入，算出，即可作答． 【详解】解：过点作于点， 由题意知，， 在中，，， 设，则． ，， ， 即， 解得， 则（米）． 答：塔顶到水平面的距离为20米． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，延长至，使得． （1）求证：为的切线； （2）过点作交于点，若的半径，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的直径 ，即， ， ， ，即，即半径， 为的切线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，为的直径可得，进而可得，结合已知可得，进而可得，由切线的判定定理即可得出结论； （2）接，在中，由勾股定理可求，再证明，得，可求，由即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， 是的直径，， 在中，由勾股定理可得， ， ， 为的切线 ， ，即， ， ． 25. 平面直角坐标系中，抛物线：过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，分类讨论，当点位于点左侧时；当点位于点右侧时；根据三角形全等的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解： 存在．由题意得，点，要使得， ∴，，， 点在轴上，， ． 当点位于点左侧时，此时，， 轴， 设点，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 当点位于点右侧， 此时，， 因为在第四象限，，不合题意． 综上所述，的坐标为． 26. 问题探究 （1）如图①，在矩形中，，，点为的中点，点为边上的动点，沿折叠，点落在点处，求点到边距离的最小值． 问题解决 （2）如图②，某公园一角有一块四边形空地，其中，，，米，米，在边中点处有一地下水源．现计划在四边形内寻找一个合适位置建蓄水池，要求，同时在水流通道中点处安装一喷灌装置，并计划在及区域内种植花卉．为了节约用水，求种植花卉区域面积的最小值（即及面积和的最小值）． 【答案】（1）点到边距离的最小值为2；（2）种植花卉区域的最小面积为 【解析】 【分析】（1）根据，点为中点，得出，由折叠知，则点在以为圆心，3为半径的圆上（矩形内部），过点作于点，交于点，过点作于点，则确定当点，，三点共线时，取最小值为，算出即可； （2）过点作于点，则四边形为矩形，证明，在中，算出，，根据四边形为矩形，算出，作丁，于，则、、三点共线，则确定，要使最小，只需取最大值即可．作的外接圆，则点在优弧上，证出，连接，为中点，，算出，取中点，则，连接，则，点在以为圆心，长为半径的圆上．延长交于点，交于点，确定 ，即可解答； 【详解】解：（1），点为中点， ， 由折叠知， 则点在以为圆心，3为半径的圆上（矩形内部）， 过点作于点，交于点，过点作于点， 则 当点，，三点共线时，取最小值为． 四边形为矩形，， ， ， 即点到边距离的最小值为2． （2）过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 又， ， 在中，，． ∵四边形为矩形， ， ， 作丁，于， 则、、三点共线，， 则， 要使最小，只需取最大值即可． 作的外接圆，则点在优弧上， ，则， ， 连接，为中点，， ， ， 取中点，则， 连接，则， 点在以为圆心，长为半径的圆上． 延长交于点，交于点，则， ， 取最小值为， 即种植花卉区域的最小面积为． 【点睛】该题主要考查了圆综合题，主要考查的知识点是矩形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，三角形外接圆，折叠的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $