精品解析：2024年辽宁省鞍山市中考二模数学试题

鞍山市2024年九年级第二次质量调查 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上， 答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，在中，分别交于点，若，则与周长之比是（　　） A. B. C. D. 7. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A B. C. D. 8. 如图，是的直径，弦交于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. “夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中，骑行的距离h（千米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 因式分解：______． 12. “端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为______ ． 13. 如图，在菱形中，分别以C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线，直线恰好经过点A，与边交于点M，连接，若菱形的周长为16，则线段的长是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B都在第一象限，反比例函数的图像经过A，B两点，轴交于点C，与交于点D，若，的面积为1，则k的值为___________． 15. 如图，在平行四边形中，平分，且与边交于点E，，垂足为F，连接，，平分，与交于点H，若，则平行四边形的面积为___________． 三、计算题（本题共10分） 16. 计算： （1）； （2）． 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 一种药品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？ 18. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，网店店主小张打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小张收集了10家网店店主对两家快递公司关于配送速度、服务质量的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度得分（满分10分） 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9； 乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． 服务质量得分统计图（满分10分） 配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 8 n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，比较大小：_____（填“>”，“=”或“<”）； （2）综合上表中的统计数据，你认为小张应选择哪家快递公司作为合作伙伴？请说明理由．（写出两条理由即可） 19. 通过物理学知识知道：光从水射入空气时会产生折射现象，使得眼睛看到的水中物体的像比该物体的实际位置浅．小睿同学站在池塘边，看到池塘底有一块鹅卵石，他想知道鹅卵石的实际位置要比他看到的像深多少？小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决问题，并形成了具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到其实际位置的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 如图，鹅卵石在池底点C处，其像在点C正上方点G处，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得 数据 ， 请你根据上述信息解决以下问题： 求鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：，） 20. 某学习小组同学在数学活动课上研究函数（，b为常数且）的图象性质及应用，请你解答同学们在活动中提出的以下问题： （1）若，，判断点是否在函数图象上，并说明理由？ （2）函数图象有最低点，请直接写出m与n的大小关系； （3）在（2）的条件下，函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若为等边三角形，且的面积为求函数的值． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，． （1）求证： （2）若，，半径为4，求长． 五、解答题 22. 【基本图形】如图1，在中，，，，且B，C，D三点在同一直线上，求证：． 【图形初探】如图2，在中，、，点D为内部一点，连接，若，，求证：． 【拓展探究】如图3，在中，，，点D为外部一点，且，连接，以为邻边作平行四边形，边分别与交于F，H两点，连接与交于点G，若，，求面积． 六、解答题 23. 如图，二次函数图像与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为P，轴，垂足为Q，点C为中点，则直线叫做二次函数的“截中线”． 已知，二次函数的“截中线”与二次函数图象的另一个交点为D，连接，且顶点P在第一象限，； （1）当时； ①若直线的解析式为，求二次函数的解析式； ②求证：是等腰三角形； （2）当时，连接，若为直角三角形，且，求c与a之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鞍山市2024年九年级第二次质量调查 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上， 答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对轴对称图形的认识．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合．其中，这条直线叫做对称轴．据此解答即可． 【详解】解：A，B，D选项中都不能找到一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 只有C选项能找到一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 故选：C． 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，为整数.确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值0时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算和合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法和乘法法则，是解题的关键． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 4. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），可以求得的度数，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ，，， ， ， 故选：A． 5. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求出n的取值范围，即可选择． 【详解】根据题意可知：， ∴． ∴符合题意的选项为D． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式．根据题意可知一元二次方程没有实数根时其根的判别式小于0是解答本题的关键． 6. 如图，在中，分别交于点，若，则与的周长之比是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，求出边的比例即可求出周长的比．根据相似三角形的判断与性质，求出边的比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长之比是； 故选：A． 7. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故选：B． 8. 如图，是的直径，弦交于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. “夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中，骑行的距离h（千米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意列出关系等式是解题关键，根据公式“路程速度时间”，由“夜骑”爱好者匀速骑行，得到这是一个正比例函数，由正比例函数图象的性质即可得． 【详解】解：设“夜骑”爱好者匀速骑行的速度为k， 由题意可得： 这是一个正比例函数，根据正比例函数图象的性质即可知只有A选项符合题意， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】xy2+2xy+x， =x（y2+2y+1）， =x（y+1）2． 故答案为x（y+1）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. “端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子， 根据题意可得：， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，分别以C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线，直线恰好经过点A，与边交于点M，连接，若菱形的周长为16，则线段的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图，菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由作图可知，垂直平分，得到，根据菱形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 中，由勾股定理，得， ， ， 在中，由勾股定理，得， 故答案：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B都在第一象限，反比例函数的图像经过A，B两点，轴交于点C，与交于点D，若，的面积为1，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，图形与坐标，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．由题意设点，得，，，进而可知直线的解析式为：，联立，可得点的坐标为，再根据列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设点， ∵轴交于点C，，则，， ∴，，， 设直线的解析式为：，则，得， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， 则， ∴． 15. 如图，在平行四边形中，平分，且与边交于点E，，垂足为F，连接，，平分，与交于点H，若，则平行四边形的面积为___________． 【答案】289 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合结合角平分线的定义，证明，由直角三角形的特征及等腰三角形的性质证明，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：延长交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， 故答案为：289． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的特征，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 三、计算题（本题共10分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方与立方根，再计算乘除法，然后计算加减法即可得； （2）利用公式法解方程即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 一种药品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？ 【答案】大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶 【解析】 【分析】设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，根据“3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶， 依题意得：， 解得：， 答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，网店店主小张打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小张收集了10家网店店主对两家快递公司关于配送速度、服务质量的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度得分（满分10分） 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9； 乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． 服务质量得分统计图（满分10分） 配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 8 n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，比较大小：_____（填“>”，“=”或“<”）； （2）综合上表中的统计数据，你认为小张应选择哪家快递公司作为合作伙伴？请说明理由．（写出两条理由即可） 【答案】（1）9， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键． （1）根据众数和方差的概念即可解答； （2）综合分析表中的统计量，即可解答． 【小问1详解】 解：将甲数据从小到大排列为：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9； 其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即， 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于， 从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定， 即； 故答案为：9，； 【小问2详解】 解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司． 19. 通过物理学知识知道：光从水射入空气时会产生折射现象，使得眼睛看到的水中物体的像比该物体的实际位置浅．小睿同学站在池塘边，看到池塘底有一块鹅卵石，他想知道鹅卵石的实际位置要比他看到的像深多少？小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决问题，并形成了具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到其实际位置的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 如图，鹅卵石在池底点C处，其像在点C正上方点G处，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得 数据 ， 请你根据上述信息解决以下问题： 求鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：，） 【答案】鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先证明四边形为矩形，解直角三角形，求出，根据，求出，即，设，求出x的值，由求解即可． 【详解】解：， 四边形为矩形 ，， 在中， 在中， 设 答：鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离为． 20. 某学习小组同学在数学活动课上研究函数（，b为常数且）的图象性质及应用，请你解答同学们在活动中提出的以下问题： （1）若，，判断点是否在函数图象上，并说明理由？ （2）函数图象有最低点，请直接写出m与n的大小关系； （3）在（2）的条件下，函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若为等边三角形，且的面积为求函数的值． 【答案】（1）点在的图象上，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知，求出函数解析式，将点代入函数即可证明； （2）根据一次函数的性质即可解答； （3）根据题意，求出，由是等边三角形，利用正切的定义求出，再根据的面积求出，进而得到，代入函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：点在的图象上 ， 解得： 当时， 点在图象上； 【小问2详解】 解：， 互为相反数， 当时，则， 此时，随x的增大而增大，，随x的增大而减小， 函数在处取到最小值； 当时，则， 此时，随x的增大而减小，，随x的增大而增大， 函数没有最小值； 当，函数，函数图象是一条平行于x轴的直线，没有最小值； 综上，时，函数有最小值； 【小问3详解】 解：当时， 则时，，时，， 互为相反数， ， 是等边三角形 在中 ， ， ． 【点睛】本题考查了一函数的性质，坐标与图形，解直角三角形，等边三角形的性质，理解题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，． （1）求证： （2）若，，半径为4，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据得到，推出，即可证明结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，由，推出，进而得到，根据正切，求出，利用勾股定理求出，再根据得到，根据正切，求出，再求出，利用勾股定理即可求解． 小问1详解】 证明：四边形为圆内接四边形， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接 为的直径， 在中， 垂直平分 在中， 在中， ． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、圆的内接四边形，勾股定理、正切的定义，正确作出辅助线是解决此题关键． 五、解答题 22. 【基本图形】如图1，在中，，，，且B，C，D三点在同一直线上，求证：． 【图形初探】如图2，在中，、，点D为内部一点，连接，若，，求证：． 【拓展探究】如图3，在中，，，点D为外部一点，且，连接，以为邻边作平行四边形，边分别与交于F，H两点，连接与交于点G，若，，求的面积． 【答案】基本图形：见解析；图形初探：见解析；拓展探究： 【解析】 【分析】基本图形：由，得到，根据，推出，即可证明结论； 图形初探：过A作交延长线于N，根据，得到，进而得到，由，推出，解直角三角形得到，即可得到，证明，即可得出结论； 拓展探究：过G作交于Q，过A作交延长线于M，由正切的定义得到，设，求，证明，得到，求出，设，根据，即，求出n的值，即可解答． 【详解】基本图形： 证明： ； 图形初探： 过A作交延长线于N， ， 在中， ； 拓展探究： 过G作交于Q，过A作交延长线于M， 在中 设 ， 在中 四边形是平行四边形 在中 在中 在中 设 ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 六、解答题 23. 如图，二次函数图像与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为P，轴，垂足为Q，点C为中点，则直线叫做二次函数的“截中线”． 已知，二次函数的“截中线”与二次函数图象的另一个交点为D，连接，且顶点P在第一象限，； （1）当时； ①若直线的解析式为，求二次函数的解析式； ②求证：是等腰三角形； （2）当时，连接，若为直角三角形，且，求c与a之间的数量关系． 【答案】（1）①；②见解析 （2）为直角三角形时，c与a之间的数量关系为或 【解析】 【分析】（1）①根据题意得，即可得到抛物线的对称轴为直线，进而求出点C的坐标，得到，即可得到，即，代入抛物线解析式求出a的值即可；②过点D作，垂足为， （2）根据题意设，得到，在直线上取点E，使得，过点作交于点F，推出，利用正切的定义得到，求出，将代入，易证点在二次函数的图象上，推出点E与点D重合，分，和，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 ①解：由题意得：， 抛物线的对称轴为直线， 点C，点P横坐标为1， 当时，， ， ， 点为的中点， ， ， 点P在抛物线上， ， ， ； ②证明：过点D作，垂足为， 当时，， ， 为的中点， ， 当时，，即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， ， 解得：， 当时，， ，， 等腰三角形； 【小问2详解】 解：， ， 设， 二次函数的解析式为 当时， ， ， 在直线上取点E，使得，过点作交于点F， ， ，轴 在和中 将代入，即 点在二次函数的图象上 点E与点D重合 当时， 在和中 ， 当时， 在中 ， 综上，为直角三角形时，c与a之间的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图像上点的特征及二次函数图像上点的坐标的特征，二次函数与特殊三角形的综合应用，解直角三角形，熟练掌握分类讨论的思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$