2024年中考数学复习-二次函数的最值问题复习讲义

二次函数的最值问题复习讲义 知识理解与建构 二次函数的最值问题,我们分为两种类型来讨论: 1.区间范围内求二次函数最值 定轴定区间是指函数的区间及对称轴均固定.这种题型的求解相对简单,只需根据函数图象即可判断最大最小值. 定轴动区间是指可以确定函数的对称轴,但其闭区间是不确定的,区间内的函数有变量存在.这类问题主要是考查函数的区间及其对称轴之间的相对位置关系. 定区间动轴是指函数的区间固定,而其对称轴是变化的,此时二次函数的最值也需要进行讨论.讨论情况与定轴动区间相似. 2.实际问题中的二次函数最值 二次函数的最大、最小值常会运用到实际问题中来解决最优化问题.在利用二次函数解实际问题时,应明确在解最值问题时,同样应注意自变量的具体取值范围.最值的转换模式有两种: (1)如果是一个纯代数的问题,涉及最值只有配方; (2)另外一个最值是点和直线的对称问题,在填空、选择题型里出现得比较多. 一般的大题主要是第一种转换模式. 方法剖析与提炼 例1 如图所示是两条互相垂直的街道,且A 地到B 地、C地的距离都是4 千米.现甲从B地走向A 地,乙从A 地走向C 地,若两人同时出发且速度都是4千米/时,问何时两人之间的距离最近? 【解答】设两人均出发了t小时,则此时甲到A地的距离是(4-4t)千米,乙离A地的距离是4t千米,由勾股定理,得甲、乙两人间的距离为: s= . 构建方程,配方,求最值. 所以当 (在0<t≤1的范围内)时,S的最小值为 千米. 【解析】(1)根据实际问题可知:甲、乙两人间的距离为 (2)注意此题中 不是二次函数,但问题本质是求 的最小值(值为8);但需注意的是8不是距离S的最小值,S的最小值是 【解法】函数建模.配方法. 【解释】求最短距离,即求函数最值,需要利用设元表示相关量后构建函数模型,运用配方法来求函数的最值.在求最值过程中要注意自变量的合理选定,求出最值后要注意检验与二次函数最值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 例2 南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆汽车进货价为25 万元,市场调研表明:当销售价为29 万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元.(销售利润=销售价-进货价) (1)求y与x的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围; (2)设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式; (3)每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周销售利润最大?最大利润是多少? 【解答 (3)∵a=-8<0, 考虑是否在取值范围内. 【解析】(1)周销售利润是由每辆汽车的利润与一周销售量之积所确定,它是一个二次函数,从而可求出周销售利润的最大值.(2)注意此类问题的解答,需要对自己的决策做出必要的说明,因此回答问题时要考虑完整. 【解法】函数建模.配方法.代入法. 【解释】求利润的最值问题需要利用设元表示相关量后构建函数模型,运用配方法来求函数的最值.在求最值过程中要注意自变量的合理选定,求出最值后要注意检验与二次函数最值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 例3 (2016 宁波)如图,已知抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点 C,点 B的坐标为(3,0). (1)求m的值及抛物线的顶点坐标; (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点,当 的值最小时,求点 P 的坐标. 【解答】(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线 得: 解得 配方求顶点. (2)如图,连结BC交抛物线对称轴l 于点P,则此时. 的值最小,设直线BC的解析式为 ∵点C的坐标为(0,3),点B的坐标为(3,0), ∴ 将相应点的坐标 代入解析式. 当 时, ∴当 的值最小时,点P 的坐标为(1,2). 【解析】(1)首先把点B 的坐标(3,0)代入抛物线 运用待定系数法求得m的值,继而求得抛物线的顶点坐标. (2)首先连结BC 交抛物线对称轴l 于点 P,则此时. 的值最小,然后运用待定系数法求得直线BC的解析式,继而求得答案. 【解法】数形结合.代入法.待定系数法.配方法. 【解释】首先考虑 的值最小是何种状态,然后作出图形,再运用待定系数法求得直线BC的解析式. 例4 把一边长为 40cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计). (1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子. ①要使折成的长方体盒子的底面积为484cm ,那么剪掉的小正方形的边长为多少? ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长;如果没有,请说明理由. (2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm ,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况). 【解答】(1)①设剪掉的小正方形的边长为 xcm. 则 . 所以剪掉的正方形的边长为 9cm. ②侧面积有最大值.设剪掉的小正方形的边长为xcm,盒子的侧 面积为 ycm ,则y与x的函数关系为: . 所以 . (2)在如图所示的一种剪裁图中,设剪掉的正方形的边长为xcm,则, ∴此时长方体盒子的长为 15cm,宽为10cm,高为5cm. 【解析】(1)①假设剪掉的正方形的边长为xcm,根据题意得出( ,求出 x 的值. ②假设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm ,则y与x的函数关系式为y=4(40-2x)x,利用二次函数最值求解即可. (2)假设剪掉的正方形的边长为xcm,利用折成的一个长方体盒子的表面积为 得出等式方程求解即可. 【解法】解一元二次方程.函数建模.配方法. 【解释】方程建模、函数建模都需要利用设元表示相关量后构建方程或函数模型.求最值需要构建函数模型,运用配方法,而且求最值时要考虑自变量的取值范围. 能力训练与拓展 1.二次函数 当 且 )时,y的最小值为 2m,最大值为 2n,则m+n的值为( ) B.2 2.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后经1.1 秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后 t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则 3.某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一而靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m . 4.有一座抛物线形拱桥(如图),正常水位时桥下河面宽 20m,河面距拱顶4m. (1)在如图所示的平面直角坐标系中,求出抛物线的解析式; (2)为了保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m.问水面在正常水位基础上涨多少米时,就会影响过往船只的航行? 5.某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系:m=140-2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式; (2)要想获得最大利润,每件商品的售价多少最合适?最大利润为多少? 6.某超市以20元/千克购进一批绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y(千克)与销售单价x(元)( 存在如图所示的一次函数关系. (1)试求出y与x 的函数关系式; (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润p元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少? 7.李明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯,他在销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:y=-10x+500. (1)设每月获得的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (2)想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元? (3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于 32元,如果李明想要每月获得的利润不低于 2000元,那么他每月的成本最少需要多少元? 学科网(北京)股份有限公司 $$