2024年中考数学一轮复习 讲义 -求二次函数的解析式

求二次函数的解析式复习讲义 知识理解与建构 一般地，形如 (a,b,c是常数且a≠0)的函数为二次函数，其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 要确定二次函数的解析式，就是要求出解析式中的待定系数，一般方法是把x，y的对应值代入函数解析式，得到方程组，求解即可得.在运用待定系数法求解时，有几个待定系数一般就列几个方程.由于二次函数有三种不同的表达形式，一般式： 交点式： 顶点式： k，所以解题时要注意对所给条件进行分析，然后选用相应的解析式进行求解.若已知函数经过三个点求函数解析式，可把函数解析式设为一般式，代入已知值求出函数解析式；若已知函数的顶点(或最值、对称轴)求函数解析式，可把函数解析式设为顶点式，代入已知值求出函数解析式；若已知函数与x轴的交点求函数解析式，可把函数解析式设为交点式，代入已知值后求出函数解析式. 在实际解题中，还会出现利用实际问题中的数量关系构建二次函数模型，并利用模型解决实际问题，解决时要认真分析题意，找出变量间的数量关系，从而求得二次函数解析式，然后利用二次函数性质解决问题；还可利用函数图象的平移规律来求二次函数的解析式，解答时要理解平移的规律，熟练掌握平移变换的性质，利用“正左负右，正上负下”这一法则求解. 方法剖析与提炼 例1 已知二次函数 当x=0时,y=0;当x=1时,y=2;当x=-1时, 求a，b，c 的值，并写出函数解析式. 【解答】(1)将(0,0),(1,2),(-1,1)代入 可得三元一次方程组 . (2)求解这个方程组，可解得 . (3)将a,b,c的值代入 即可求得二次函数的解析式为 【解析】(1)此类问题是已知函数的三个点求函数解析式，所以可将函数解析式设为一般式，将三个点的坐标值直接代入求出待定系数的值.代入时注意对应，符号不要出错，如将(-1，1)代入时，得( (2)二次函数与y轴交点为(0，c)，所以可得当x=0时，y的值即为c，记住这一结论可为解题带来方便. (3)代入得到的三元一次方程组时，通常将y的值写在方程的右边，x代入后得到的代数式写在左边，注意要求的是a,b,c,而不是x,y. 【解法】此题已知三点坐标，可将函数解析式设为一般式，然后运用待定系数法，将三点坐标直接代入来求解. 【解释】利用一般式求二次函数解析式时，一般有三个待定系数，因此需要有三个已知点坐标，得到三个方程，解出方程中待定系数的值，从而求出函数解析式. 例2 已知二次函数 的图象顶点坐标为(—2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式. 【解答】(1)可设函数的解析式为 可得-m=-2,k=3,代入即得 (2)把(1,0)代入 可得9a+3=0,解得 由此可得解析式为 (3)将上述解析式化为一般式，即为 【解析】(1)此类问题是已知函数的顶点坐标求函数解析式，所以可将函数解析式设为顶点式，代入时注意顶点坐标为(-m，k)，符号不要出错. (2)题目中的条件“顶点坐标为(-2，3)”可有多种表述形式，如：当x=-2时y取最大值为3，或是函数最高点的坐标为(-2，3)，或是函数的对称轴为直线x=-2，等等. (3)求解二次函数的解析式时，最终结果一般要化为一般式. 【解法】此题已知函数的顶点坐标，可将函数解析式设为顶点式，先求得m，k，然后将(1，0)代入，即可得解. 【解释】利用顶点式求二次函数解析式时，要注意顶点的特殊位置，可利用顶点式求解，也可利用一般式中顶点坐标 代入求得待定系数的值，从而求出函数解析式. 例 3 已知抛物线 经过(0.0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式. 【解答】(1)可设函数解析式为 将 代入,可得y=ax(x--12).对比得出b=-12a,c=0. (2)根据顶点纵坐标为3，可得 代入可得 解得 所以抛物线的解析式为 (3)将上述解析式化为一般式，即为 【解析】(1)此类问题是已知函数与x轴交点坐标求函数解析式，所以可将函数解析式设为交点式，然后代入求解. (2)根据(0，0)，(12，0)是函数与x轴的交点，可得对称轴为直线x=6，则可得顶点坐标为(6，3)，由此也可利用顶点式求解. (3)因已知两点坐标与顶点的纵坐标，本题也可直接代入求解，利用一般式求解，只是求解过程较为繁杂. 【解法】(0，0)，(12，0)是函数与x轴的交点，所以可将函数解析式设为交点式，然后将顶点的纵坐标代入求得a，由此可得解. 【解释】利用交点式求二次函数的解析式，实际上运用的是一元二次方程的相关知识，因此两根和与积与系数的关系等知识均可灵活加以运用，从而简化解题过程. 例4 由抛物线 平移，且经过(1，7)，(0，0)的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移得到. 【解答】(1)可设函数解析式为 再将(1,7),(0,0)代入可得 (2)解得c=0，b=2，所以抛物线的解析式为 (3)可将 图象向左平移 个单位，向上平移 个单位，得到 的图象. 【解析】(1)图象的开口大小由|a|决定，|a|越大，图象的开口越小；|a|越小，图象的开口越大.|a|相同则两个图象的形状相同.平移时也可先左右后上下，口决记忆“正左负右，正上负下”. (2)二次函数的图象由点组成，图象的平移即点的平移，所以解决上述问题时还可利用特殊点，如 y= 的顶点坐标为 的顶点坐标为 顶点的平移为向左平移 个单位，向上平移 个单位，即为图象的平移. (3)你能再找个特殊点来试试吗?比如与y轴的交点移动到什么位置了，能求出来吗? 【解法】根据抛物线平移的性质可得解析式二次项系数a不变，由此可将函数解析式设成一般式，然后将(1,7),(0,0)代入,求得b,c的值,从而可得解. 【解释】一次函数图象平移时，一次项系数k不变；二次函数图象平移时要注意二次项系数a不变.解题时还要注意数形结合思想的运用，由此还可求得函数关于坐标对称、关于原点中心对称后的解析式. 例5某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40 元，为提高销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，市场每天可多售2件，问衬衫降价多少元时，能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润. 【解答】(1)设每件衬衫应降价x元，利润为w元.由于每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以降价x元后每天可以售出( 件，此时每件盈利( 元. (2)由题意可得，每天盈利? ,即 即当x=15时,w有最大值为 1250. 【解析】(1)利用二次函数解决实际问题的一般思路：①分析变量关系，用函数关系式表达它们的关系；②运用二次函数的性质求解；③检验结果的合理性. (2)此类问题常见类型有利润、面积、路程等，掌握各种数量关系是解题的关键，解答时需注意实际问题中自变量的取值范围. 【解法】可设每件衬衫应降价x元，然后求出每天相应售出衬衫的件数，利用“利润=每件的利润×售出的件数”得到利润w关于x的函数关系式，由此可得解. 【解释】利用二次函数解决实际问题与利用一元二次方程、不等式解决实际问题的思考方法是类似的，掌握各种数量关系是解题的关键. 能力训练与拓展 1.如果保持抛物线 不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是( ) 2.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水能达到的最大高度为3米，此时喷水水平距离为 米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉喷出水柱的函数关系式是( ) 3.把抛物线 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式是 4.设抛物线 过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线. 上,且点 C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 . 5.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表所示.科学家经过猜想、推测出l与l之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 温度t/℃ -4 -2 0 1 4 植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25 6.已知一个二次函数图象的形状与抛物线 相同，它的顶点坐标是(1，2)，求该二次函数的解析式. 7.如图,已知二次函数 的图象经过原点O((),0),A(2,0). (1)写出该函数图象的对称轴； (2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA'，试判断点 A'是否为该函数图象的顶点. 8.在美化校园的活动中，某兴趣小组的同学想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm. (1)若花园的面积为 求x的值； (2)若在 P 处有一棵树，与墙 CD，AD 的距离分别是 15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值. 9.如图,已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C,点B的坐标为(3,0). (1)求m 的值及抛物线的顶点坐标； (2)点 P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当 的值最小时，求点 P 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$