精品解析：2024年浙江省台州市黄岩区中考数学一模试题

2024年初中毕业生学业适应性考试 数 学 温馨提示： 1． 全卷共4页， 满分 120分， 考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各数中，最小的是 （ ） A. B. 0 C. D. 2024 2. 如图是由五个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是 （ ） A. B. C. D. 3. 随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000 000000千瓦时，数据400 000000 000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查适合采用抽样调查的是（　　） A. 某公司招聘人员，对应聘人员进行面试 B. 调查一批节能灯泡的使用寿命 C. 为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查 D. 对乘坐某次航班的乘客进行安全检查 6. 如图，是等腰三角形，，是钝角．点在底边上，连接，恰好把分割成两个等腰三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动，全程36千米．因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 9. 抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以三角形的三边为边作正方形，，．，相交于点，，相交于点，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6 小题，每小题3 分，共18分） 11. 因式分解：_____ 12. 一副三角板如图位置摆放，顶点 A互相重合，，则的度数是________． 13. 某校组织研学活动，计划从“黄岩两岸三度”“临海山水大峡谷”“三门红色亭旁”“方特主题乐园”“温岭田园牧歌”五个研学基地中随机选一个前往，则选中“黄岩两岸三度”的概率是_______． 14. 在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电功率与电阻成正比，并联电路中，电功率与电阻成反比．如图1，把两个电阻和串联在电路中，与的电功率之比是．如图2，当把它们并联在电路中，的电功率是，则的电功率是________W． 15. 如图，将其中一个内角为的平行四边形纸条沿着两条虚线折叠，外面的轮廓线刚好围成一个正六边形，则原来平行四边形纸条的长边和短边的比值是_______． 16. 点A在一次函数（）的图象上，点B在反比例函数 的图象上．点A，B之间的距离记为k．当时，k的最小值是_______．当k的最小值是0时，则b的取值范围是_______． 三、解答题（本题有8小题， 第17， 18题每小题6分， 第19， 20题每小题8分， 第21，22题每小题10分， 第23， 24题每小题12分， 共72分） 17. （1）计算： （2）解方程组：． 18. 如图，已知，请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，与交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） 19. 如图为小丽家书房一角，书桌上有一盏台灯．台灯支点到桌面的距离长，灯罩长，可绕支点上下转动．现测得，求点到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，， 20. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生总数为_____； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中视力情况为“视力正常”的人数． 21. 强强和佳佳一起去旅游，在某个景点分别乘两个热气球观光．强强坐1号热气球从海拔处出发，以的速度上升．同一时刻，佳佳坐2号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升．设两个热气球上升的时间为，上升过程中达到的海拔高度分别为，． （1）直接写出，关于x的函数表达式； （2）出发后多少时间两个气球所在位置的海拔高度相差? 22. 如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形的周长为 且 求正方形的边长． 23. 图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米． （1）如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； （3）现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 24. 如图1，是半圆O的直径， 点A 是半圆上任一点（不与点B， C重合）， 连接， 点D 是的中点，点E在直径上， 且． （1）求证： ； （2）设半圆半径为3， 求的长度； （3）如图2， 连接， ， ①当点E在半径上时，求证： ； ②当的长度是半径的一半时，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中毕业生学业适应性考试 数 学 温馨提示： 1． 全卷共4页， 满分 120分， 考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各数中，最小的是 （ ） A. B. 0 C. D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：C． 2. 如图是由五个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，从正面观察几何体得到平面图形，画出即可． 【详解】从正面观察得到的平面图形有2行，下面1行有3个正方形，上面1行有1个正方形，且靠左．如图所示． 故选：C． 3. 随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000 000000千瓦时，数据400 000000 000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘法分配律判断A选项、完全平方公式判断B选项、合并同类项判断C选项、幂的乘方进行判断D选项．本题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．2要乘括号里的每一项，即，故A正确； B．根据完全平方公式可得，，故B错误； C．和不是同类项，不能合并，故C错误； D．，故D错误； 故选：A． 5. 下列调查适合采用抽样调查的是（　　） A. 某公司招聘人员，对应聘人员进行面试 B. 调查一批节能灯泡的使用寿命 C. 为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查 D. 对乘坐某次航班的乘客进行安全检查 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查的特点即可求解. 【详解】解：A、某公司招聘人员，对应聘人员进行面试适合采用全面调查； B、调查一批节能灯泡的使用寿命适合采用抽样调查； C、为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查适合采用全面调查； D、对乘坐某次航班的乘客进行安全检查适合采用全面调查； 故选B． 【点睛】此题主要考查统计调查的方法，解题的关键是熟知普查与抽样调查的特点. 6. 如图，是等腰三角形，，是钝角．点在底边上，连接，恰好把分割成两个等腰三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得，设，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用方程去思考问题． 【详解】解：，，恰好把分割成两个等腰三角形， ，，， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ， ， 故选：B． 7. 某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动，全程36千米．因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大巴车原计划的速度与实际速度间的关系，可得出大巴车实际的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合实际比原计划少用10分钟，即可列出关于的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：途中大巴车平均每小时比原计划多走，且大巴车原计划的平均速度为千米时， 大巴车实际的平均速度为千米时． 根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形中线的性质，解题的关键是根据三角形中线的性质得阴影部分的面积． 【详解】解：连接等边边上的三等分点，如图： 设，由题意可知，9个小三角形的面积相等，则，故①符合题意； ∵，则， ∴，故②符合题意； ∵，则，同理，， ∴，故③符合题意； 故选：D． 9. 抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：C． 10. 如图，在中，，分别以三角形的三边为边作正方形，，．，相交于点，，相交于点，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形性质得，，，则，进而可依据“”判定和全等，由此可对选项进行判断；设，，，则，，根据得，则，假设，则，由此得，根据已知条件无法判定，由此可对选项进行判断；连接，证四边形为平行四边形得，在中由勾股定理得，由此可对选项进行判断；证得，即，，证得，即，则，进而得，由此得，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：四边形，，均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， 故选项正确，不符合题意； 设，，， 四边形，，均为正方形， ，， ， ， ， 假设， ， ， 根据已知条件无法判定， 假设是错误的， 故选项B是错误的，符合题意； 连接，如下图所示： ，， ， 根据正方形的性质得：，，， ， 四边形为平行四边形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故选项正确，不符合题意； 根据正方形性质得：，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，三角形的面积进行计算是解决问题的关键． 二、填空题（本题有6 小题，每小题3 分，共18分） 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 一副三角板如图位置摆放，顶点 A互相重合，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到．本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质求出的度数， 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13. 某校组织研学活动，计划从“黄岩两岸三度”“临海山水大峡谷”“三门红色亭旁”“方特主题乐园”“温岭田园牧歌”五个研学基地中随机选一个前往，则选中“黄岩两岸三度”的概率是_______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，掌握概率的计算公式，即“一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率”，是解题关键． 【详解】解：从“黄岩两岸三度”“临海山水大峡谷”“三门红色亭旁”“方特主题乐园”“温岭田园牧歌”五个研学基地中随机选一个前往，共有5种等可能的结果，选中“黄岩两岸三度”有1种结果，故选中“黄岩两岸三度”的概率为， 故答案为：． 14. 在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电功率与电阻成正比，并联电路中，电功率与电阻成反比．如图1，把两个电阻和串联在电路中，与的电功率之比是．如图2，当把它们并联在电路中，的电功率是，则的电功率是________W． 【答案】45 【解析】 【分析】根据两个电阻在串联时与其电功率成正比、在并联时与其电功率成反比求解即可．本题考查了反比例函数，解题的关键是理解“正比”与“反比”的含义． 【详解】解：根据题意知，两个电阻串联时，电阻与电功率成正比，则两电阻之比等于其消耗功率之比． ∵与之比是． ∴设与并联时，各自的电功率为 与，则， ∵根据并联时电阻与电功率成反比， ， ， 即的电功率为． 故答案为：45． 15. 如图，将其中一个内角为的平行四边形纸条沿着两条虚线折叠，外面的轮廓线刚好围成一个正六边形，则原来平行四边形纸条的长边和短边的比值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查正六边形性质，平行四边形性质等．根据题意设正六边形边长是，继而得到原平行四边形短边为，长边为，即可求得本题答案． 【详解】解：设正六边形边长是， 由图可得，原平行四边形短边为，长边为， ∴原来平行四边形纸条的长边和短边的比值为：， 故答案为：4． 16. 点A在一次函数（）的图象上，点B在反比例函数 的图象上．点A，B之间的距离记为k．当时，k的最小值是_______．当k的最小值是0时，则b的取值范围是_______． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象及性质，根据题意可得当时，一次函数为，反比例函数为，继而求得俩函数交点为，即可求出k的最小值，第二空利用有交点联立方程组即为，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数为：，反比例函数为：， ∴，解得：， ∴俩函数交于点时距离最小，即k的最小值为0， ∵k的最小值是0时， ∴，整理得：， ∴，即：， ∵， ∴， 故答案为：0，． 三、解答题（本题有8小题， 第17， 18题每小题6分， 第19， 20题每小题8分， 第21，22题每小题10分， 第23， 24题每小题12分， 共72分） 17. （1）计算： （2）解方程组：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值，算术平方根和有理数的乘方进行计算，再算加减即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 18. 如图，已知，请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，与交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，根据作角平分线的方法作图即可．熟练掌握各种尺规作图的方法是解题关键． 【详解】解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交点，即为所求． 19. 如图为小丽家书房一角，书桌上有一盏台灯．台灯支点到桌面的距离长，灯罩长，可绕支点上下转动．现测得，求点到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，， 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， 在中，， ， ， 点到桌面的距离约为． 20. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生总数为_____； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中视力情况为“视力正常”的人数． 【答案】（1）200 （2） 补全条形统计图如下： （3）1350人 【解析】 【分析】（1）由“视力正常”人数及其所占百分比可得总人数； （2）用（1）的结论乘可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）用3000乘样本中视力正常的人数所占比例可得答案． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 【小问1详解】 解：所抽取的学生人数为：（人）． 故答案为：200； 【小问2详解】 解：样本中“中度近视”的人数为：（人， “高度近视”的人数为：（人， 补全条形统计图略； 扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1350人． 21. 强强和佳佳一起去旅游，在某个景点分别乘两个热气球观光．强强坐1号热气球从海拔处出发，以的速度上升．同一时刻，佳佳坐2号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升．设两个热气球上升的时间为，上升过程中达到的海拔高度分别为，． （1）直接写出，关于x的函数表达式； （2）出发后多少时间两个气球所在位置的海拔高度相差? 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据1号热气球从海拔处出发，以的速度上升，可得；由2号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升，得； （2）根据两个气球所在位置的海拔高度相差，结合（1）可得或，即可解得答案． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【小问1详解】 解： 号热气球从海拔处出发，以的速度上升， ； 号热气球从地面（海拔出发，以的速度上升， ； 【小问2详解】 解：依题意，两个气球所在位置的海拔高度相差， 或， 解得或， 出发或，两个气球所在位置的海拔高度相差． 22. 如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形的周长为 且 求正方形的边长． 【答案】（1） 解：四边形是菱形，理由如下： 连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，由正方形的性质可得，，，然后根据菱形的判定方法可得答案； （2）根据菱形的性质可得，设，则，利用勾股定理及正方形的性质可得答案． 此题考查的是正方形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， 菱形的周长， ， 设，则， 在中，， ， ，（舍去）， ， ， 故正方形的边长为． 23. 图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米． （1）如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； （3）现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【小问1详解】 解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； 【小问2详解】 解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； 【小问3详解】 解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 24. 如图1，是半圆O的直径， 点A 是半圆上任一点（不与点B， C重合）， 连接， 点D 是的中点，点E在直径上， 且． （1）求证： ； （2）设半圆半径为3， 求的长度； （3）如图2， 连接， ， ①当点E在半径上时，求证： ； ②当的长度是半径的一半时，直接写出 的值． 【答案】（1） 证明：四边形内接于， . ， ， . . （2） （3） ①证明： 如图2， 过点A作于点G. 由 (1) 可得， . 在中， 根据勾股定理得， ， 在中， 根据勾股定理得， ②或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补及等角的补角相等证明即可得结论. （2）连接，相交于点 F. 根据勾股定理得，证明是的中位线，根据勾股定理得结论； (3) ①在中， 根据勾股定理得，在中， 根据勾股定理得， 即可得结论； ②当点E在上时，如图，作于M，作于N，证明， ，得，设的半径为，则，，，在中，， 在中，， 得； 当点E在上时，如图，作于M，作于N，同理可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 如图1， 连接，相交于点 F. 由 (1) 得. ， 半圆半径为3， ，. 是半圆O的直径， . 在中， 根据勾股定理得， 是 的中点， 点F是的中点， 是的中位线， ，. 在中， 根据勾股定理得， ； 【小问3详解】 ①略 当点E在上时，如图，作于M，作于N， ， 是 的中点， ， ， ， ，即， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ； 当点E在上时，如图，作于M，作于N， ， 是 的中点， ， ， ， ，即， ， ， ， 设的半径为，则 ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形对角互补的性质及相似三角形的判定和性质，圆心角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用圆心角定理及相似三角形的判定和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $