精品解析：辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题

2023—2024学年下学期期中测试　高二年级　数学学科 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】D 【解析】 分析】根据条件求出公差，再利用等差数列求和公式求出. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 所以， 故选：D. 2. 下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ） A. 光照时间与大棚内蔬菜的产量 B. 举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 C. 某正方形的边长与此正方形的面积 D. 人的身高与体重 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量间的相关关系和函数关系判断即可. 【详解】C中的两个变量之间是确定的函数关系，A，B，D中的两个变量之间的关系都是相关关系. 故选：C 3. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商导数运算法则求解即得. 【详解】由得，， 所以. 故选：A 4. 已知等比数列满足，记，则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】A 【解析】 【分析】求出等比数列的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义判断作答. 【详解】依题意，等比数列的通项公式， ，， 由知，时，数列是递增的，时，数列是递减的， 于是得数列的最大项为，而n为奇数时，，n偶数时，， 所以和分别是数列的最大项和最小项. 故选：A 5. 已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数极小值点的意义判断作答. 【详解】是函数的极小值点，当且仅当是定义域内的点，并且在左侧邻近区域的导数，在右侧邻近区域， 即函数在左侧邻近区域单调递减，其图象下降，在右侧邻近区域单调递增，其图象上升， 显然，图形中的与都满足上述条件，即与都是极小值点； 在左右两侧邻近区域的图象都上升，即不是极值点，在左侧邻近区域的图象下降，而在右侧邻近区域的图象水平，不是极值点， 所以的极小值点的集合为. 故选：B 6. 设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质，与的关系，等差中项的性质，前项和公式逐一分析即可； 【详解】因为是等差数列的前n项和， 由， 由， 设公差为，则， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，再令，求出，再代值计算即可 【详解】 解得： 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握常见导数的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8. 已知等比数列满足若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数证出，再利用等比数列的通项公式即可得出结果. 【详解】构造函数（），则， 令，解得； 令，解得；令，解得； 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 所以，则， 所以，即， 因为，所以等比数列的公比， 若，则， 此时，这与矛盾； 若，，， ，即. 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的定义和正态分布曲线的对称性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，表示均值，即，A正确； 对于B，表示方差，即，B错误； 对于C，为正态分布曲线的对称轴，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为（） A. 是奇函数 B. 0是的极值点 C. 在区间上有且仅有三个零点 D. 的值域为R 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定A项正确；利用导数求得函数在区间上的单调性和，可判B、C不正确，根据函数的解析式和三角函数的性质，可判定D正确的. 【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由， 所以函数为奇函数，所以A项正确； 又由 当时，，函数单调递增； 时，，函数单调递增， 所以不是函数的极值点，所以B不正确； 又由，所以函数在区间上有且仅有一个零点，所以C不正确； 例如当时，可得，当且，， 当时，可得，当且，， 由函数，，当，， 由此可得函数的值域为，所以D是正确的. 所以正确的选项为AD. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列出数列前几项，可计算AB；由可计算CD. 【详解】对于A，由题意，数列的前7项为：1，1，2，3，5，8，13，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由题意，， 所以， ，，，，， 所以，故C正确； 对于D，由C可知， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，其中15小题第一空2分，第二空3分，共15分） 12. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算，当时，即可求值. 【详解】， ， . 故答案为： 13. 在首项为1的数列中，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先用累加法求出，再用错位相减法求和结合即可解出. 【详解】因为， 所以， ， ， ， 以上各式相加得：， 令，① ，② 错位相减：有，， 即， 所以， 又因为，所以有，所以, 检验时，符合上式，所以. 故答案为： 14. 数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.（1）若，则的峰值为___________（2）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________ 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】令，利用数列的函数特性，可判断函数的单调性及最值问题；若，且不存在峰值，从而求出实数的取值范围. 【详解】令开口向下，且对称轴为，但由于，所以时，，所以对于任意的，都有，所以的峰值为； 因为，且不存在峰值，令， ①数列是满足且，其中，），故，即，所以实数的取值范围是； ②数列存在两个最大项，则，即； 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：；或. 三、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列首项为2，等差数列的前n项和为，且，，． （1）求，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为q，数列的公差为d．依题意求出，即可求出公比，从而求出的通项公式，再根据，得到方程组，求出和，即可求出； （2）由（1）可得，再利用等比数列求和公式计算可得； 【小问1详解】 解：设数列的公比为q，数列的公差为d． 由，，得，∴．∴． 由得解得 ∴． 【小问2详解】 （2）由（1）知，， ∴， ∴数列的前项和． 16. 年卡塔尔世界杯即将于月日开幕．某球迷协会欲了解会员是否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为，统计得到如下列联表： 前往现场观看 不前往现场观看 合计 女性 男性 合计 （1）求，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？ （2）用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看的会员中随机抽取人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于人的概率． 附：，其中． 【答案】（1），不能认为是否前往现场观看比赛与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算的值，由此作出判断； （2）根据题意设抽到女性人数为，且服从二项分布，按照二项分布概率可得结果. 【小问1详解】 由已知数据，知男女会员人数之比为，因此，根据分层随机抽样， 抽取男会员人，女会员人，故． ∵， 由于，根据小概率值的独立性检验， 不能认为是否前往现场观看比赛与性别有关． 【小问2详解】 记抽到的人中，女性人数为，由题意， ∴， 即在访谈者中，女性不少于人的概率为． 17. 已知数列的前n项和为，满足，且为，的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用求出即可； （2）令，利用裂项相消法即可求出数列的前前n项和，即，再结合函数的单调性求出的范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，① 当时，，② ①②得，化简可得，， 且当时，满足上式， 所以数列是公差为2的等差数列， 由题可得，故，解得， 所以，； 【小问2详解】 令， 所以 ， 由，，所以，所以， 又函数在上单调递增，所以， 综上. 18. （1）求函数的极值． （2）已知曲线，求曲线过点的切线方程． （3）讨论函数，的单调性 【答案】（1）极小值-1；（2），；（3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值即可； （2）分点为切点和点不是切点两种情况，分别求切线方程； （3）对函数求导，根据导数，分、、三种情况，结合二次函数的开口方向，根的正负大小讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）因，所以， 令，即，即，解得，， 1 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 所以时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以函数在时有极小值，，无极大值. （2）令，所以，， 当为切点时，直线斜率，此时切线方程为， 即； 当不是切点时，设切点为，此时切线的斜率， 又因为，根据导数的几何意义有，， 所以，整理有，① 又在曲线上，所以，② 联立①②，有， 整理得，，解得或（舍）， 将代入①，解得，所以切点为，又切线过点， 所以切线方程为，整理有：. 所以曲线过点的切线方程为，. （3）因为，所以， 即， 当时，，令，解得， 所以时，，所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增； 当时， ， 令，， 当时，令，则，， 所以方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， 所以不在定义域内， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 时，当时，即时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当，即时，方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， ，又因为，， 所以当时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减； 综上所述：时， 在是单调递减，在单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增 时，在和上单调递减， 在上单调递增； 时，在单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题讨论函数的单调性，结合导数的形式，利用判别式和利用韦达定理判断出根的个数与正负，分情况进行讨论. 19. 集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”. （1）判断集合、是否为“好集合”； （2）若集合是“好集合”，求的值； （3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）为“好集合”，不是“好集合”，理由见解析；（2）；（3）最大值为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）写出集合、所对应的集合、，结合“好集合”的定义判断可得出结论； （2）将集合所对应的集合写出来，将集合中的元素由小到大依次排列，根据等差数列的定义可求得实数的值； （3）利用反证法证明出当时，通过“好集合”的定义推出矛盾，结合（2）中的结论可得结果. 【详解】（1）集合对应的集合，故集合为“好集合”. 集合对应的集合，集合的元素个数为，且， 故集合不是“好集合”； （2）集合对应的集合，且， 集合中的元素由小到大排列的顺序为、、、、、或、、、、、， 若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为， 所以，，解得； 若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为， 则，不合乎题意. 综上所述，； （3）“好集合”中元素个数存在最大值，理由如下： 由（2）可知，即为“好集合”，以下证明都不是好集合. 不妨设，记， 集合中所有元素从小到大排列为，构成的等差数列的公差为， 显然，，. 第一步，证明“好集合”的元素个数. （反证法）假设，以下分和两种情况进行讨论. ①若，可得，所以，，， 所以，，，， 在此后的两项和中，最小， 所以，，可得， 余下的项中，和较小，因为， 所以，，，则， 而，这与“集合中的元素个数为”矛盾； ②若，则，，余下的项中，和较小. （i）若，则，所以，， 这与“集合中的元素个数为”矛盾； （ii）若，则，， 在此后的两项之和中，最小， 所以，，所以，， 同理可得，所以，，这与“集合中的元素个数为”矛盾. 综上，假设不成立，所以，. 第二步，证明也不合乎要求. 当时，显然，，，，， 所以，，则，， 故，，， 因为，所以，、、、成等差数列，故， 这与“集合中的元素个数为”矛盾. 综上所述，“好集合”中的元素个数存在最大值. 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年下学期期中测试　高二年级　数学学科 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 2. 下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ） A. 光照时间与大棚内蔬菜的产量 B. 举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 C. 某正方形的边长与此正方形的面积 D. 人的身高与体重 3. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列满足，记，则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 5. 已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（ ） A B. C. D. 6. 设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列满足若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为（） A. 是奇函数 B. 0是极值点 C. 在区间上有且仅有三个零点 D. 的值域为R 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，其中15小题第一空2分，第二空3分，共15分） 12 已知函数，则__________． 13. 在首项为1的数列中，则______ 14. 数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.（1）若，则的峰值为___________（2）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________ 三、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列的首项为2，等差数列的前n项和为，且，，． （1）求，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 年卡塔尔世界杯即将于月日开幕．某球迷协会欲了解会员否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为，统计得到如下列联表： 前往现场观看 不前往现场观看 合计 女性 男性 合计 （1）求，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？ （2）用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看的会员中随机抽取人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于人的概率． 附：，其中． 17. 已知数列的前n项和为，满足，且为，的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，证明：． 18. （1）求函数的极值． （2）已知曲线，求曲线过点的切线方程． （3）讨论函数，的单调性 19. 集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”. （1）判断集合、是否为“好集合”； （2）若集合是“好集合”，求的值； （3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $