2024年中考数学一轮复习 讲义-平行四边形的判定定理及其应用

平行四边形的判定定理及其应用复习讲义 题型 A 有关 “判定定理论证型”的应用问题 知识点概述 平行四边形的判定： ① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【解说】 (1)论证平行四边形的判定定理的主要依据是平行四边形的定义：两组对边互相平行的四边形是平行四边形. (2)由三角形全等证得对应角相等，进而证出两组线段平行. 【例1】 证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知:AD∥BC,AD=BC.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 【解析】 如图8-1-16,在△ADO 和△BCO中,因为AD∥BC,所以∠1=∠2,∠3=∠4.又因为AD=BC,所以△AOD≌△COB.所以AO=OC,DO=BO.又因为∠AOB=∠COD,所以△AOB≌△COD.所以∠ABD=∠CDB,所以AB∥CD,所以四边形 ABCD 是平行四边形. 【例2】 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知:AO=OC,BO=OD.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 【解析】 如图8-1-16,在△AOD 和△COB 中,因为AO=OC,BO=OD.又因为∠AOD=∠BOC,所以△AOD≌△COB 所以∠1=∠2.所以AD∥BC.同理可证△AOB≌△COD,所以∠ABD=∠CDB,所以AB∥CD.所以四边形 ABCD 是平行四边形. 【例3】 证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知:AD=BC,AB=DC.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 【解析】 如图8-1-16,在△ABC 和△CDA 中,因为AD=BC,AB=CD. 又因为AC=AC,所以△ABC≌△CDA,所以∠1=∠2.所以AD∥BC. 同理可证△ABD≌△CDB,所以∠ABD=∠BDC,所以AB∥CD. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 【例4】 证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知:∠A=∠C,∠B=∠D.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 【解析】 如图8-1-17,在四边形ABCD中, 因为∠A+∠C+∠B+∠D=360°.又因为∠A=∠C,∠B=∠D, 所以∠A+∠B=180°,所以AD∥BC. 同理可证∠A+∠D=180°,所以AB∥CD. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 题型B 有关 “传统解证型”的应用问题 知识点概述 这是依据平行四边形的性质定理或判定定理解证的一类问题，其中题设及结论都是传统标准型的结构特征. 【解说】 (1)解此类问题主要依据平行四边形的性质定理、判定定理，并借助平行线三线八角性质定理. (2)平行四边形的判定是新课标下最重要的内容之一，应仔细观察题给条件特征，选择适当的方法进行证明： ① 一般地，若题设与四边形的对角有关，可采用两组对角分别相等的方法； ② 一般地，若题设与四边形的边有关，可采用一组对边平行且相等或两组对边分别相等(或平行)的方法——前者是应用最广泛的判定定理，因而，一般地，这是判定平行四边形的首选判定依据；后者是依据平行四边形的定义的判定，注意平行线的判定以及三角形中位线性质定理的应用；常常结合三角形全等，证明线段相等. ③ 一般地，若题设与四边形的对角线有关，可采用对角线互相平分的方法——题给图形中画有两条(不是一条)对角线时，首选该定理判断之. 题型B﹣I “两组对边互相平行”解证型问题 【例5】 已知:如图8﹣1﹣18,在平行四边形ABCD 中,AE、CF 分别是 ∠BCD 的平分线.求证：四边形 AFCE 是平行四边形. 【解析】 证法 1:因为四边形AFCE 中,已有CE∥AF,所以须证 AE∥CF.因为AE平分∠DAB,所以 同理， 因为∠DAB=∠BCD,所以∠1=∠2. 又因为DC∥AB,所以∠2=∠3,所以∠1=∠3, 所以AE∥CF.又因为CE∥AF,所以四边形AFCE 是平行四边形. 证法2：因为题设与四边形的对角有关，所以可考虑证两对角相等. 由证法1知,∠1=∠2,又因为 所以∠4=∠5.所以四边形AFCE 是平行四边形. 题型B﹣2 “一组对边平行且相等”解证型问题 【例6】 如图8-1-19,已知平行四边形ABCD 中,E、F 是对角线BD 上的两点,=DF,点G、H 分别在BA 和DC 的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG. 求证：四边形GEHF 是平行四边形. 【解析】 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CD,AB∥CD,所以∠GBE=∠HDE.又因为AG=CH,所以BG=DH.又因为BE=DF,所以△GBE≌△HDF.所以GE=HF,∠GEB=∠HFD,所以∠GEF=∠HFE(等角的补角相等),所以GE∥HF,所以四边形GEHF 是平行四边形. 题型B-3 “两组对边相等”解证型问题 【例7】 已知:如图8-1-20,△ACD、△AFB、△BEC 均为等边三角形.求证:四边ADEF 为平行四边形. 【解析】 注意到题设条件与对角线、对角没有什么关系，因而可，而EF、AD 所在的三角形不可能全等，因AD=,可考虑证△CAB 与△BEF 全等. 因为∠1+∠2=60°,∠3+∠2=60°,所以∠1=∠3. 又BA=FB,CB=BE,所以△CAB≌△EFB.所以AC=EF. 因为△ACD 是等边三角形,所以AC=AD.所以AD=EF. 同理,△ABC≌△DEC.所以AB=DE,所以AF=DE. 所以四边形 ADEF 为平行四边形. 题型日–4 “两组对角相等”解证型问题 【例8】 如图8-1-21,已知四边形ABCD 中, ∥DF.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 【解析】 由于题给条件只有角的数量关系，没有边的关系，因而 因为 所以∠1+∠3=68°,∠2+∠4=68°, 所以 所以∠A=∠C. 因为BE∥DF,所以. 所以∠2+∠EBF=∠ABC=30°+38°=68°, 所以∠1+∠EDF=∠CDA=30°+38°=68°,所以∠ABC=∠CDA. 所以四边形 ABCD 是平行四边形. 题型B-5 “对角线互相平分”解证型问题 【例9】 已知,如图8-1-22,平行四边形的对角线AC 和BD 相交于点O,AE⊥BD于E,BF⊥AC 于F,CG⊥BD 于G,DH⊥AC 于H.求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 【解析】 注意到题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，与四边形 EFGH 对角线有关,因而证OE=OG,OF=OH 即可. 因为 AE⊥BD,CG⊥BD,所以∠AEO=∠CGO.又因为∠AOE=∠COG,OA=OC,所以△AOE≌△COG,所以OE=OG. 同理,△BOF≌△DOH,所以OF=OH.所以四边形 EFGH是平行四边形. 题型 C 有关 “性质判定综合证明型”的应用问题 知识点概述 这是一类借助平行四边形性质及判定定理，但不构造平行四边形的基础证明型问题. 【解说】 (1)此类问题大都是平行四边形性质定理与判定定理的综合应用，其证题模式是：“因为四边形ABCD 是平行四边形，所以‘对边平行’或‘对边相等’或‘对角线互相平分’或‘对角相等’.又因为……，所以……，所以四边形※※※※是平行四边形”. (2)常常结合三角形全等证出角度、线段相等，从而导出新的平行四边形，进而导出题给结论. 【例10】 如图8-1-23所示,E、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD、BC上的点,且 AE=CF. (1) 求证:△ABE≌△CDF; (2) 若M、N 分别是BE、DF 的中点,连接MF、EN,试判断四边形 MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论. 【解析】 (1) 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=CD,∠A=∠C.又因为AE=CF,所以△ABE≌△CDF. (2)由(1)知△ABE≌△CDF,所以BE=DF,∠ABE=∠CDF.又因为BM=ME,DN=NF,所以ME=NF,所以∠EDN=∠FBM. 又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD=BC,又因为AE=CF,所以DE=BF. 在△BFM 和△DEN 中,BF=ED,∠FBM=∠EDN,BM=DN, 所以△BFM≌△DEN.所以MF=EN.所以四边形MFNE 是平行四边形. 题型D 有关 “构造平行四边形证明型”的应用问题 知识点概述 这是一类构造平行四边形进行解证的应用问题. 【解说】 (1)符合平行四边形性质特征模型，常见的是作线段的平行线，尤其是题给条件有两条线段的中点时，往往须构造平行四边形解证，其证明结论涉及：线段相等、线段不等、线段互相平分、线段倍分以及线段平行等. (2)证明线段相等可以借助平行四边形性质，而不必依据“全等三角形法”. 题型D--I 证明线段相等问题 【例11】(一组对边平行且相等判定型问题) 已知△ABC 中，AD 为高.分别以AB、为边向形外作正方形ABEF、ACGH. DA 延长线交 FH 于M,如图 8-1-24 所示.求:FM=MH. 【解析】 证法 1(构造平行四边形) 过点 F 作 FQ∥AH 交延长线于Q,连接QH.所以∠QFA+∠FAH=180°.又因为∠BAC+∠FAH=180°,所以∠QFA=∠CAB.因为∠ABD+∠BAD=90°,∠FAQ+∠BAD=90°,所以∠FAQ=∠ABD.所以△FAQ≌△ABC. 所以FQ=AC=AH,所以四边形AHQF 是平行四边形. 所以FM=MH. 证法 2(构造全等三角形) 过点 F、H 分别作DA 的垂线，垂足为 X、Y. 易证△AHY≌△CAD,△FAX≌△ABD.所以FX=HY=AD. 所以△FXM≌△HYM.所以FM=MH. 题型D﹣2 证明线段互相平分问题 【例12】(对角线互相平分判定型问题) 如图 8-1-25 所示，已知点 O 是四边形的对角线AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形，求证：OEAD 互相平分. 【解析】 因为四边形 OCDE 是平行四边形,所以 OC∥DE,且=DE.又因为AO=OC,所以AO=DE 且AO∥DE.连接AE、，所以四边形AODE 是平行四边形，所以OE 与AD 互相平分. 题型D﹣3 证明线段平行问题 【例13】 如图8-1-26所示,AB、CD 相交于点O,AC∥BD,AO=BO,E、F分别为、OD 的中点,连接AF、BE,求证:AF∥BE. 【解析】 连接AD、CB.在△AOC 和△BOD 中,因为AC∥BD,所以∠ACO=∠BDO,∠CAO=∠DBO,又因为AO=BO,所以△AOC≌△BOD.所以AC=BD. 所以四边形ACBD 是平行四边形.所以OC=OD.又因为DF=FO,OE=EC,所以OF=OE.连接AE、BF,所以四边形 AEBF 为平行四边形,所以AF∥BE. 题型E 有关 “新型解证型”的应用问题 知识点概述 开放型、探究型、猜想型及结合几何变换、结合函数知识等，这是一类改变了传统型的题设及结论的结构特征，降低了证明难度，增加了对题意的理解能力的应用问题. 【解说】 (1)“转化思想”的应用，剥去“新衣”，转化为传统型的解证问题. (2)综合型的平行四边形问题其解法因题而异.如“存在型问题”一般须通过认真观察，仔细分析，确定题设结论存在的条件，这个条件可能存在，也可能不存在. “猜想问题”关键要抓住猜想的思维方向，如猜想线段之间的关系，无非须从：① 位置，② 数量，两个方面入手，通过观察可得出“猜想结论”，然后再加以证明. 【例14】 如图8-1-27所示,在平行四边形 ABCD 中, 是对角线 BD的八等分点，你能否从七个点中选取两点，使得以这两点及点 A、C 为顶点的四边形为平行四边形?若可以，请写出一个并给予证明；若不可以，请说明理由. 【解析】 可以，四边形AP₁CP₇为平行四边形.理由如下： 因为平行四边形 ABCD 中,A ，所以∠ABD=∠CDB.又 所以 所以AP₁=CP₇,∠AP₁B=∠CP₇D,所以∠AP₁D=∠CP₇B,所以AP₁∥CP₁,所以四边形AP₁CP₇ 为平行四边形. 题型 F 有关 “面积解证型”的应用问题 知识点概述 这是一类须添加辅助线解证平行四边形面积的应用问题. 【解说】 (1)非规则图形面积=规则图形面积的和(差). (2)有关平行线或平行四边形的面积问题常常需要进行等积变换. 【例15】 如图8﹣1﹣28,平行四边形ABCD 中,M是BC 的中点,且AM=9,BD=，AD=10，则该平行四边形的面积是 . 【解析】 延长 DA 到点E,使AE=BM,则四边形AMBE 为平行,BE=9,BD=12,DE=15.所以 所以∠DBE=90°.所以 所以S平行四边形ABCD=2S∧ADB=72. 【例16】 已知:如图8-1-29,△ABC中,E为AB 的中点,作平行四边形 BCDE,由向AB、DE 作垂线CF、CG.求证:BC×CG=AE×CF. 【解析】 因为S平行四边形BCDE=BC×CG, S平行四边形BCDE=BE×CF,连接CE.又因为AE=BE,CF⊥AB,所以 所以AE×CF=BE×CF.又因为BC×CG=BE×CF,所以BC×CG=AE×CF. 题型 G 有关 “联系实际型”的应用问题 知识点概述 这是一类涉及平行四边形性质定理的联系实际的应用问题. 【解说】 结合平行四边形判定定理的实际应用问题常常与构造平行四边形的面积问题有关.其解法因题而异. 【例17】 如图8-1-30(1),村里有一个呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D.村里准备将池塘建成养鱼池，想使建成后的鱼池的面积扩大一倍，又想(即四棵柳树不能在池塘内部)，并要求扩建成平行四边形形状，请问村委会?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由. 【解析】 村委会能实现这一设想.方案有多种，如下. 方案一:如图8-1-30(2),连接AC,分别过B、D 作1 ,延长 DC 交于点F,过A作EH∥DC 交EF 于E,交DH于H,则平行四边形EFDH 为扩建成的 平行四边形鱼池. 方案二:如图8-1-30(3),连接AC,分别过点B、D作EF∥AC,GH∥AC,过C任作一条直线(只要保证四边形ABCD 在所求作的平行四边形的内部即可)交GH 于G，交EF于F，过A 作EH∥GF，则平行四边形EFDH 为扩建成的平行四边形鱼池. 方案三:如图8-1-30(4),连接AC、BD,分别过点B、D作EF∥AC,GH∥AC,分别过A、C作EH∥BD,FG∥BD,交点分别为E、F、G、H,则平行四边形 EFDH 为扩建成的平行四边形鱼池. 学科网（北京）股份有限公司 $$