2024年中考数学一轮复习 讲义-平行四边形的性质定理及其应用

平行四边形的性质定理及其应用复习讲义 题型 A 有关 “性质定理论证型”的应用问题 知识点概述 (1)平行四边形的定义——有两组对边分别平行的四边形. 特征：①四边形；②对边平行；③两组对边相等. (2)平行四边形的性质如下： ①两组对边分别平行； ② 一组对边平行且相等； ③ 两组对边分别相等； ④ 对角相等，邻角互补； ⑤对角线互相平分. 特征：①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等. 【解说】 (1)从图形的结构特征记忆性质定理： (2)平行四边形的性质定理通过三角形全等都可以得到证明，证明的主要依据是平行四边形的定义：两组对边互相平行. 【例1】 如图8﹣1﹣1,在平行四边形ABCD 中,两对角线、BD 相交于点O.求证: 【解析】 (1)在平行四边形 ABCD 中,因为AD∥BC,所以∠DAC=∠BCA,因为AB∥CD,所以∠BAC=∠ACD.又因为AC=AC,所以△ABC≌△CDA.所以AD=BC. 同理可证△ABD≌△CDB,得AB=CD. (2)由(1)知,△ABC≌△CDA,所以∠ABC=∠ADC.由△ABD≌△CDB,所以∠BAD=∠BCD. (3) 在△AOD 和△BOC 中,因为AD∥BC,所以∠CAD=∠BCA,∠ADB=∠CBD.又由(1)知AD=BC,所以△AOD≌△COB.所以AO=OC,BO=OD. 题型B 有关 “性质定理求解型”的应用问题 知识点概述 这是一类已知四边形是平行四边形的基础求解问题. 【解说】 在有关平行四边形的计算型求解过程中，要充分利用平行四边形的性质，必要时要构造出平行四边形，然后方可进行求解计算. 题型B﹣I 线段求解型问题 知识点概述 有关平行四边形的线段求解，必须明确平行四边形的对边相等、对角线互相平分. 【解说】 (1)平行线三线八角性质定理的应用，借助角度的等量代换进行线段长的求解. (2)结合三角形边长不等定理的应用. 【例2】 如图8-1-2所示,△ABC 是边长为a的等边三角形,点 P是△ABC 内的任意一点,过点 P 作EF∥AB,交AC、BC 于点E、F,作GH∥BC,交AB、AC于点G、H,作 MN∥AC,交AB、BC 于点M、N,求 EF+GH+MN 的值是多少? 【解析】 因为EF∥AB,GH∥BC,MN∥AC, 所以四边形PNCH、PEAM、PFBG 是平行四边形, 所以EF=AM+BG,GH=BF+NC,MN=AE+HC. 又因为△ABC、△PFN、△PEH、△PMG、△EFC、△AGH、△MBN 均是等边三角形， 所以EF+GH+MN=AB+BC=2a. 题型B﹣2 周长求解型问题 知识点概述 平行四边形周长=2×(一组邻边的和)； 【解说】 此类问题较多地仍然是借助① 线段等量代换，② 整体思想解之. 【例3】 如图8-1-3,在 中, 点A、C、D 分别在MB、NB、MN 上,四ABCD 为平行四边形, ,平行四边形 ABCD 的周长是( ). A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 【解析】 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB∥CD,AD∥BC,所以. 又因为∠NDC=∠MDA,所以, 所以MA=AD,CD=CN,BN=BM. 所以 BN+BM 即为平行四边形ABCD 的周长12.故应选 D. 题型B﹣3 面积求解型问题 知识点概述 (1)平行四边形面积S=底边a×高 底边b×高hb. (2)由(1)可得平行四边形面积关系定理(公式)： 【解说】 (1)平行四边形短边上的高不一定在形内，在直角坐标系中计算平行四边形的面积时，尤其要注意常常需要用短边上的高来表示. (2)有关平行线或平行四边形的面积问题常常需要进行等积变换，借助定理： ① 平行线间的距离处处相等； ② 等底、等高两三角形(平行四边形)的面积相等； ③ 等底(高)不等高(底)的两个三角形面积比等于高(底)的比. 【例4】 如图8﹣1 ﹣4,在平行四边形ABCD 中, 于点E, 于点 F, ,平行四边形ABCD 的周长为20cm,求 S平行四边形ABCD. 【解析】 已知平行四边形ABCD 的周长为20cm,则一组邻边的和为 设AB 边长为x cm,则 BC 边长为(10-x) cm.由平行四边形面积关系公式，得x ·3=(10--x) ·2,解得x=4. 所以 S平行四边形ABCD=4×3=12. 题型B﹣4 角度求解型问题 知识点概述 有关平行四边形角度的求解，一般地，均需要借助平行线三线八角性质定理解之. 【解说】 有时须先证明四边形是平行四边形后，借助平行四边形对角相等求解. 【例5】 如图8-1-5,在平行四边形ABCD 中, 延长 AD 至F,延长 CD至 E,连接EF,则. A. 110° B. 30° 【解析】 因为平行四边形ABCD 中对角相等， 则 所以∠E+∠F=∠FDC=70°,故应选 D. (或转化为 题型 C 有关 “性质定理证明型”的应用问题 知识点概述 这是一类已知四边形是平行四边形的基础证明问题. 【解说】 (1)首先需要借助已知平行四边形的性质，然后再依据题给其他条件做出正确推理. (2)此类问题常常需要借助三角形全等证之，但要充分利用平行四边形的性质，不要盲目利用“三角形全等法”，因为平行四边形的许多性质都是由三角形全等法导出. 题型C--I 线段相等型证明问题 【例6】 如图8-1-6,已知平行四边形 ABCD 和平行四边形EBFD 的顶点B、D 重合,求证:AE=CF. 【解析】 连接BD与AC 交于点O.因为四边形 ABCD 和四边形EBFD 是平行四边形,所以OA=OC,OE=OF.所以OA-OE=OC-OF,即AE=CF. 题型 C-2 角度相等型证明问题 【例7】 如图8-1-7,在平行四边形ABCD 中,点E、F 在对角线BD 上,BE=DF,求证:∠BAE=∠DCF. 【解析】 借助平行四边形性质证两三角形全等. 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以DC=AB,DC∥AB, 所以 .在△BAE 和△DCF 中,BA=DC,∠ABE=∠CDF,BE=DF.所以 所以∠BAE=∠DCF. 题型 C-3 线段平行型证明问题 【例8】 如图8-1-8,在平行四边形ABCD 中,点 E、F 在对角线AC上,AE=CF,求证: (1)△BAE≌△DCF; (2) BE∥DF. 【解析】 (1) 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以DC=AB,DC∥AB,所以∠BAE=∠DCF.在△BAE 和△DCF 中,BA=DC,∠BAE=∠DCF,AE=CF.所以△BAE≌△DCF. (2) 因为△BAE≌△DCF,所以∠BEA=∠DFC. 因为∠BEA+∠BEF=180°,∠DFC+∠DFA=180°,所以∠BEF=∠DFE. 所以 BE∥DF. 题型C﹣4 线段垂直型证明问题 【例9】 如图8-1-9,在平行四边形 ABCD 中,AQ、BN、CN、DQ 分别是∠DAB、ABC、∠BCD、∠CDA 的平分线,AQ 与BN 交于点 P,DQ 与CN 交于点 M.在不添加，试写出一个由上述条件推出来的结论，并给出证明过程(要求推理过程“平行四边形”和“角平分线”这两个条件). 【解析】 这是一道“结论探究型问题”.其一般解题规律是：从所给，探索、归纳、猜想出结论，然后对猜想出的结论进行论证.其.本题结论可有:AQ⊥BN 或AQ⊥DQ、△ABP CDM等. 由题给条件可知AQ⊥DQ.理由如下： 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB∥CD.所以 又因为 AQ、DQ 分别平分∠BAD、∠ADC, 所以 所以 所以∠AQD=90°,所以AQ⊥DQ. 题型C﹣5 图形判定型证明问题 【例10】 已知:如图8﹣1﹣10,在平行四边形 ABCD 中, ,DF⊥AC,E,F 是垂足.求证:四边形 BEDF 是平行四边形. 【解析】 证法1：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB∥CD且AB=CD.所以 又因为. 所以. 所以△ABE≌△CDF,所以 BE=DF.所以四边形BEDF 是平行四边形. 证法 2：因为 平行四边形ABCD,所以 BE=DF. 又因为 BE⊥AC,DF⊥AC,所以∠AEB=∠CFD=90°,BE∥DF. 所以四边形BEDF 是平行四边形. 题型C﹣6 面积关系型证明问题 【例11】 如图8-1-11,E 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点,DE 交 BC 于点 E,求证:S∧ABF=S∧EFC. 【解析】 由于所证面积相等的两个三角形不具备“等底等高”的条件，不易证明，但此类问题属于“有关平行线图形面积问题”，仍然需要平行四边形中的图形面积及面积间的等量代换. 证明:设边AD、BC 间的距离为h,边AB、CD 间的距离为h'. 因为 所以 平行四边形ABCD· 所以 平行四边形ABCD· 因为所以 平行四边形ABCD. 又因为 所以 所以S∧ABF=S∧EFC. 题型C-7 图形全等型证明问题 【例12】 如图8-1-12,在平行四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:△AEH≌△CGF. 【解析】 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以∠A=∠C,AB=CD,AD=BC. 又因为AE=CG,BF=DH,所以在△AEH 和△CGF 中, 所以△AEH≌△CGF. 题型 D 有关 “性质定理实际型”的应用问题 知识点概述 这是一类有关平行四边形依据其性质定理求解有关联系实际的应用问题. 【解说】 综合性地运用题给条件及图形性质定理解之即可. 【例13】 “安安”物流公司在收取了一客户2600元运费后，需将货物从 A 地济南出，分别运到B 地郑州，C 地武汉，D 地合肥，最后回到济南，所走路线如图8-1-13所示， ABCD 可近似看成平行四边形，当司机驾车从济南赶到郑州时，发现里程表显 375 km，从郑州到武汉时，发现比从济南到郑州的路程多125 km.若 100km平均耗油14 L，每升汽油3.8元，车辆磨损和司机工资，以及 800元，那么该公司出这一次车是盈利还是亏损?盈利的话能 ?亏损的话亏多少? 【解析】 欲求总费用，由于每100km的油耗已知，因此，须先求出总路，所以求出平行四边形的一组邻边的和即可. 由题意知AB=375.因为BC=AB+125,所以BC=375+125=500. 所以平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2(375+500)=1750. 所以总共耗油为 耗油总费用为3.8×245=931(元). 这一次所花总费用为 (元).而 1731<2600, 故该公司盈利，能盈 (元). 题型E 有关 “性质定理作图型”的应用问题 知识点概述 这是一类依据平行四边形性质进行操作作图的应用问题. 【解说】 (1)注意：①构造平行四边形；②利用平行四边形面积关系定理. (2)“有关中心等分图形面积问题”依据“任意两个中心对称图形的连心线都能平分这两个图形组合成的图形”，确定两个图形的对称中心，连接即可. 【例14】 如图. ，阴影部分ABCD 是一块矩形的草坪，规划将各边延长，使 (1)试问：建成的新草坪是什么形状? (2) 若 计算新草坪的面积是原来草坪面积的多少倍? (3)你能设计一个过A、B、C、D的平行四边形形状的草坪，且使新草坪是原草坪面积的2 倍吗?(只需画出图形，写出作法，不必证明) 【解析】 (1)新草坪形状是平行四边形.证明略. (2)设AB=DC=a,则AD=BC=2a. 所以AE=BF=GC=HD=3a,CF=AH=a. 所以 S平行四边形HEFG=2S△AHE+2S△BEF +S矩形ABCD 所以 所以新草坪的面积是原来草坪面积的5.5倍. (3) 能,如图8-1-14(2)所示. 作法:①连接AC、BD; ② 分别过点 A、B、C、D 作 分别交于点 E、F、G、H.则四边形EFGH 就是所求的平行四边形. 【例15】 如图8-1-15(1),从A 村到B 村要修一条路,中间隔着一条河,河宽为d,河两岸平行.在河上需架一座桥，桥与河两岸必须垂直.要使从A 村到 B 村的总路程最短，你能确定桥应架的具体位置吗? 【解析】 如图8﹣1﹣15(2),①从点A 作河岸的垂线段AC,使 ,连接BC,交河的一岸于点 D； ② 过 D 点作河岸的垂线，交河的另一岸于点 E，则DE 处就是修桥的最佳位置. 由题意知 ，所以 即由A 村到B 村的实际路线是 ，它的长度等于 证明：假设另取一处 MN 架桥，则从A 村到B 村的路线是 根据图形可知,它等于AC+CM+BM. 在 中，由两边之和大于第三边可知BM+MC>BC，所以AN+NM+MB=AC+CM+BM>AC+BC=AE+ED+DB,所以在 DE 处架桥路线最短. 学科网（北京）股份有限公司 $$