精品解析：2024年山东省德州市天衢新区九年级第二次练兵考试数学试题

2024年九年级第二次练兵考试 数学试题 一、选择题（12小题，每题4分，共48分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 2. 如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ） A 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 据《中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报》，年我国出版图书达亿册（张）．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 4月日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校名师生国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ） A. 名师生的国家安全知识掌握情况 B. C. 从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况 D. 从中抽取的名师生 5. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 9. 为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 11. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ） A. B. 3 C. D. 3.14 二、填空题（6小题，每题4分，共24分） 13. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_______． 14. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 15. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为______． 16. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 17. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 18. 我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____． 三、解答题（共7题，78分） 19 （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 21. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，． （1）求h关于的函数解析式． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 22. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 23. 某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． （1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱采购方案． 24. 在二次函数中， （1）若它图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 25. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级第二次练兵考试 数学试题 一、选择题（12小题，每题4分，共48分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴最小的数是-1． 故选：A 【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 2. 如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据三视图概念（主视图：是指从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上得到的视图；俯视图：由物体上方向下做正投影得到的视图；左视图：左视图是指视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图；）进行观察判断，即可解题． 【详解】解：该蛋壳黑陶高柄杯的主视图和左视图为如题干所示的平面图形， 该蛋壳黑陶高柄杯俯视图同心的圆， 故该蛋壳黑陶高柄杯的主视图与左视图相同， 故选：B． 3. 据《中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报》，年我国出版图书达亿册（张）．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：亿即大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 4月日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ） A. 名师生的国家安全知识掌握情况 B. C. 从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况 D. 从中抽取的名师生 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了样本定义．熟练掌握样本的定义是解题的关键． 根据样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】解：由题意知，样本是从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况． 故选：C． 5. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，选项运算错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能进行计算，不符合题意； C．，选项运算错误，不符合题意； D．运算正确，符合题意； 故选：D． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 8. 在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可． 【详解】A：， 为平行四边形而非矩形 故A不符合题意 B：， 为平行四边形而非矩形 故B不符合题意 C： ∴∥ 四边形为矩形 故C符合题意 D： 不是平行四边形也不是矩形 故D不符合题意 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 9. 为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程小组共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题． 10. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 11. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ） A. B. 3 C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ，的半径为1， ， ， 故圆内接正十二边形的面积为：， 的面积为， ，即的估计值为． 故选：B． 二、填空题（6小题，每题4分，共24分） 13. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根式有意义的条件“被开方数为非负数”.根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可. 【详解】解：要使有意义，则需要， 解得. 故答案为：. 14. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，从装有10个球不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键． 15. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．作于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：作于点， 由题知，， ， ， ， 故答案为：． 16. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 【答案】0.35 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了， ∴小明的速度为：， 小亮0.4小时行驶了， ∴小亮的速度为：， 设两人出发后两人相遇， ∴ 解得， ∴两人出发0.35后两人相遇， 故答案为：0.35 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 17. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解即可． 【详解】解：∵是正方形，， ∴，而，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵M为中点， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 故答案为：． 18. 我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题． 【详解】解：由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x． ∵y=2x2+bx=， y=bx2+2x=， 函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称， ∴﹣=﹣且， 解得：b=﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键． 三、解答题（共7题，78分） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）利用分式的混合运算法则进行计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，即可解题． 【详解】解：， ， ， ； 解：， 解①得：， ， 解②得：， ， ， 不等式组的解集为． 20. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵总评成绩为82分． 小问3详解】 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 21. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，． （1）求h关于的函数解析式． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】（1）． （2）该液体的密度为． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 22. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案； （2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的直径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 23. 某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． （1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【答案】（1）每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 （2）当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【解析】 【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答； （2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨， 由题意可得：， 解得： 经检验，是分式方程的解 每台A型机器每天搬运吨 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 【小问2详解】 解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台 由题意可得：， 解得：， 公司采购金额： ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，公司采购金额w有最小值，即， ∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键． 24. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 将代入中， 得， 解得，； 【小问2详解】 抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． 【小问3详解】 关于对称轴对称 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当A，B都在对称轴左边时， ， 解得， 当A，B分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于A到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 25. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 【答案】（1） （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意可知； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$