广东省湛江市吴川市广大实验学校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值是（    ） A． B． C．任意实数 D． 2．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 5．半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，4）与⊙O的位置关系是（　　）． A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定 6．下列成语所描述的事件是必然发生的是（　　） A．水中捞月 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 7．广州南站到江门站距约则动车由子广州南站行驶到江门站所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，切于点Q，则的最小值为（     ） A． B． C．3 D．2 10．如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则其中结论正确的是（ ）．    A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①②④ 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．写出以为其中一根的一个一元二次方程 ．（写出一个即可） 12．若反比例函数的图像径过点，则的值为 ． 13．二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 14．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是 步． 15．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 16．一个圆锥的底面圆半径为cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是　　cm． 三．解答题（一）（本大题共3小题，第17、18题各4分，19题6分，共14分） 17．解方程：3x（x-2）=4（2-x） 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出，使与关于x轴对称； (2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路线长．（结果保留） 19．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，求和的度数． 四．解答题（二）（本大题共4小题，第20题6分，第21题8分，第22、23各10分，共34分） 20．如图，把一个直角三角形绕着30°角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合． (1)三角形旋转了多少度？ (2)连接，求的度数． 21．共享经济已经进入人们的生活，小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A，B，C，D的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识”的概率是多少？ (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中包含“共享出行”的概率这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示． 22．已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 23．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． （1）求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ （3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 25．如图抛物线与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．    (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上有一点P，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标； (3)点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时F点的坐标． 2023-2024学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值是（    ） A． B． C．任意实数 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般式为：，且a、b、c为常数，关键是把握这个条件． 2．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的概念和中心对称的概念即可判定 【详解】解：A. 选项中图形为中心对称图形，不是轴对称图形，所以A错误； B. 选项中图形为轴对称图形，不是中心对称图形，所以B错误； C．选项中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以C正确； D．选项中图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，所以D错误 故选择C选项 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断，比较简单，掌握其判断方法是解题关键 3．一元二次方程根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】由△=b2-4ac的情况进行分析. 【详解】因为，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3<0, 所以，方程没有实数根. 故选C 【点睛】本题考核知识点：根判别式. 解题关键点：熟记一元二次方程根判别式. 4．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度的解析式为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移问题，牢记“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 5．半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，4）与⊙O的位置关系是（　　）． A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定 【答案】A 【分析】首先求得点P与圆心O之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点P与 O的位置关系． 【详解】由勾股定理得：OP==5， ∵O的半径为5， ∴点P在O上. 故选A. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形性质，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判断方法. 6．下列成语所描述的事件是必然发生的是（　　） A．水中捞月 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解： A选项，不可能事件，不符合题意； B选项，不可能事件，不符合题意； C选项，随机事件，不符合题意； D选项，必然事件，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键． 7．广州南站到江门站距约则动车由子广州南站行驶到江门站所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据题意，得到，即可得出所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数为反比例函数，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴所用时间（小时）与行驶速度（千米/时）之间的函数为反比例函数， 故选B． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 9．如图，的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，切于点Q，则的最小值为（     ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点．因为为切线，所以是直角三角形．又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】解：∵切于于点， ∴， ∴． 又， ∴，即， ∴当最小时，有最小值． 又∵点到直线的距离为， ∴的最小值为， ∴． 故选：B． 10．如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则其中结论正确的是（ ）．    A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向得到，有对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；由可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为，则可判断当时，，于是可对③进行判断；通过比较点与点到对称轴的距离可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，所以③错误； ∵点到对称轴的距离比点对称轴的距离远， ∴，所以④正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．写出以为其中一根的一个一元二次方程 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程的概念，可一元二次方程的特点：①含有一个未知数；②未知数的次数最高为2次，③是整式方程；写出一个一元二次方程为：（一个即可）． 【详解】解：为其中一根的一个一元二次方程是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念，此类题目为简单题，容易解决，解题关键是抓住一元二次方程的特点：①含有一个未知数；②未知数的次数最高为2次，③是整式方程． 12．若反比例函数的图像径过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】将代入反比例函数，得到关于k的方程，解方程即可求解． 【详解】将代入反比例函数，有：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像特点，属于基础题意，准确计算是关键． 13．二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 【答案】 【分析】先根据通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右估计点落在黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右， 估计点落在黑色部分的概率为， 估计该二维码黑色部分的总面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是 步． 【答案】6 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17， 设内切圆半径为r，由面积法 r= 3（步），即直径为6步， 故答案为：6． 【点睛】考点：三角形的内切圆与内心． 15．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ． 【答案】 ， 【分析】（1）由题意得出，再解一元二次方程即可得到答案； （2）分两种情况：当时，即时，；当时，即时，，分别解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， 解得：，， 方程的解为，， 故答案为：，； （2）当时，即时，， 即， 解得：，不符合题意； 当时，即时，， 即， 解得：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，新定义下的实数的运算，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 16．一个圆锥的底面圆半径为cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是　　cm． 【答案】 【详解】设则圆锥的母线长是xcm,由题意得 ， ∴. 三．解答题（一）（本大题共3小题，第17、18题各4分，19题6分，共14分） 17．解方程：3x（x-2）=4（2-x） 【答案】 【分析】按照因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴ 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出，使与关于x轴对称； (2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路线长．（结果保留） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， (3) 【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，找到A、B、C对应点的坐标，再描出，最后顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接，最后根据点的位置写出点的坐标即可； （3）先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，根据题意可知点A旋转到点所经过的路线长即为以点O为圆心，的长为半径且圆心角度数为90度的扇形弧长，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 由图可知点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点A旋转到点所经过的路线长即为以点O为圆心，的长为半径且圆心角度数为90度的扇形弧长， ∴点A旋转到点所经过的路线长． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和旋转，勾股定理，求弧长，正确根据图形的变换方式找到对应点位置是解题的关键． 19．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，求和的度数． 【答案】，． 【分析】为切点，由切线的性质，可想到连接，通过等边对等角，和余角的计算，即可得求解，本题考查了切线的性质，圆的性质，以及圆相关角度的计算，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：连接， ，， ， 又是直径， ， ， ， ， ，是的切线， ，，即， ， ， 故，． 四．解答题（二）（本大题共4小题，第20题6分，第21题8分，第22、23各10分，共34分） 20．如图，把一个直角三角形绕着30°角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合． (1)三角形旋转了多少度？ (2)连接，求的度数． 【答案】(1)三角形旋转了度 (2) 【分析】本题考查图形的旋转，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质，平角的定义，求出的度数即可； （2）根据旋转，得到，由（1）得到的度数，等边对等角求出的度数即可； 掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得： ∵旋转，点与的延长线上的点重合， ∴， 即：旋转角为， ∴三角形旋转了度； （2）∵旋转， ∴， 由（1）知旋转角为， ∴， ∴． 21．共享经济已经进入人们的生活，小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A，B，C，D的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识”的概率是多少？ (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中包含“共享出行”的概率这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片中包含共享出行的结果有6个，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识”的概率是． （2）根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片中包含共享出行的结果有6个， 所以其概率为． 【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 23．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标，分割法求三角形的面积即可； （3）图象法求不等式的解集即可． 利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴； （3）解：由图象可知：当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方， 即：不等式的解集为或． 五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． （1）求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ （3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；（2）当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；（3）不能围成面积为70平方米的养鸡场；理由见解析. 【分析】（1）根据矩形的面积公式进行列式； （2）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可． （3）把y的值代入（1）中的函数关系，根据解的情况判断即可． 【详解】解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得 y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x． 答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x； （2）由（1）知，y=﹣x2+16x． 当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0． 解得 x1=6，x2=10， 即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米； （3）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下： 由（1）知，y=﹣x2+16x． 当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0 因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0， 所以该方程没有实数根． 即：不能围成面积为70平方米的养鸡场． 25．如图抛物线与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．    (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上有一点P，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标； (3)点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时F点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，P点坐标为或或，理由见解析 (3)当点F运动到时，△CBF的面积最大，最大值为4，此时 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法即可求解； （2）由可知对称轴为直线，，设，分两种情况：①当时，②当时，分别进行讨论即可求解； （3）令，则，可得，可求得直线BC的解析式为，如图，过点E作轴交抛物线于点F，设，则，得，由，可知当时，最大为2，此时的面积最大，即可求得答案． 【详解】（1）解：将，代入， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）存在点P，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： ∵， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴，设， 当时，，解得或（舍去）， ∴； 当时，，解得或， ∴或； 综上所述：P点坐标为或或； （3）当点E运动到位置时，的面积最大，理由如下： 令，则， 解得或， ∴，设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线BC的解析式为， 如图，过点E作轴交抛物线于点F， 设，则 ∴， ∵， ∴最大时，的面积最大 ∴当时，最大为2，此时的面积最大， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为4，此时．    【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数中的面积问题，等腰三角形的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 第11页/（共26页） 第12页/（共26页） 知人善教 激发兴趣 塑造能力 学科网（北京）股份有限公司 $$