广东省湛江市港城中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

湛江市港城中学2023-2024学年度第一学期九年级月考2 学校： 班级： 姓名： 考号： 密 封 线 内 不 要 答 题 数学试题 （考试时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1．第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（    ） A．   B．  C．   D．   2．下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．水中捞月 D．水涨船高 3．如图，点A、B、C在⊙O上，，则的度数为（　　） A．11° B．22° C．44° D．66° 4．下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（    ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 7．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．下列语句中不正确的有（      ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧； ④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（    ） A．   B．   C．   D．   二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11．在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是 ． 12．一个不透明的袋中装有5个红球和1个白球，除颜色外均相同，则任意从中摸出一个球是红球的概率是 . 13．如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 ． 14．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ． 15．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是 . 16． 如图，在半径为6，圆心角为的扇形中，，点是半径的中点，点从点出发，沿的方向运动到的过程中（包括点），线段与所围成的区域（如图中阴影部分）面积的最小值为 ． 三、解答题(本大题共10小题,共72分) 17．（4分）用公式法解方程：． 18．（4分）解方程： 19．（6分）李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数. 20．（8分）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． (1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． (2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 21．（8分）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 22．（8分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： (1)画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； (2)计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 23．（10分）已知一次函数的图象与反比例函数图像交于A、B两点、且A点的横坐标，求： （1）反比例函数的解析式． （2）的面积． （3）直接写出满足时x的取值范围． 24．（12分）如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线（提示：点与之间的距离为） (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (3)点E在抛物线的对称轴上，若为直角三角形，请直接写出点E的纵坐标． 湛江市港城中学2023-2024学年度第一学期九年级期中检测 学校： 班级： 姓名： 考号： 密 封 线 内 不 要 答 题 数学试题 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1．A 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键． 2．A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，符合题意； B、缘木求鱼是不可能事件，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，不符合题意； D、水涨船高是必然事件，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．C 【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，代入求出即可． 【详解】∵对的圆心角是∠AOB，对的圆周角是∠ACB，∴∠AOB=2∠ACB=2×22°=44°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键． 4．B 【分析】将各个点代入解析式中，判断是否在函数图象上即可． 【详解】∵反比例函数为， ∴， 、，此点不在图象上，不符合题意； 、，此点在图象上，符合题意； 、，此点不在图象上，不符合题意； 、，此点不在图象上，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是正确理解点在函数图象上，则满足． 5．D 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，理解概率的意义． 6．D 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 7．C 【分析】由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案． 【详解】解：∵弦于点E，， ∴， ∵， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键． 8．A 【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数，解得的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象在一、三象限， ， 解得：． 结合选项可知，只有1符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上随的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上随的增大而增大． 9．A 【分析】根据弧，弦，角之间的关系，垂径定理和圆的对称性，逐一进行判断即可． 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故①错误； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误； ③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；故③错误； ④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故④正确； 故选A． 【点睛】本题考查圆的基本概念和性质，垂径定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 10．B 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：当时，经过第一、三象限，经过第二、三、四象限， 故A、C不符合题意； 当时，经过第二、四象限，经过第一、二、三、象限， 故B符合题意，D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质． 填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11． 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）． 故答案为（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12． 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：一个不透明的袋中装有5个红球、1个白球，每个球除颜色外均相同， 从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 13．46 【分析】根据切线长定理得到，从而得到，根据四边形的周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 四边形是的外切四边形， ， ， 四边形的周长， 故答案为：46． 【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 14． 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15．8 【分析】由知，点A在上，点B在上，因直线平行于轴，则点A和点B的纵坐标相等，设A和B坐标为，则有可得，又根据，将代入即可得，联立上面的式子即可得. 【详解】，则点A在上，点B在上， 又因直线平行于轴， 点A和点B的纵坐标相等，因此可设A和B坐标为， 则有，即，可化为， 根据图可得， 将代入即可得， 将代入得 即 可得. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，并结合三角形的面积，判断出A、B点具体在哪条反比例函数上和A、B点的纵坐标相等是解题关键. 16．/ 【分析】如图，连接，过点作于点，观察图象可知，当点与点重合时，阴影部分的面积最小，此时． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， 观察图象可知，当点与点重合时，阴影部分的面积最小， 此时 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是理解题意，学会用割补法求阴影部分的面积，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题(本大题共10小题,共72分) 17．，． 【分析】先求出∆的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：公式法，熟记公式是解答本题的关键． 18． 【分析】根据因式分解法，解方程即可； 【详解】解：， ， 可得或， 解得； 【点睛】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 19．这个多边形的一个内角的度数是140°，正多边形的边数是9. 【分析】设这个多边形的一个内角的度数是，则相邻的外角度数是，得出方程，求出，再根据多边形的外角和等于求出边数即可． 【详解】解：设这个多边形的一个内角的度数是，则相邻的外角度数是， 则， 解得：， 所以这个正多边形的边数是． 答：这个多边形的一个内角的度数是140°，正多边形的边数是9. 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能求出多边形的一个内角的度数是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于． 20．(1) (2) 【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种， 所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是， 故答案为：； （2）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得即可证得结论； （2）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵为弧的中点，与交于点， ∴，即 ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵为弧的中点， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理的推论、同弧所对的圆心角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键． 22．(1)图见解析，，， (2) 【分析】（1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，其中，； （2）解：，， 弧的长度． 【点睛】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． 23．（1）反比例函数的解析式为；（2）S△AOB=S△AOC+S△BOC=；（3）-1＜x＜0或x＞8． 【分析】（1）把x=-1代入y1=-x+7可确定A点坐标为（-1，8），然后利用待定系数法可确定反比例函数解析式； （2）解析式联立，解方程组求得B的坐标，然后确定C点坐标，再利用△AOB的面积=S△AOC+S△BOC进行计算即可． （3）根据图象求得即可． 【详解】解：（1）把x=-1分别代入y1=-x+7得y1=1+7=8， ∴A（-1，8）， 把A（-1，8）代入得， 解得 k=-8， ∴反比例函数的解析式为； （2）设y=-x+7与y轴交点为C（0，7） ∴OC=7， 联立得，解得或， ∴B（8，-1）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=； （3）y1＜y2时x的取值范围是-1＜x＜0或x＞8． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 24．(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）连接，根据直径所对的圆周角是直角及等腰三角形转换得，即可证明结论； （）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化即可证明结论； （）根据垂径定理得到点为的中点，设，则，利用勾股定理列方程计算得出，再利用中位线的性质即可求出的长． 【详解】（1）连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图：设交于点H， ∵，， ∴， ∴； 设，则为，根据勾股定理， ， 解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴． 【点睛】此题考查了圆的切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识，利用同弧或等弧所对的圆周角相等以及勾股定理列出方程，是解决问题的关键． 25．(1) (2) (3)、、或 【分析】（1）先得出B点坐标，再根据对称性得出A点坐标，再利用待定系数法即可求求解； （2）先求出C点坐标，再求出直线的解析式为：，设点， 作轴交于点F，则，即，可得，根据二次函数的性质即可求解； （3）点E在抛物线对称轴上，设E点坐标为：，由，，，可得，，，根据勾股定理再分类讨论即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵对称轴为， ∴， 将A，B代入解析式得： ， 解得， ∴； （2）令时，则， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为：， 即：，解得， ∴直线的解析式为：， 设点， 作轴交于点F，如图， 则， ∴， ∴， 化成顶点式：， 当时，有最大值为； （3）点E在抛物线对称轴上，设E点坐标为：， ∵，，， ∴，，， 若为直角三角形： 第一种情况：时， ∴， 解得：，； 第二种情况：时， ∴， 解得：； 第三种情况：时， ∴， 解得：； 综上：点E的纵坐标为、、或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，两点之间的距离公式，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 第7页/（共20页） 第8页/（共20页） 知人善教 激发兴趣 塑造能力 学科网（北京）股份有限公司 $$