广东省汕头市潮南区2024届高三下学期5月高考考前测试数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 2024年潮南区高三级考前测试试题 数学 本试题满分150分，考试时间为120分钟。 注意事项： 1答题前，务必用界色字迹的签字笔在答题卡指定位里填写自己的学校、姓名和背生号。 2进择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答聚标号涂黑，如需孜动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答聚，答聚不能答在试卷上。不按要求填涂的，答策无效。 3非进择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答聚必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上，请注意每题答题空问，预先合理安排：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上 新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答聚无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 2i 1.已知复数z= 则复数z在复平面内对应的点位于() A第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.己知集合M=女∈Nog2x≤1，N={10,12,若M∈A≤N,则满足集合A的个 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.己知四边形ABCD是平行四边形，BE=2EC,DF=FC,则EF=（) A-号西+兮 6B-丽-Dc-恋+而。}丽-而 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,a2n=24n+1,若Sn+a4=100,则n=() A.8 B.9 C.10 D.I1 5.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (3,1),则cos28=() 8、4 D、3 6已知椭圆C: +一=1的两个焦点分别为F,F,P是C上任意一点，则下列不正确 1612 的是() A.C的离心率为2 B.P的最小值为2 C.PRPR的最大值为16 D.可能存在点P,使得∠FPF2=65 -1- 在母线长为4的圆锥P0中，共侧面展开图的圆心角为无， ，则该圆雏的外接球的表面积为 () A、32x B. 64π C.256m 15 D.256m 49 8,己知A,B,C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ax+p)(w>0,0<p<π)的图象的 三个交点，如右图所示.其中，点A0,√2)，B,C两点的横坐标分别为，为，若为2-x= 4 - Cfx)的图象关于（π，0）中心对称 D 上单调递减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（) 频率/组距 0.35 频率/组距 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 A 01.52.53.54.55.56.57.5 02.53.54.55.56.57.58.5 甲 乙 A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B:样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C.样本乙的方差一定小于样本甲的方差 D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，动点P在C上，若定点 M2,5满足Mr=2loF,则() A.C的准线方程为x=-2 B.△PMF周长的最小值为5 C.四边形OPMF可能是平行四边形 D.FM.OP的最小值为为-3 11.已知定义城为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)-f1-x)f1-y),且f(O)+0, f(-)=0,则() -2- A0)=0 B.x)是偶函数 c[/xr+[/+x=1 学 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,已知二项 2x+) (n∈N)的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项 为 13.已知圆C经过A(2,0),B(0,2),C(2,4)三点， ()则圆C的标准方程为 (们若直线AB关于y=a对称的直线与圆·C有公共点，则a的取值范围是 14.已知aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c2=2a2-2b2,则A-B的最大值 为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥ 平面ABCD,PA=2,M是BC中点，N是PD中点. (1)证明：直线MW/平面PAB: (2)若P元=3GC,求平面PCD与平面GN的夹角的余弦值. 16.(本题满分15分)已知函数f)=x-2): (1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值， (2)若f(x)在(0，+∞)只有一个零点，求a. -3- 17.(本题满分15分)假设甲同学每次投篮命中的概率均为？· ()若甲同学投篮4次，求怡好投中2次的概率。 2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X 的概率分布列及数学期望 (3提高投篮命中率，甲学决定参加投篮训练，训练计划如下：先投n(n∈N,n≤33)个球， 若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投100-3n个，试问”为何值时，该同学投篮 次数的期望值最大？ 18.(本题满分17分) 广-芳Q>0b>0的商近做方程为y=±，过有40以的 已知双曲线C 线I交双曲线C于MN两点，且当l⊥x轴时，W=6. (1)求C的方程 (2)记双曲线C的左右顶点分别为A,4,直线4M,A4,N的斜率分别为，k,求上的值 (3)探究圆E:x2+y2-4x-4y-1=0是否存在点S,使得过S作双曲线的两条切线，2 互相垂直. C本题清分7分)在直角坐标平面内，格函数=2-二及g)=在 x+1 限内的图象分别记作C,C,点Pn(an,f(an)(n∈N)在C上.过Pn作平行于x轴的直 线，与C2交于点2n,再过点2，作平行于y轴的直线，与C,交于点卫1~ (1)若4=3 请直接写出a的值： 2)若0<4<，求证 是等比数列： 3x n+ 2.2 +1 1 (3)若4=3 求证：a,-a+川%-4+…+1a4-ak号 0 -42024年潮南区高三级考前测试试题数学参考答案 评分说明: 1. 本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半:如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 3. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题口要求的. 题号 答案 C D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9题选项 10题选项 11题选项 全部正确 BCD BD ABC B、C,D,BC,BD, B、D A、B、C,AB,AC,BC. 部分正确 CD (答对·个项3 分) (答对一个选项2分) (答对一个选项2分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 题号 12 13 (x-2)+(-2)2-4,1-2,1+2 60 答案 第一空3分,第二空3分 四、解答题:本大题共5小题,满分77分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 15.(本题满分13分)如图,在四校锥P-4BCD中,底而4BCD是边长为2的正方形,P41 平面ABCD,P4=2,M是BC中点,N是PD中点 1 (1)证明:直线MN//平面PAB; (2)若PG=3CC,求平面PCVD与平面GMN的夹角的余弦值 15.【解析】(1)证明:取P4的中点为O,连接OB,ON. 因为O.N分别为PA.PD的中点,所以ON--D且ON/1.AD, 所以ON=BM且ONI1BM,故四边形BMNO为平行四边形,所以MN/1BO,....2 又因为MN2平面PAB,BOC平面PAB 故直线AMN//平面PAB.......4 (2)因为底而四边形ABCD为正方形,且PA1.底面ABCD 以A为坐标原点,以4B,4D4P所在的直线分别为为×,y,轴,建立空间真角坐标系,如图 所........... 则B(2.0.0).C(2.2.0)D(0.2.0).A(0.0.0).P(0.0.2),N(0.1.1)M(2.1.0). 则PD=(0.2,-2),CD=(-2.0.0),设平面PCD的法向量为iπ.=(x,y,z),则 (1 ,令y=1,可得x=0,z=1,所以=(0.1,1), ,.............. 设G(x,y,z),则PG-(x,y,2),GC-(2 x,2y,=) 因为P -,以G(#,得GM-(--) .且(-2,0.1)..9. 设平面GN的法向量为=(×:,2) 取x。=1可得y三-1,2.=2所以=(,-1.2)..11 C 设平而PCF与平而(N的夹角的为 16.(本题满分15分)已知函数/(x)=xe-ax2}). (1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与y轴垂直,求y=f(x)的极值 (2)若/(x)在(0.+co)只有一个零点,求a. 16.解:(1)f(x)=(x+1)e*-3ax}, .............. f(-1)--3a, 由题意得/(-1)-0,所以a-0. D............. 所以f(x)=xe*,f(x)=(1+x)e 令/’(x)=0,则x--1, (--1) -1 (-1.+) /'(x) _ 0 _ f() 单调递减 极小值 单调递增 所以/(x)min=/(-1)--。!-- ........... 所以/((x).极小值为.-.无极大..... (2) 函数f(x)=xe-ax})在(0,+ce)只有一个零点,等价于y=e{-ax2在(0,+c)只有 一个......... 解法1:设gx)=e”-ax2,g(x)在(0,+oo)只有-个零点当且仅当g(x)=0在(0,+0]只 有一解,即a-在(0c)只有一般解,即曲线y-(x>0)与直线y只有一个交点. e*(x-2) 易知p(x)在(0,2)单减,在(2.+o 单增 所以f(x)在(0.+co)只有·个零点时,a= 22 4 ...............5... 图1 解法2:设函数h(x)=1-ax*e-*. f(x)在(0+)只有一个零点当且仅当(x)在(0+o)只有一个零点 (i)当a<0时,h(x)>0,h(x)没有零点; (ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-*. 当xE(0,2)时,(x)<0:当xE(2,+o)时,h(x)>0 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增 h(x)在(0,+c)没有零点; h(x)在(0,+o0)只有一·个零点; 。4 故(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+o0)有两个零点. 17.(本题满分15分)假设甲同学每次投篮命中的概率均为. (1)若甲同学投篮4次,求恰好投中2次的概率 (2)甲同学现有4次投篮机会,若连续投中2次,即停止投篮,否则投篮4次,求投篮次数× 的概率分布列及数学期望 (3)提高投篮命中率,甲学决定参加投篮训练,训练计划如下:先投n(neN.,n<33)个球, 若这n个球都投进,则训练结束,否则额外再投1003n个.试问n为何值时,该同学投篮 次数的期望值最大? (2)投篮次数x的可能取值为23.4.....4 ........ 所以X的分布列为: 所以E()-2x+3x+45-27 8 ......... (3)设甲同学投篮的次数为Y,则y的可能值为n,"+100-3n=100-2n,neN.,<33, 3n-100 2 2-2100,.....1. 5 令/n)-3n-100 f(n+1)-f(n)-103-3n1-2 2_1 一,显然数列1103-3n.-2*2)是递减的,.....13 当$$4时,103-3n-2“*0,f(n+l)f(n),当n>5时,103-3n-2”}<0,f(n+ì)</f() 即有f(1)/f(2)<f(3)</f(4)</f(5)>f(6)→f(7)>..,因此f(5)最大,...14 所以当n55时,甲回学投次数的期望值最人......15 18.(本题满分17分) 己知双曲线C: 线/交双曲线C于MN两点,且当/1x轴时,MN-6. (1)求C的方程; (3)探究圆E:x2+y2-4x-4y-1-0是否存在点S,使得过S作双曲线的两条切线/., 互相垂直. 18.解析:(1)中对称性可知双曲线C过点(4,3) .... [a=2 ......... ##'... 43 (2)由(1)可得A(-2,0),A(2,0).设M(x,),N(x,y). 显然直线的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+4,.........5 则3m?-4:0,△=144n?+4)>0 24/ 36 于是有y+y=- 3-41- 3m2-4 -......7 2nt 所以y+y=- 6 #3(V y)+6y: (x+2)yyy+6y.y+6y2 y2 k2 3 x2-2 (3)圆E:x2+y2-4x-4v-1-0存在点S,使得过S作双曲线的两条切线互相垂直. ...11 若双山线的两条切线有交点,则易知两条切线的斜率存在且不为0,设双曲线的两条切线分 别为y=kx+n,y=x+n. 3-43)-8knx-4n2-12=-0...14 43 由△=.0得64k2n”+43-4)4n?+12).-0. 得-4”-3....-12 所以n.}-4k,2-3,n}-4?-3. 设两条切线的交点坐标为(xV) 。-x。=n 所以 所以(。-xo)-4,}-3,且(G。-xo)-4k”-3 y-2x%o=n2 即(。2-4,"-2xoy+y。+3=o,(。-4-2xoyo+2}+3-0 所以kh,.是方..--xo. y+y.--的两l...-14 _4 所以两切v的交点i轨迹为.x..-1.....1 因为x2+y?=1的圆心为0(0,0),半径为1, 圆E:x?+y-4x-4y-1=0即(x-2){*+(-2)2*-3,圆心E(2,2),半径为3 因为E2+2222,满3-.1.13+1,.所以两相交.,....-17 故圆E:x2+y{-4x-4y-1-0存在点S,使得过S作双曲线的两条切线互相垂直 x+1 限内的图象分别记作C.,C.,点P(a,f(a.)(nEN”)在C.上.过P.作平行于x轴的直 线,与C。交于点O.,再过点O.作平行于y轴的直线,与C.交于点P. (II)依题意,由P(a,f(a)可得O(-,f(a) 因为Q.在C,上,所以f(a.)-,且f(o)=2-2. _3-_. □+1 .+13-t 所以a--2 6 6d 由①-②得“ 3 3 3 {进 1u: 是等比数列; .............. 23 因为-- 又因为da2nl=6+ 602n 7ad-+1 6(-1+1)’ -2(a--)(30+1) 7-.+1 6(2n-.+1) 6a.an-! .+1 2+1 从而l -l=l-l-(3)" 所以l,-l+-a--+)” 一0 ......... 。