2024年中考数学复习-等腰三角形存在性问题方法指导

等腰三角形存在性问题方法指导 1.“两圆一线”找动点 2.求动点坐标的方法 知识储备： 两点间距离公式：已知A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),.则 中点坐标公式：已知A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则A，B的中点坐标为 已知直线 ,若l₁⊥l₂,则. 典型例题 例 (一题多解)如图，抛物线 经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线 l是抛物线的对称轴. (1)抛物线的函数解析式为 . (2)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)方法1：利用“一般式”求函数解析式 将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入 得 解得 (2)已知两定点求第三点的等腰三角形存在性问题，可以考虑： ∴抛物线的函数解析式为 方法2：利用“交点式”求函数解析式 ∵抛物线 与x 轴交于A(--1,0),B(3, 0)两点, ∴设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x--3). 又∵抛物线经过点C(0,3),∴3=-3a,解得a=--1,∴y=--(x+1)(x-3),即 (2)存在. ∵抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点, ∴抛物线的对称轴为 (或用对称轴公式求解). 如图所示,连接AC,设直线l与x轴交于点D,则D(1,0),∴设点M的坐标为(1,m). 方法1：几何法(“两圆一线”画图找点，构造直角三角形) ①当AC=AM时，以点A为圆心，以AC长为半径画圆，与直线l的交点记为M₁，M₂，连接 在Rt△ADM中, 即 解得 ②当CA=CM时，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与直线l的交点记为. 由对称性可知点M₃与点D重合,∴M₃(1,0),M₄(1,6). 设直线AC的函数解析式为y=kx+d.将A(-1,0),C(0,3)代入,得 解得 直线AC的函数解析式为y=3x+3. 当x=1时,y=6,∴点M₄在直线AC上,不能构成三角形,∴点M₄不合题意，舍去. ③当MA=MC时，作线段 AC 的垂直平分线，与直线l的交点记为M₅,作CH⊥直线l,垂足为H,连接AM₅,CM₅. 在Rt△ADM中, 在Rt△CHM中,( 又 即 解得 综上所述，存在点M，使△MAC为等腰三角形，符合条件的点M的坐标为( 或 或(1,0)或(1,1). 方法2：代数法(套用两点间距离公式) 由于△MAC的腰和底不确定,因此要分三种情况讨论,即①MA=MC;②MA=AC;③MC=AC. ∵A(--1,0),C(0,3),M(1,m),∴ ①若MA=MC,则 解得m=1,∴M(1,1). ②若MA=AC,则 解得 或 ③若MC=AC,则 解得m=0或m=6. 当m=6时,M,A,C三点共线,构不成三角形(不合题意,舍去),∴M(1,0). 综上所述，存在点M，使△MAC 为等腰三角形，符合条件的点M的坐标为(1，1)或( 或(1, 或(1,0). 强化训练 1.(一题多解)如图，一次函数 的图象分别交x轴、y轴于点 A,B.若点 M在x 轴上，并且使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点M有 个，点M的坐标为 . 2.如图1,点A(0,8),B(2,a)在直线y=-2x+b上，反比例函数 的图象经过点 B. (1)求a和k的值. (2)如图2，将线段AB 向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,连接AC,BD,BC.在线段 AB 运动的过程中,若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值. 3.如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角尺ABC放在第一象限，使点 A 在y轴的正半轴上，点C在x 轴的正半轴上，∠ACB=90°,且A(0,4),C(2,0),作BE⊥x轴于点E. (1)求直线 AC 的函数解析式和点 B 的坐标. (2)在直线 AC 上是否存在一点 M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形?若存在，请直接写出点 M的横坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$