5.3.1 函数的单调性（二）已知单调性求参课件-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性（二）（已知单调性求参数范围） 知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a,b)上__________ f'(x)<0 f(x)在区间(a,b)上__________ f'(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是__________ 单调递增 单调递减 常数函数 2.函数在某区间上的单调性的讨论 (1)在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(或减)函数的 ____________条件. (2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件:∀x∈(a,b),都有 _________________,且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零. (3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值范围的问题,可化为 ________________恒成立的问题.要注意“=”能否取到. 提醒研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响 进行分类讨论. 充分不必要 f'(x)≥0(或f'(x)≤0) f'(x)≥0(或f'(x)≤0) 由单调性求参数的取值范围 解： 解： D 解： B 达标检测： 解： 例1　已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围． f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数， 故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0. 经验证，a＝0时成立，故a≤0. 跟踪训练1　(1)函数y＝eq \f(1,3)x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 函数y＝eq \f(1,3)x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数， 即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立， ∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1. (2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1,3) C．(－2,2) D．不存在这样的实数k 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根． 又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内， ∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，∴1<k<3或－3<k<－1，故选B. 　根据函数的单调性求参数的范围 [例2](1)已知函数f(x)=x2+2ax-ln x,若f(x)在区间[,2]上单调递增,则实数a的取值范围为________.  【解析】由题意知f'(x)=x+2a-≥0在,2上恒成立,即2a≥-x+在,2上恒成立, 因为-x+max=, 所以2a≥,即a≥. 答案:,+∞ 　变式:在本例中,把“f(x)在区间,2上单调递增”改为“f(x)在区间,2上存在单调递增区间”,求a的取值范围. 【解析】f'(x)=x+2a-,若f(x)在,2上存在单调递增区间, 则当x∈,2时,f'(x)>0有解,即2a>-x+有解, 因为x∈,2,所以-x+min=-2+=-, 所以2a>-,即a>-,故a的取值范围是-,+∞. 　(2)已知函数f=-ax,x∈,当x2>x1时,不等式<恒成立,则实数a的取值范围为__________.  【解析】当x2>x1>0时,不等式<恒成立,所以x2f>x1f, 所以g=xf=ex-ax2在上单调递增,g'=ex-2ax, 则g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤在上恒成立, 令h=,则h'=, 当x∈时,h'<0;当x∈时,h'>0,所以hmin=h=,所以a≤. 答案: 1.f(x)在区间D上单调递增(减),只要f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立即可,如果能够分离参数,则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系. 2.二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论. 1.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是________. ∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0，1)上单调递减， ∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)上恒成立， ∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1. 2.若函数h(x)=ln x-ax2-2x在[1,4]上存在单调递减区间,则实数a的取值范围为 (　　) A.-,+∞ B.(-1,+∞) C.[-1,+∞) D.-,+∞ 【解析】选B.因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间, 所以h'(x)=-ax-2<0在[1,4]上有解, 所以当x∈[1,4]时,a>-有解, 而当x∈[1,4]时,-=-12-1,-min=-1(此时x=1), 所以a>-1,所以a的取值范围是(-1,+∞). 3.已知函数f(x)=sin x-ax,对于任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有<0,则a的取值范围是________.  【解析】由题意知,f(x)在定义域内是单调递减函数, 所以f'(x)=cos x-a≤0恒成立,即cos x≤a在x∈R上恒成立,所以a≥1. 答案:[1,+∞) 4.若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上是增函数,则实数k的取值范围为________.  【解析】因为f'(x)=cos x+k≥0, 所以k≥-cos x,x∈(0,π)恒成立. 当x∈(0,π)时,-1<-cos x<1,所以k≥1. 答案:[1,+∞) 5.若函数f(x)=ex(sin x+a)在区间-,上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　) A.(1,+∞) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.(-,+∞) 【解析】选C.由题意得f'(x)=ex(sin x+a)+excos x=exsinx++a, 因为f(x)在-,上单调递增,所以f'(x)≥0在-,上恒成立,又ex>0, 所以sinx++a≥0在-,上恒成立, 当x∈-,时,x+∈-,, 所以sinx+∈-,1,所以sinx++a∈(-1+a,+a],所以-1+a≥0, 解得a≥1,即a∈[1,+∞). $$