5.3.1 单调性（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高一数学（选修一）第五章 导数及其应用 第1课时　单调性 5.3.1　单调性 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 情景导入 我们知道，导数f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容. 问题　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系. 提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且是增函数，其导数y′＝1>0； (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0. 新知探究 (3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上是增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数y′＝3x2>0；当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0； 例2　讨论函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调性. 解：由题设知，f′(x)＝6x2－12x. 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2. 因此，在区间(－∞，0)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(0,2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增(如图). 课本例题 7 变式1　求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝3x2－2ln x； 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)， 课堂练习 8 (2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. 解：f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2). 令f′(x)>0，解得x<－3或x>2； 令f′(x)<0，解得－3<x<2. 故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3,2). 9 变式2　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0<x<7时，f′(x)<0；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，试画出函数f(x)的大致图象. 解：当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上单调递增； 当0<x<7时，f′(x)<0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减； 当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 故函数f(x)的大致图象如图所示. 10 【题型一】函数图象与导函数图象的关系 例1 （多选题）在同一坐标系中作出三次函数 及其 导函数的图象,下列一定不正确的是( ) CD A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 易知 ,它是二次函数,图象为抛物线. 当 时, 单调递增；当 时, 单调递减 ,B中函数 图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；C中导函数为负的区间内相应的函数 不单调递减,故错误；D中导函数为正的区间内相应的函数不单调递增,故错误.故选 . 11 规律方法 函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断,即符号为正,图象上升；符号为负,图象下降.看导函数图象时,主要是看图象在 轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象. 概念归纳 【题型二】判断（证明）函数的单调性 例2（1） 求证:函数 在区间 上是单调递增的,在区间 上是单调递减的； 证明 因为 ,所以 当 时, ,即 ，故函数 在区间 上是单调递增的； 当 时, ,即 ，故函数 在区间 上是单 调递减的. 13 （2）判断函数 在区间 上的单调性. 解 因为 , 所以 . 因为 ,所以 , 故 ， 所以函数 在区间 上单调递增. 14 规律方法 （1）利用导数证明函数 在给定区间上的单调性,实质上就是证明 或 在给定区间上恒成立. （2）利用导数判断可导函数 在区间 上的单调性,步骤是:①求 ；②确定 在区间 上的符号；③得出结论. 概念归纳 【题型三】求函数的单调区间 例3 求下列函数的单调区间: （1） ； 解 的定义域为 , .由 ,得 ,解 得 或 ；由 ,得 .故 的增区间是 和 ，减区间是 . （2） . .因为 ,所以 恒成立,故所求的减区间为 ,无增区间. 16 规律方法 求函数 的单调区间的步骤 概念归纳 1.已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为 A.(－2,0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－2，－1)∪(1,2) 分层练习-基础 答案：D 解：因为f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0. 2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为 A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－∞，0) D.(0,2) 解：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0， 得0<x<2，所以f(x)的减区间为(0,2). 答案：D 3.函数f(x)＝ln x－4x＋1的增区间为 答案：A 4.设函数f(x)＝4ln x－ x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(0,3] B.(0,2] C.[3，＋∞) D.[2，＋∞) 答案：A 令f′(x)>0，解得－1<x<4， ∴函数f(x)的增区间为(0,4]， 5.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为______________. 解：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)， 令f′(x)<0，解得－2<x<－1， 所以函数f(x)的减区间为(－2，－1). (－2，－1) (－3，－1)∪(0,1) 解：由题图知，当x∈(－∞，－3)，(－1,1)时， f(x)单调递减，故f′(x)<0； 当x∈(－3，－1)，(1，＋∞)时， f(x)单调递增， 故f′(x)>0， 7.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性. 解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1). 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0； 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在区间(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在区间(－1,0)上单调递减. (1)求函数y＝f(x)的解析式； 解：因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. ① ② 解：由①②得a＝2，b＝3. (因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去) 令－2x2＋12x＋6＝0， (2)求函数f(x)的单调区间. 9.函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是 解：因为f(x)＝xcos x， 所以f′(x)＝cos x－xsin x. 因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数， 所以函数图象关于y轴对称. 由f′(0)＝1可排除C，D. 而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B. 答案：A 10.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（ ） A.y＝sin x B.y＝xex C.y＝x3－x D.y＝ln x－x 解：B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 当x∈(0，＋∞)时，y′>0， ∴y＝xex在区间(0，＋∞)上单调递增. 答案：B 答案：A 所以A正确，B错误. 12.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是___________________. 解：因为在区间(0，＋∞)上f′(x)>0， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1). (－∞，－1)∪(0,1) (1)求实数k的值； 分层练习-拓展 ∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， ∴f′(1)＝0， 可知h(x)上是减函数， 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，故f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<h(1)＝0，故f′(x)<0. 综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，＋∞). (2)求函数f(x)的单调区间. 课堂小结 1.知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系. (2)利用导数判断函数的单调性. (3)利用导数求函数的单调区间. (4)由导数的信息画函数的大致图象. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论. 3.常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错. (4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，而y′＝－，因为x≠0，所以y′<0.  f′(x)＝6x－＝＝， 令f′(x)>0，解得x>，由f′(x)<0，解得0<x<， 所以函数f(x)的减区间是，增区间是. 解： f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，令f′(x)>0， A. B.(0,4) C. D. 解得0<x<，故所求函数的增区间是. ∴[a，a＋1]⊆(0,4]，即解得a∈(0,3]. 解：函数f(x)＝4ln x－x2＋3x的定义域为x>0，  f′(x)＝－x＋3＝， ∵函数f(x)＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增， 6.函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为__________________. 故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1). 所以＝－. 8.已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y ＋5＝0. 所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2， 又f′(x)＝， 所以所求函数的解析式是f(x)＝. 所以f(x)＝的增区间是(3－2，3＋2)； 减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞). 解：由(1)知，f′(x)＝. 解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 令f′(x)<0，得x<3－2或x>3＋2， 令f′(x)>0，得3－2<x<3＋2. 又f′(x)＝＝， 当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 11.函数f(x)＝的图象的大致形状是 解：当x＝－时，f ＝ <0，排除选项C，D； 即＝0，解得k＝1. 13.已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. 解：由f(x)＝， 可得f′(x)＝. 解：由(1)知，f′(x)＝(x>0)， 设h(x)＝－ln x－1(x>0)， 则h′(x)＝－－<0. $$