5.3.1函数的单调性（一）课件-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性（一） 我们知道 f′(x) 刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性. 既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容. 一、新知引入： 二、新知探求： 问题　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系. 提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0； (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0. (3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0； (4)函数y＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为减函数，而y′＝－ ，因为x≠0，所以y′<0. 二、新知探求： 思考　导数和函数的单调性有什么关系？ 提示：如果函数f(x)在区间（a,b）上是增函数， 那么对任意x1，x2 (a,b)，当x1<x2时， f(x1)<f(x2)，即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号，从而有 结论：这表明，导数大于0与函数单调递增密切相关. 二、新知探求： 思考　导数和函数的单调性有什么关系？ 如果函数f(x)在区间（a,b）上是减函数，那么对任 意x1，x2 (a,b)，当x1<x2时， f(x1) >f (x2)，即 x1-x2与f(x1)-f(x2)异号，从而有 结论：这表明，导数小于0与函数单调递减密切相关. 二、新知探求： 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 增函数 f′(x)<0 减函数 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b 注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数； (2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化. 思考1: 在区间(a,b)上,如果f′(x)>0则f(x)在该区间上单调递增,反过来也成立吗? 提示:不一定.例如f(x)=x3在R上为增函数,但f′(0)=0,所以f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件. 二、新知探求： 思考2: 如果函数在某一个范围内变化得快,图象比较“陡峭”,则函数在这一范围内的导数值越大吗? 提示:不一定,函数在某一范围内变化得快,图象比较“陡峭”,则说明函数在这一范围内的绝对值越大,而函数在这一范围内的导数可能越小. 二、新知探求： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 三、典型例题： 反思感悟　对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象. 三、典型例题： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 反思感悟　通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢． 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 反思感悟　利用导数判断函数单调性的步骤： 确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号， 在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论. 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 反思感悟　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域. (2)求导数y＝f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数. (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数. 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： C 三、典型例题： 解： B 三、典型例题： 反思感悟　比较大小的解题类型： (1)通过已知函数的特点，联想到构造函数，利用导数研究函数的单调性比较大小． (2)通过判断导函数的图象，根据导函数的符号，确定原函数的单调性比较大小． 四、达标检测： 解： C 四、达标检测： 解： CD 四、达标检测： 解： C 四、达标检测： 解： 五、课堂小结： 1.知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系. (2)利用导数判断函数的单调性. (3)利用导数求函数的单调区间. (4)由导数的信息画函数的大致图象. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论. 3.常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错. 例1.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的(　　) 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表： x [－1，b) [b，a) [a，1] f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 f′(x) － ＋ － 由表可知函数y＝f′(x)的图象， 当x∈[－1，b)时，在x轴下方；当x∈[b，a)时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方． 故选C. 变式1(1)已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是图中的(　　) 由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势． 由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示： x (－∞，0] (0，2] (2，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 由表可知f(x)在(－∞，0]内单调递增，在(0，2]内单调递减，在(2，＋∞)内单调递增， 故满足条件的只有C，故选C. 从f′(x)的图象可以看出，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内，导数递增；在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内，导数递减． 即函数f(x)的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内越来越陡峭，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内越来越平缓． 选D. 变式1(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) (2)因为f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1＋eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝eq \f(x2－x＋1,x2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4),x2)>0， 所以f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x在(0，＋∞)上单调递增． 例2.　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x；(3)f(x)＝x－ex(x>0)． (1) 因为f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5在R上单调递增． 例2.　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x；(3)f(x)＝x－ex(x>0)． (3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0， 所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减． 例3　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. (1)易知函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－eq \f(2,x)， 令f′(x)＝0，解得x1＝eq \f(\r(3),3)，x2＝－eq \f(\r(3),3)(舍去)，用x1分割定义域，得下表： x eq \f(\r(3),3) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))) 单调递增 ∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)). 例3　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. (2)f′(x)＝6x2＋6x－36. 由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2； 由f′(x)<0得6x2＋6x－36<0，解得 －3<x<2. 故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． 跟踪训练　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2·e－x； (2)f(x)＝x＋eq \f(1,x). (1)易知函数的定义域为(－∞，＋∞)． f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减 ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． 跟踪训练　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2·e－x； (2)f(x)＝x＋eq \f(1,x). (2)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) 单调递增 f(－1) 单调递减 单调递减 f(1) 单调递增 ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 例4　(1)已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的大小不确定 设f(t)＝2t＋2t， 所以f′(t)＝2＋2tln 2>0， 所以函数f(t)在R上是增函数， 由题意得f(x)<f(y)， 所以x<y. 例4　(2)已知函数f(x)＝ln x－eq \f(1,x)，则(　　) A．f(e)>f(π) B．f(e)<f(π) C．f(e)＝f(π) D．无法确定 f′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 又e<π，故f(e)<f(π)． ∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上单调递增， ∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0. 1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 2．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(3,4) D．(2，＋∞) ∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2. ∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合． 3．函数f(x)＝3＋xln x的单调递增区间是(　　) A. B．(e，＋∞) C. D. f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0， 即ln x＋1>0，得x>eq \f(1,e). 故函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)). 4．函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________． 由f′(x)＝1－2sin x<0，得sin x>eq \f(1,2)， 又x∈(0，π)，∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))). $$