2024年中考数学复习-怎 样 解 图 形 的 旋 转 问 题复习讲义

怎 样 解 图 形 的 旋 转 问 题复习讲义 解题方法 1.模型一：共顶点旋转模型 (1)等腰三角形共顶点旋转 (如图4-3.1 所示) (2)等边三角形共顶点旋转 (如图4-3.2 所示) (3)等腰直角三角形共顶点旋转 (如图4-3.3 所示) (4)正方形共顶点旋转 (如图4-3.4所示) 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 而我们都知道，“全等三角形”是“相似三角形”的一种特殊情况，因此此模型进一步延伸，可引出相似三角形，也就是此模型的最一般的情况，也就是“通法”“共性”，下面也会给出几组连续变化的图形，注意仔细体会各种变化之间的区别与联系 (如图4-3.5 所示). 各部分阴影三角形相似的判定方法，均是： “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”, 类比“SAS”. 2.模型二：对角互补旋转模型 (1)全等型 已知: 如图4-3.6 所示, OC平分. , D,E在 OA,OB上, 过点C 作 可证： (2) 全等型-120° 已知: 如图4-3.7所示, ∠AOB=120°, ∠DCE=60°, OC平分 , D,E 在 OA,OB上, 在OB上截取OF=OC. 可证: △OCD≌△FCE (3)全等型-任意角α 已知: 如图4-3.8所示, ∠AOB+∠DCE=180°, OC平分 , D,E在OA,OB 上, 在OB 上取点 F, 使 CF=CO. 可证: △OCD≌△FCE 3.模型三：角含半角旋转模型 (如图4-3.9所示) 实例分析 如图4-3.10 (a) 所示, 已知线段BC=2, 点B关于直线AC的对称点是点 D, 点 E 为射线CA上一点, 且ED=BD, 连接DE,BE. (1) 依题意补全图4-3.10 (a) 所示, 并证明: △BDE 为等边三角形; (2) 若∠ACB=45°, 点 C关于直线BD的对称点为点 F, 连接 FD,FB. 将△CDE绕点 D顺时针旋转α度 (0°<α<360°) 得到△C'DE', 点 E的对应点为E', 点 C 的对应点为点 C'. ①如图4-3.10 (b) 所示, 当α=30°时, 连接BC'. 证明: EF=BC'; ②如图4-3.10 (c) 所示, 点 M 为 DC 中点, 点 P 为线段 C'E'上的任意一点, 试探究:在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围? 分析 解: (1) 补全图形, 如图4-3.11 (a) 所示; 证明：由题意可知：射线 CA 垂直平分 BD ∴EB=ED 又∵ED=BD ∴EB=ED=BD ∴△EBD是等边三角形 (2) ①证明: 如图4-3.11 (b) 所示, 由题意可知∠BCD=90°, BC=DC又∵ 点 C 与点 F 关于 BD 对称 ∴四边形 BCDF为正方形, ∴∠FDC=90°, CD=FD ∵ ∠CDC'=α=30° ∴∠FDC'=60° 由 (1) △BDE 为等边三角形 ∴∠EDB=∠FDC'=60°, ED=BD ∴∠EDF=∠BDC' 又∵ △E'DC'是由△EDC 旋转得到的 ∴C'D=CD=FD ∴△EDF≌△BDC' (SAS) ∴EF=BC' ②线段PM的取值范围是： 设射线CA交 BD 于点 O, Ⅰ: 如图4.3.11 (c) 所示. 当 D,M,P,C共线时, PM有最小值. 此时 Ⅱ: 如图4-3.11 (d) 当点 P 与点. 重合, 且P,D,M,C共线时, PM有最大值. 此时 ∴线段 PM的取值范围是： 典例精讲 例题1 如图4-3.12 所示, 在. 中, D,E 分别是AB,AC 上的点, 如图 4-3.12(a),然后将 绕A点顺时针旋转一定角度, 得到图4-3.12 (b), 然后将BD,CE 分别延长至 M,N, 使 得到图4-3.12 (c), 请解答下列问题: (1) 若 请探究下列数量关系： ①在图4-3.12 (b) 中, BD 与CE 的数量关系是 ; ②在图4-3.12 (c) 中, 猜想 AM 与AN的数量关系、 与 的数量关系，并证明你的猜想； (2) 若 按上述操作方法, 得到图4-3.12 (d), 请继续探究: AM与AN的数量关系、 与 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明. 思路提示 (1)①，②小问可以根据题意和旋转的性质证全等. (2) 直接类比第 (1) 问中结果可知. 例题2 如图4-3.13所示, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, E是边AC上任意一点 (点E与点 A,C不重合), 以CE 为一直角边作Rt△ECD, ∠ECD=90°, 连接BE,AD. (1) 若CA=CB, CE=CD, ①猜想线段BE，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图4-3.13 (a) 中的 Rt△ECD 绕着点 C 顺时针旋转锐角α, 得到图4-3.13 (b),请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (2) 若CA=8, CB=6, CE=3, CD=4, Rt△ECD 绕着点 C顺时针旋转锐角α, 如图4-3.13 (c) 所示, 连接BD, AE, 计算. 的值. 思路提示 (1) 第①问中由CA=CB, CE=CD, ∠ACB=90°易证 所以 ∠BEC=∠ADC, 又因为∠EBC+∠BEC=90°, 所以∠ , 即 ②成立. 设BE与AC的交点为点F, BE与AD 的交点为点G, 易证 得到AD=BE, ∠CAD=∠CBE. 再根据等量代换得到 即 (2) 易证△ACD∽△BCE. 得到∠CAD=∠CBE. 再根据等量代换得到. 90°, 即BE⊥AD, 根据勾股定理得到 即可根据勾股定理计算. 例题3 如图4-3.14所示, 矩形ABCD中, ∠ACB=30°, 将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线AC，BD的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与 边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F. (1) 当PE⊥AB, PF⊥BC时, 如图4-3.14 (a), 则 的值为 ； (2) 现将三角板绕点 P 逆时针旋转α (0°<α<60°) 角, 如图4-3.14 (b) 所示, 求 的值； (3) 在 (2) 的基础上继续旋转, 当60°<α<90°, 且使AP∶PC=1∶2时, 如图4-3.14(c) 所示, 的值是否变化?证明你的结论. 思路提示 (1) 证明△APE≌△PCF全等; (2)做垂直构造旋转相似； (3) 同第 (2) 问的方法. 针对训练 1. 如图4-3.15所示, 已知△ABC中, ∠C=90°, AC=BC= , 将△ABC绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置, 连接C'B, 则 C'B 的长为 ( ) C. -1 D. 1 2. 如图4-3.16所示, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠B=30°, 将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n度后, 得到△DEC, 点 D 刚好落在AB 边上. (1) 求n的值; (2) 若F 是 DE的中点, 判断四边形 ACFD 的形状, 并说明理由. 3. 如图4-3.17 (a) 所示, 点O 为正方形ABCD的中心. (1) 将线段 OE 绕点 O 逆时针方向旋转90°, 点 E的对应点为点 F, 连结EF,AE,BF, 请依题意补全图4-3.17 (a) 所示; (2) 根据图4-3.17 (a) 所示中补全的图形, 猜想并证明AE与BF的关系; (3) 如图4-3.17 (b) 所示, 点 G是OA 中点, 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点, F绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中 BH 的最大值. 4. 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D是AB的中点, DE⊥BC于E, 连接CD. (1) 如图4-3.18 (a) 所示, 如果∠A=30°, 那么DE 与CE 之间的数量关系是 . (2) 如图4-3.18 (b) 所示, 在 (1) 的条件下, P 是线段CB上一点, 连接DP, 将线段DP绕点 D逆时针旋转60°, 得到线段 DF, 连接BF, 请猜想 DE,BF,BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论. (3) 如图4-3.18 (c) 所示, 如果 P 是射线 CB上一动点 (不与B、C重合), 连接DP, 将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转2α, 得到线段 DF, 连接 BF, 请直接写出DE，BF，BP 三者之间的数量关系 (不需证明). 5. 四边形 ABCD 是正方形, 是等腰直角三角形， G 为 DF的中点, 连接EG,CG,EC. (1) 如图4-3.19 (a) 所示, 若点 E 在CB边的延长线上, 直接写出 EG 与 GC 的位置关系及 的值； (2) 将图4-3.19 (a) 所示中的△BEF 绕点 B 顺时针方向旋转至图4-3.19 (b) 所示所示位置，在 (1)中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3) 将图4-3.19 (a) 所示中的△BEF, 绕点 B顺时针旋转( 若 当E, F, D 三点共线时, 求DF 的长及tan∠ABF的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$