2023—-2024学年北师大版数学九年级上册 第十周自主评价练习（期中测评课件）

第十周自主评价练习 （期中测评卷） 数学 九年级上册 BS版 【第一章至第四章】 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 如图，将矩形 ABCD 对折，使边 AB 与 DC ， BC 与 AD 分别重 合，展开后得到四边形 EFGH . 若 AB ＝2， BC ＝4，则四边形 EFGH 的面积为（　B　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 （第1题图） B 数学 九年级上册 BS版 2. 一元二次方程 x2－3 x ＋1＝0的根的情况（　B　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 随机抛掷一枚瓶盖5 000次，经过统计得到“正面朝上”的次 数为2 100次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“正面朝上” 的概率为（　B　） A. 0.22 B. 0.42 C. 0.50 D. 0.58 B B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，点 D ， E ， F 分别是△ ABC 各边中点，则以下说法错 误的是（　C　） A. △ BDE 和△ DCF 的面积相等 B. 四边形 AEDF 是平行四边形 C. 若 AB ＝ BC ，则四边形 AEDF 是菱形 D. 若∠ A ＝90°，则四边形 AEDF 是矩形 （第4题图） C 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，已知∠ DAB ＝∠ CAE ，则添加下列一个条件后，仍然 无法判定△ ABC ∽△ ADE 的是（　A　） A. ＝ B. ＝ C. ∠ B ＝∠ D D. ∠ C ＝∠ AED （第5题图） A 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝5， AC ＝6，过点 D 作 DE ⊥ BA ，交 BA 的延长线于点 E ，则线段 DE 的长为（　D　） A. B. C. 4 D. （第6题图） D 数学 九年级上册 BS版 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有 门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相 等.则门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为 x 尺，下列方程符合题意的是（　B　） A. （ x ＋2）2＋（ x －4）2＝ x2 B. （ x －2）2＋（ x －4）2＝ x2 C. x2＋（ x －2）2＝（ x －4）2 D. （ x －2）2＋ x2＝（ x ＋4）2 B 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在平面直角坐标系中，△AB'O'是△ ABO 关于点 A 的位 似图形，点 B ，B'的坐标分别为（2，－3），（1，－ ），且 点O'的坐标为（－2，0），则点 A 的坐标为（　C　） A. （0，0） B. （3，0） C. （4，0） D. （5，0） （第8题图） C 数学 九年级上册 BS版 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知△ ABC ∽△ DEF ， ＝ .若△ ABC 的面积为2，则△ DEF 的面积为 ⁠. 10. 一个口袋中有红球和白球共20个，这些球除颜色外，其余都 相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的 颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100次球，发 现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球有 个. 8　 12　 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在△ ABC 中，点 P 为边 AB 上一点，且∠ ACP ＝∠ B . 若 AP ＝6， BP ＝4，则 AC 的长为 . 2 　 数学 九年级上册 BS版 12. 已知关于 x 的一元二次方程（ a －1） x2－2 x ＋ a2－1＝0有一 个根为 x ＝0，则 a 的值为 . 13. 如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD ，分别以 点 B ， D 为圆心，大于 BD 的长为半径画弧， 两弧交于 P ， Q 两点，作直线 PQ ，分别与 AD ， BC 交于点 M ， N ，连接 BM ， DN . 若 AD ＝4， AB ＝2，则四边形 MBND 的周长为 . －1　 10　 数学 九年级上册 BS版 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （本小题满分12分，每题6分）解下列方程： （1） x2－2 x －3＝0；　　 解：（1）因式分解，得（ x －3）（ x ＋1）＝0， ∴ x －3＝0或 x ＋1＝0. ∴ x1＝3， x2＝－1. 数学 九年级上册 BS版 解： （2）∵ a ＝2， b ＝－3， c ＝－1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝17＞0. 由公式法，得 x ＝ . ∴ x1＝ ， x2＝ . （2）2 x2－3 x －1＝0. 数学 九年级上册 BS版 15. （本小题满分8分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 在对 角线 BD 上， AE ∥ CF ，连接 AF ， CE ，试判断四边形 AECF 的 形状，并说明理由. 解：四边形 AECF 是菱形.理由如下： 如答图，连接 AC ，交 BD 交于点 O . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ EF ， AO ＝ CO . ∵ AE ∥ CF ，∴∠ AEF ＝∠ CFE . 答图 数学 九年级上册 BS版 又∵ AC ⊥ EF ， ∴平行四边形 AECF 是菱形. ∵∠ AOE ＝∠ COF ， ∴△ AOE ≌△ COF （AAS）. ∴ OE ＝ OF . ∵ OA ＝ OC ， ∴四边形 AECF 是平行四边形. 答图 数学 九年级上册 BS版 16. （本小题满分8分）某中学为进一步提高研学质量，着力培 养学生的核心素养，选取了A. “青少年科技馆”；B. “黄河入 海口湿地公园”；C. “孙子文化园”；D. “白鹭湖营地”四个 研学基地进行研学.为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随 机抽取部分学生进行调查统计（每名学生必须且只能选择一个 研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如 图所示）. 数学 九年级上册 BS版 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了 人进行调查，在扇 形统计图中“A”所对应圆心角的度数为 ，并补全条 形统计图； 24　 30°　 数学 九年级上册 BS版 解：（1）由统计图可知，本次调查中，一共抽取了12÷50％＝ 24（人）.则选择研学基地“C”的学生人数为24×25％＝6，选择研学基地“D”的学生人数24－2－12－6＝4.故在扇形统计图中“A”所对应圆心角的度数为360°× ＝30°.补全条形统计图如图所示： 数学 九年级上册 BS版 （2）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学 生人数； 解：（2）480×25％＝120（人）.∴估计该校选择研学基地C的 学生有120人. 数学 九年级上册 BS版 （3）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们 对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女 生，请用列表或画树状图的方法求出所选两人都是男生的概率. 解：（3）画树状图（略图）如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两人都是男 生的结果有2种，∴ P （所选两人都是男生）＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 17. （本小题满分10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 k ＋ 1） x ＋ k2－2＝0. （1）证明：Δ＝（2 k ＋1）2－4×（ k2－2）＝2 k2＋4 k ＋9＝2 （ k ＋1）2＋7. ∵无论 k 为何实数，2（ k ＋1）2≥0， ∴Δ＝2（ k ＋1）2＋7＞0恒成立. ∴无论 k 为何实数，原方程总有两个不相等的实数根. （1）求证：无论 k 为何实数，原方程总有两个不相等的实数根； 数学 九年级上册 BS版 （2）若方程的两个实数根 x1， x2满足 x1－ x2＝3，求 k 的值. （2）解：∵ x1－ x2＝3， ∴（ x1－ x2）2＝9. ∵ x1＋ x2＝2 k ＋1， x1 x2＝ k2－2， ∴（ x1－ x2）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝9. ∴（2 k ＋1）2－4×（ k2－2）＝9. 解得 k ＝0或 k ＝－2.故 k 的值为0或－2. 数学 九年级上册 BS版 18. （本小题满分10分）如图，在菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 120°， AB ＝4 ，点 E 为对角线 AC 上的一动点（点 E 不与点 A ， C 重合），连接 BE ，将射线 EB 绕点 E 按逆时针方向旋转 120°后交射线 AD 于点 F . （1）如图1，当 AE ＝ AF 时，求∠ AEB 的度数. 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BC ∥ AD ，∠ BAC ＝∠ DAC . ∴∠ ABC ＋∠ BAD ＝180°. 数学 九年级上册 BS版 ∵∠ ABC ＝120°， ∴∠ BAD ＝60°. ∴∠ EAF ＝30°. ∵ AE ＝ AF ， ∴∠ AEF ＝∠ AFE ＝75°. 由旋转可知，∠ BEF ＝120°， ∴∠ AEB ＝120°－75°＝45°. 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，分别过点 B ， F 作 EF ， BE 的平行线，且两直线相 交于点 G . ①试探究四边形 BGFE 的形状，并求出四边形 BGFE 周长的 最小值； 解：（2）①如图1，连接 DE . ∵ AB ＝ AD ，∠ BAE ＝∠ DAE ， AE ＝ AE ， ∴△ BAE ≌△ DAE （SAS）. ∴ BE ＝ DE ，∠ ABE ＝∠ ADE . 数学 九年级上册 BS版 由旋转可知，∠ BEF ＝120°， ∴∠ BAF ＋∠ BEF ＝60°＋120°＝180°. ∴∠ ABE ＋∠ AFE ＝180°. ∵∠ AFE ＋∠ EFD ＝180°， ∴∠ EFD ＝∠ ABE . ∴∠ EFD ＝∠ ADE . ∴ EF ＝ ED . ∴ EF ＝ BE . 数学 九年级上册 BS版 ∵ BE ∥ FG ， BG ∥ EF ， ∴四边形 BGFE 是平行四边形. 又∵ EB ＝ EF ，∴平行四边形 BGFE 是菱形. 由图可知，当 BE ⊥ AC 时， BE 最短， 此时菱形 BGFE 的周长最小， 此时 BE ＝ AB ＝2 ， ∴四边形 BGFE 周长的最小值为8 . 数学 九年级上册 BS版 ②如图2，连接 BD ， DE ，过点 E 作 EH ⊥ CD 于点 H . ∵ AB ＝ AD ，∠ BAD ＝60°， ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ BD ＝ AB ，∠ ABD ＝60°. ∵ BG ∥ EF ，∴∠ EBG ＝180°－∠ BEF ＝60°. ∴∠ ABD ＝∠ GBE . ∴∠ ABG ＝∠ DBE . 又∵ BG ＝ BE ，∴△ ABG ≌△ DBE （SAS）. ∴ AG ＝ DE ＝ y . ②连接 AG ，设 CE ＝ x ， AG ＝ y ，写出 y 与 x 之间满足的关系式. 数学 九年级上册 BS版 在Rt△ CEH 中， EH ＝ CE ＝ x ， CH ＝ x ， ∴ DH ＝ . 在Rt△ DEH 中，∵ DE2＝ EH2＋ DH2， ∴ y2＝ x2＋（4 － x ）2， ∴ y2＝ x2－12 x ＋48. ∴ y ＝ （0＜ x ＜12）. 数学 九年级上册 BS版 B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知 ＝ ＝ （其中 b ≠ d ），则 的值为 　 　. 20. 若 m ， n 为一元二次方程 x2＋2 x －1＝0的两个实数根，则 （ m ＋3）（ n ＋3）的值为 ⁠. 　 2　 数学 九年级上册 BS版 21. 班长邀请 A ， B ， C ， D 四位同学参加圆桌会议.如图，班长 坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则 A ， B 两位同学座位相邻的概率是 . 　 数学 九年级上册 BS版 22. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， AD ＝12 .将矩形 ABCD 放置在平面直角坐标系中，点 O ， E 分别是边 AD 和 BC 的中 点，点 P 为线段 OE 上一点，且 OP ＝4，点 Q 从原点 O 出发，以 每秒2个单位长度的速度沿 O → A → B → E 方向运动（运动到点 E 时停止），连接 PQ ，将△ OPQ 沿 PQ 翻折，当点 O 的对应点 O'恰好落在边 BC 上时，点 Q 的运动时间为 s. 2 或5 ＋3　 数学 九年级上册 BS版 【解析】设运动时间为 t s .（1）如图1， 点 Q 在 OA 上时，将△ OPQ 沿 PQ 翻折， 点 O 的对应点O'落在边 BC 上，则 OQ ＝ 2 t .∵ AB ＝6， AD ＝12 .点 O ， E 分别 是边 AD 和 BC 的中点，∴ OE ＝6， OA ＝6 .由翻折可知， O'P＝ OP ＝4，O'Q＝ OQ ＝2 t ，∴ PE ＝2.∴O'E＝ ＝ ＝2 .过点O'作O'H⊥ OA ，则O'H＝ OE ＝6， OH ＝O'E＝2 .在Rt△QO'H中，由勾股定理，得O'H2＋ HQ2＝O'Q2，∴62＋（2 t －2 ）2＝（2 t ）2.解得 t ＝2 . 数学 九年级上册 BS版 ②如图2，点 Q 在 BC 上时，将△ OPQ 沿 PQ 翻折，点 O 的对应点O'落在边 BC 上， EQ ＝12 ＋6－2 t .由翻折，得O'Q＝ OQ ，O'P＝ OP ＝4，∴ PE ＝2.∴O'E＝ ＝ ＝2 .∴ OQ ＝O'Q＝12 ＋6－2 t ＋ 2 ＝14 ＋6－2 t .在Rt△ OEQ 中，由勾股定理，得 EQ2＋ OE2＝ OQ2，∴（12 ＋6－2 t ）2＋62＝（14 ＋6－2 t ）2. 解得 t ＝5 ＋3.综上所述，点 Q 的运动时间为2 s或 （5 ＋3）s.故答案为2 或5 ＋3. 数学 九年级上册 BS版 23. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ BCD ＝90°，对角线 AC ， BD 相交于点 O . 若 AB ＝ AC ＝5， BC ＝6，∠ ADB ＝2∠ CBD ，则 AD 的长为 . 　 【解析】如图，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H ，延长 AD ， BC 交于点 E . 根据等腰三角形性 质得出 BH ＝ HC ＝ BC ＝3.在Rt△ AHC 中，根据勾股定理，得 AH ＝ ＝4. 数学 九年级上册 BS版 ∵∠ ADB ＝∠ CBD ＋∠ CED ＝2∠ CBD . ∴∠ CBD ＝∠ CED . ∴ DB ＝ DE . ∴ CD ⊥ BE ，∴ CE ＝ BC ＝6.∵∠ AHB ＝∠ BCO ＝90°，∴ CD ∥ AH . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ CD ＝ .在Rt△ DCE 中，根据勾股定理，得 DE ＝ ＝ ＝ .∵ CD ∥ AH ，∴ ＝ ，即 ＝ .∴ AD ＝ .故答 案为 . 数学 九年级上册 BS版 二、解答题（共30分） 24. （本小题满分8分）某电商在网络平台上对一款成本价为40 元的小商品进行直播销售，若按每件60元销售，每天可卖出20 件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低2元，日销售量 增加4件. 数学 九年级上册 BS版 （1）当每件小商品售价降为多少元时，每天的销售量为36件？ 并求出此时的利润. 解：（1）由题意，得60－（36－20）÷4×2＝52（元）， 此时的利润为（52－40）×36＝432（元）. 故当每件小商品售价降为52元时，每天的销售量为36件，此时 的利润为432元. 数学 九年级上册 BS版 （2）若降价后每天的利润不变，则每件小商品售价应定为 多少元？ 解：（2）设每件小商品售价应定为 x 元，则每件利润为 （ x －40）元，日销售量为（140－2 x ）件. 由题意，得（ x －40）（140－2 x ）＝（60－40）×20， 解得 x1＝50， x2＝60（舍去）. ∴每件小商品售价应定为50元. 数学 九年级上册 BS版 25. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 （－ ，0），点 B 在直线 l ： y ＝ x 上，连接 AB ，过点 B 作 AB 的垂线，过原点 O 作直线 l 的垂线，两垂线相交于点 C . （1）如图，点 B ， C 分别在第三、二象限内， BC 与 AO 相交于 点 D . ①若 CD ＝ CO ，求点 B 的坐标； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）①∵ CD ＝ CO ，∴∠ COD ＝∠ CDO . ∵∠ ADB ＝∠ CDO ，∴∠ ADB ＝∠ COD . ∵ BC ⊥ AB ， CO ⊥ BO ，∴∠ ABC ＝∠ BOC ＝90°. ∴∠ BAD ＝∠ DOB . ∴ AB ＝ OB . ∴点 B 的横坐标为－ . 将点 B 的横坐标代入 y ＝ x ，得 y ＝－ . ∴点 B 的坐标为（－ ，－ ）. 数学 九年级上册 BS版 ②若∠ CBO ＝45°，求△ BOC 的面积. ②如图1，过 A 作 AM ⊥ OB 于点 M ， 过点 M 作 MN ⊥ y 轴于点 N . ∵点 M 在直线 l ： y ＝ x 上，∴ ＝ . ∵ OA ∥ MN ，∴∠ AOM ＝∠ OMN . ∴△ AOM ∽△ OMN . ∴ ＝ .∴ ＝ ＝ . 设 AM ＝3 n ，则 OM ＝8 n . 数学 九年级上册 BS版 在Rt△ AOM 中，由勾股定理，得 AM2＋ OM2＝ OA2. ∵点 A 的坐标为（－ ，0），∴ OA ＝ . ∴（3 n ）2＋（8 n ）2＝（ ）2，解得 n ＝1（舍去负值）. ∴ AM ＝3， OM ＝8. ∵∠ CBO ＝45°， CO ⊥ BO ，∠ ABC ＝90°， ∴ BO ＝ CO ，∠ ABM ＝45°.又∵∠ AMB ＝90°， ∴ BM ＝ AM ＝3.∴ OB ＝ OM － BM ＝5. ∴ S△ BOC ＝ BO · CO ＝ ×5×5＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）是否存在点 B ，使得以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似？若存在，求 BO 的长；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在点 B ，使得以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似.过点 A 作 AM ⊥ OB 于点 M . 由（1）②可知， AM ＝3， OM ＝8. 数学 九年级上册 BS版 当点 B 在线段 OM 或 OM 延长线上时，如图2，3所示. 设 BO ＝ x ，则 BM ＝｜8－ x ｜， AB ＝ . ∵ CO ⊥ BO ， AM ⊥ BO ， AB ⊥ BC ，∴∠ BOC ＝∠ AMB ＝90°，∠ BCO ＝90°－∠ OBC ＝∠ ABM . ∴△ BOC ∽△ AMB . ∴ ＝ ， 即 ＝ . ∴ CO ＝ ·｜8－ x ｜. 数学 九年级上册 BS版 在Rt△ BOC 中， BC ＝ ＝ . ∵∠ ABC ＝∠ BOC ＝90°，∴以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与 △ BCO 相似，分两种情况： ①若 ＝ ，则 ＝ . 解得 x ＝4.∴ BO ＝4. ②若 ＝ ，则 ＝ . 解得 x1＝4＋ ， x2＝4－ ， x3＝9， x4＝－1（舍去）. ∴ BO ＝4＋ 或 BO ＝4－ 或 BO ＝9. 数学 九年级上册 BS版 当点 B 在线段 MO 延长线上时，如图4所示. 由（1）②可知， AM ＝3， OM ＝8. 设 BO ＝ x ，则 BM ＝8＋ x ， AB ＝ . ∵ CO ⊥ BO ， AM ⊥ BO ， AB ⊥ BC ， ∴∠ BOC ＝∠ AMB ＝90°， ∠ BCO ＝90°－∠ OBC ＝∠ ABM . ∴△ BOC ∽△ AMB . ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ CO ＝ （8＋ x ）. 数学 九年级上册 BS版 在Rt△ BOC 中， BC ＝ ＝ . ∵∠ ABC ＝∠ BOC ＝90°， ∴以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似， 需满足 ＝ ，即 ＝ . 解得 x1＝－9（舍去）， x2＝1，∴ BO ＝1. 综上所述，以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似，则 BO 的长度为4或4＋ 或4－ 或9或1. 数学 九年级上册 BS版 26. （本小题满分12分）如图1，在正方形 ABCD 中，点 M 为 CD 边上一点，过点 M 作 MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ，连接 DN ， BM ， CN ，点 P ， Q 分别为 BM ， CN 的中点，连接 PQ . （1）求证： CM ＝2 PQ . （1）证明：如图1，连接 BD ， 取 MN 的中点 E ，连接 EP ， EQ . ∵ MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ， ∴△ DMN 是等腰直角三角形. ∴∠ MDN ＝45°. 数学 九年级上册 BS版 则 CM ＝1－ a ， DN ＝ a ， BD ＝ . ∴ BN ＝ （1－ a ）. ∵点 E ， P 分别为 MN ， BM 的中点， ∴ EP ＝ BN ＝ （1－ a ）. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ MDB ＝45°. ∴ D ， N ， B 三点共线. 设 DC ＝1， DM ＝ a ， 数学 九年级上册 BS版 ∴ EF ＝ EQ ＝ （1－ a ）＝ EP . ∴ QF 垂直平分 EP . ∴ EQ ＝ PQ . ∵ EQ ＝ CM ，∴ CM ＝2 PQ . ∵点 E ， Q 分别为 MN ， CN 的中点， ∴ EQ ＝ CM ＝ （1－ a ）， EQ ∥ DC . 过点 Q 作 QF ⊥ EP ，则△ QFE 是等腰直角三角形. 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，将图1中的△ DMN 绕正方形 ABCD 的顶点 D 按顺 时针方向旋转α（0°≤α≤90°）. ①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过 程；若不成立，请说明理由. （2）解：①如图2，连接 BD ，取 MN 的中点 E ，连接 EP ， EQ ， BN . ∵∠ CDB ＝∠ MDN ＝45°，∠ CDM ＋∠ MDB ＝∠ BDN ＋∠ MDB ， ∴∠ CDM ＝∠ BDN . 数学 九年级上册 BS版 ∵ ＝ ＝ ，∴△ CDM ∽△ BDN . ∴ ＝ ＝ ，∠ DMC ＝∠ DNB . ∵点 E ， P 分别为 MN ， BM 的中点，∴ EP ＝ BN ， EP ∥ BN . ∴∠ PEM ＝∠ BNM ，∠ PEN ＝180°－∠ BNM ＝180°－（∠ BND －45°）＝225°－∠ BND . ∵点 E ， Q 分别为 MN ， NC 的中点，∴ EQ ＝ CM ， EQ ∥ CM . ∴∠ NEQ ＝∠ NMC ，∠ MEQ ＝180°－∠ EMC ＝180°－（360° －90°－∠ DMC ）＝∠ DMC －90°. 数学 九年级上册 BS版 ∴ ＝ ＝ .∴∠ PEQ ＝180°－∠ PEN －∠ MEQ ＝180°－（225°－∠ BND ）－∠ DMC ＋90°＝45°. 过点 Q 作 QK ⊥ EP 于点 K ，则△ EKQ 是等腰直角三角形， ∴ EK ＝ EQ . ∵ ＝ .∴ EP ＝ EQ . ∴ EK ＝ KP ＝ EQ . ∴ EQ ＝ PQ . ∵2 EQ ＝ CM ，∴ CM ＝2 PQ . 数学 九年级上册 BS版 ②若 AB ＝10， DM ＝2 ，在△ DMN 绕点 D 旋转的过程中，当 点 B ， M ， N 三点共线时，求出线段 PQ 的长. ②如图3，连接 BD ，当点 B ， M ， N 共线， 点 M 在 DC 的上方时. ∵ DB ＝ AB ＝10 ， ∴ BM ＝ ＝ ＝6 . ∵ DM ＝ MN ＝2 ，∴ BN ＝ BM － MN ＝4 . 数学 九年级上册 BS版 同（2）①易证△ CDM ∽△ BDN ， ∴ ＝ ＝ . ∴ CM ＝ ×4 ＝2 . ∴ PQ ＝ CM ＝ . 如图4，当点 B ， M ， N 共线，点 M 在 DC 的下方时. 在Rt△ DBM 中， BM ＝ ＝6 ， BN ＝ BM ＋ MN ＝8 . ∴ CM ＝ BN ＝4 . ∴ PQ ＝ CM ＝2 . 综上所述， PQ 的长为 或2 . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$