2024年九年级中考数学中考二轮复习专题 二次函数与几何图形重叠部分面积　

专题 二次函数与几何图形重叠部分面积（中考二轮复习） 引例、有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为x cm，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为S cm2．当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式． 变式1、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式 变式2、如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）如图2，点D（2，m），将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 变式3、已知，如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象交x轴于A（﹣1，0），交y轴于点C（0，3），D是抛物线的顶点，对称轴DF经过x轴上的点F（1，0）． （1）求二次函数关系式； （2）对称轴DF与BC交于点M，点P为对称轴DF上一动点．点P（1，1），把△APF沿着x轴向右平移t个单位长度（0≤t≤4）时，设△APF与△MBF重叠部分面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并求出S的最大值． 变式4、如图①，抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）如图②，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式． 变式5、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点． （1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标； （2）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 变式6、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+交x轴，y轴于A、C两点．二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过A，C两点，与x轴另一个交点是B．动点P从A点出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度，向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D，（点P不与点A、B重合）作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设P点运动时间为t． （1）求二次函数关系式； （2）设△PDQ与△ABC重叠面积为S，求S与t之间函数关系． 变式7、如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣x+6与直线l2相交于点A，与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O、点A和点B，已知点A到x轴的距离等于2． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形OPMN与△OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$专题二次函数与几何图形重叠部分面积（中考二轮复习） 参考答案 引例、解：设直尺与直角三角形的直角边交于K、H 如图，当0<x≤4时 由题意，得AD=DK=x,AE=HE=x+4 g=[x+(x+4)]X4=4x+8 2 H A DE B 如图，当4<x≤8时，过C作CGLAB于G 由题意，得DK=AD=x,CG=8,HE=BE=16-x-4=12-x GE=x+4-8=x-4,DG=8-x S=(x+8)×(8-x),[8+(12-x)]×(x-4) 2 2 =-x2+12x-8 H DG E B 如图，当8<x<12时 由题意，得DK=BD=16-x,HE=BE=16-x-4=12-x 8[16-x)+612-x)]x4.-4x+56 2 C H 4x+8(0<x<4) 综上所述，S= -x2+12x-8(4<x<8) -4x+56(8<x<12) 变式1、解：(1)将A(-3,0),B(1,0)代入y=2+b+3,得 f9a-3b+3=0 a+b+3=0 解得a-1 "b=-2 ∴y=-x2-2+3 (2)如图，当0<1<1时，设BC与y轴交于K 由题意，得OO=t,OB=1-t ∴.OK=30B=3-3t S=1x3+3-30x=-号t2+3 2 K 当18时，5 2 当号≤≤3时，C0'与D交于Q,BC与AD交于M,过P作PN 由题意，得AO=3,0O=1 ∴40=3-t,0g=6-21 ∴.C0=2t-3 .ON=2MN,CN=3MN 35 D C N M B B t2+3t(0<t<1) 2 综上所述，S= 昌1K<) 变式2、解：(1)将A(-1,0)、B(3,0)y=am2+bx+3,得 9a+3b+3=0 a-b+3=0 解得a=-1,b=2 y=-x242+3 (2)当x=2时，m=-x2+2+3=3 .D(2,3) 当x=0时，y=-x242x+3=3 .C(0,3) ..OC=OB ∴.∠OCB=∠CBO=45 由B(3,0)、C(0,3)得直线BC:y=-+3 由B(3,0)、D(2,3)得直线BD:y=-3x+9 如图，当0≤t≤2时 由题意，设直线CB′：y=-(x-t)+3 令.(x-tD+3=-3+9,得x=6-t 2 F6-,3t) 2 2 g=号×2x3-是×x1-是×(2-0(3-3匙 2 =.5243 4 y个 D 如图，当2<长3时 N(t,-3t+9),M(t,-t+3) 8=(-39）)（3)]X(3-n =2-649 y个 D 0'B B'x 综上，S 5t2+3t(0<tK2) t2-6t+9(2<t<3) 变式3 解：(1)由题意，得B(3,0) 设y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3) 将C(0,3)代入上式，得-3a=3 解得a=-1 y=-x242x+3 (2)如图，当0≤≤1时 S=SAAPF-S△AAN -×2x1-号(2-t)×号2-) -专202刚 当=1时，8的最大值为 4 D ②如图，当1<t<2时， 由B(3,0、C(0,3)得直线BC:y=-x+3 .E(1+i,2-t) .PE=1-(2-tD=t-1 ,∠PEG=∠BEF=∠CBO=45°，PE=t-1,tanP=2 G0-9D S=S四边形NKFP~S△PBG =号×11)X2×-D×号D 121 当1=9时，S的最大值为吗 D M G ③如图，当2≤≤4时 .CBO=45,AB=4-t,tanP=2 4-t ,∴，RH=BH= 3 5=号×(4-t)×(号) 清4-： 当=2时，8的最大值为号 综上所述，当1=9时，8的最大值为吗 7 变式4、解：(1)由题意，设y=a(x-1)2.27 将C(0.-3)代入上式，得a2=-3 8 解得a=3 8 是智号是3 (2)由题意，得OB=4,OP=2 消=2时是 x-3=-3 .D(2,-3) ∴直线OD表达式为：y=- 2 由平移性质，得P1(2-m,0,E(2-m,-3+3m,D1(2-m-3,-3,01(~m,0) “直线OM表达式为：y=.27 ①如图，当0<m≤10时，作F欧⊥x轴 9 O1D1∥OD ·直线0D1表达式为：y=-马3 2 27 x-5m 联立方程 解得 27 y=1 2x 2m y= 10 FK=27 % ∴S四边形O0g=3m-号XmX27m号XmX（3m 2 10 2 2 = 21m243m 1 y个 01 A 如图，当1 2<m<2时，E2m3号.则F2m 27(2-m) =2号2m1g2mn ∴SAOEF=- 号(2-m)×5(2-m）=52-m)2 16 V个 变式5、解：(1)由题意，设y=a(x+3)(x-9) 将C(0,4)代入上式，得-27a=4 解得a=27 (x43)(x-9)=· y=27 由题意，得C(0,4》 令会2号4=4解得=0或=6 .D(6,4) (2)如图，当0<t≤3时，设O2C2交OD于K CO2∥DE ∴.△OO2K∽△OED ∴.O2K:ED=O02:OE .02K:4=:6 :0x号 0 如图，当3<1≤6时，设A2C2交OD于G,O2C2交OD于P 易得直线OD表达式为：)子 由43,0,6得直线40表达式为y号号4 号4、得62以 G(-6+2,-444) ∴.GT=t-(-6+2)=6-t :CP∥OC ∴.△DCP∽△DCO ..DC2:DC=C2P:CO .(6-t):6=C2P:4 CP=2(6-D 3 8=1×3X4- 2 x2(6D(6-D 2^3 =- 2+4-6 3 D G T B 0A2 03 月20<<) 综上，S 号t24t6（3<tK6) 变式6、 解：1)令y=3√3=0时，得x=3 4(-3,0) 当x=0时，得y=35=V3 3 .C(0,√3) 将A（-3.0、C0,V3)代入y=ax225x+ 3x+c,得 9a+2V3+c=0 C=V3 3 a=- 解得 3 (c=V3