湖北省云学名校新高考联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

2024年云学名校联盟高一年级5月联考 数学试卷(A卷) 命题学校：薪春一中命题人：陈正鹏 审题人：邓旋 考试时间：2024年5月29日14：30-16：30 满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上， 2回答选择通时，进出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在各题上写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本试卷主要考试范国：人教A版必修第一研至必修第二厨第六、七、八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A={x3<2x,B={川y=3+1},则 () AAnB=2B.4uB=经+m）C.C= D.AcB 2△MBC中，角，B,C所对的边分别为a,,c,已知6=反.月=若osA=-号，则a=（) A. 22 B.82 c.86 15 D. 6 3.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面a,B,则下列说法正确的是 () A.若a∥B,mca,ncB,则m∥n B.若m⊥a,n⊥m,则nl∥a C.若a⊥B,a个B=,n⊥m,则m⊥B D.若aOB=n,mca,m∥B,则m∥n 4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M(2,3)N(3,1),则cos2∠MON= () A答 B. 3 65 c. D.33 65 65 5.已知x>0,y>0,且4x+y=1,则+2的最小值为 力 A.6N2 B.4W2 C.4 D.6 6已知向量=，sna,i=(easa,2(-受sa≤孕，则下列命题中不醴的是 A.存在a,使得问-月 B.当mn=√5时，tana=万 C.当m与n垂直时，tana=- D.m与n可能平行 7若f因=17，对任意实数a6:则a+b>0是"o+了6>r成立的 () A.充分且必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.若函数f(x)=ar+ax+…+a-x+a,(a≠0)有m个不同的零点，xx 则f(x)=a(c-)x-)(x-xn）.己知g(x)=x(x-4)2,存在实数a,b,c,1 满足g(a)=g(b)=g(c)=(a<b<c),则a+b+c= () A.8 B.-8 C.16 D.与实数1有关 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，：有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设，3，是复数，则下列说法正确的是 () A.若z为纯虚数，则z2<0 B.若=，则2=2 c.若2=五，则同= D.若∈R,则= 10.下列说法正确的 a b A.非零向量a,i,若a与b共线， B.非零向量a,6满足（ā+万1(a-可，则同-万 AB AC Bc-0,且 AB AC C.在△ABC中， 若 AC 2,则△ABC为等边三角形 D.已知单位向量a,i,c满足2a+36+46=0,则a6=- 11.在长方体ABCD-A,B,CD,中，AA,=4,AB=BC=2,动点N在线段AC上（不含端点）， M在线段AB上，则 D () A,存在点N,使得BN∥平面AADD B B.存在点N,使得AC⊥BN C.B+D的最小值为23 3 D.MW的最小值为45 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上 12.已知i是虚数单位，复数z=4-33-21),则复数z的虚部为 13.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是 湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著 《本草纲目》，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲 春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的 高度，在地面上选取共线的三点A、B、C,分别测得雕像顶的仰 角为604530，且AB=BC=676米，则雕像高为 米 10 14.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台.在正三棱 台ABC-AB,C,中，侧棱AA=4,AB=6,AB,=2,则侧棱AA与底面ABC所成角的正弦值 为 一，该三棱台的体积为 2 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 己知向量a=(2cosx,sinx+cosx),b=(W5sinx,sinx-cosx),且函数fx)=a-b-m在 x∈R时的最大值为2-√万. (1)求常数m的值： (2)当x∈[0，时，求函数f(x)的单调递增区间. 16.(本小题满分15分) 已知复数z=3-2i（i为虚数单位)， (1)求-1+： ②若写车=eos0+isn0),其中r>0,0e02x,求，9的值： (3)若=3，且22是纯虚数，求2· 17.(本小题满分15分) 如图所示，圆内接四边形ABcD中，B=5,AD=25,C为圆周上一动点，∠8CD=背 (I)求四边形ABCD周长的最大值： 回二求4C的长 3 扫描全能王 】亿人在用的扫描A时 18.(本小题满分17分) 在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,E为AD边上一点，F为PB中点， C AD,M8=8C=PA-2AD=4AB=hPD=25、∠MBC= (I)求四棱锥P-ABCD的体积： (2)证明：AF∥平面PCE: (3)证明：平面PAB⊥平面PBC, 19.(本小题满分17分) 如图，设Ox,Oy是平面内相交成a(0<a<)的两条射线，g,g2分别为Ox,Oy同向的单位 向量，定义平面坐标系xO为a-仿射坐标系在a-仿射坐标系中，若O=x+y吧，则记 OP=(x.y). (1)在a一仿射坐标系中 ①若a=(m,,求： ②若a=(-13)5=(-3,且a与万的夹角为号， 求cosa: ②)如图所示，在-仿射坐标系中，B,C分别在x抽，y轴正半轴 上，d=1,0而-0元，EF分别为B0,8C中点，求O丽.O下 的最大值 CS扫描全能王 】亿人在用的扫描A时2024年云学名校联盟高一年级5月联考 数学评分细则(A卷) 一、选择题、填空题 题号 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D C D D A A AC BC BCD 题号 12 13 14 答案 -10 20.1 V6 52W2 4.解析： 6+3 =(2,3), =(3,1)所以 9 =H49师=， cos2∠M0N=22∠ 81 16 -1=2130-1= 65 5.解析：y=++2=+≥2四=6，当且仅当x=y时取最小值，此时x=y=专 y y 7.解析：依题意得+f-)=1-1+1-1,=2-1-4 =1 4"+1 4+1 4+14+1 所以x关于点(0，中心对称，易知fx)在0，+四)单增，所以在R上也单增. 当a+b>0时，则a>-b,f(a)>f(-b),又fb)+f(-b)=1,所以f(a)+f(b)>1 当f(a)+fb)>1,f(a)+fb)>fb)+f(-b),即f(a)>f(-b),又因为f(x)在R上为单增函数，所以a> -b,即a+b>0 8.解析：依题意知y=g(x)-t有三个零点a,b,c,x(x-4)2-t=(x-a)(x-b)(x-c), 展开对应项系数相等得 x3-8x2 +16x-t=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc,a+b+c=8 10,解析：对于选项A,当a与b反向时，司=-高A错误： 对于选项B,(a+b)·(a-b)=0,a2-b2,al=bl,B正确： 对于选项C,始表示与AB同向的单位向量，二表示与AC同向的单位向量，始始=子所以AB IABI IACI 与AC夹角为60，姆+怎表示起点相同的两个单位向量的和向量，为BAC角平分线同向的向量， 与BC垂直，所以AB=AC,所以△ABC为等边三角形，C正确： 对于选项D,因为2a+3b+4c=0,所以2a+36=4c,两边平方得，(2a+3b2=(-4c2，即 1 4+12a-6+9=16,a.i=,D错误 11.解析：对于选项A:若存在点N,使得BN/平面A1AD,又因为BC/平面A1AD,N不与C重 合.BN与BC相交于B点，且都在平面A1BC内，则平面A1BC/平面A1AD与题目不相符，A错误. 对于选项B,连接BD,且AC∩BD=O,如图所示，当N在A1C中点时，因为点O为AC的中点， 所以ON/A1A,因为A1A⊥平面ABCD, 所以ON⊥平面ABCD,又因为ACc平面ABCD,所以ON⊥AC, 因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD. 又因为BD n ON=O,且BD,ONC平面BDN,所以AC⊥平面BDN, 因为BNC平面BDN,所以AC⊥BN,所以B正确： 对于选项C:将△A1BC和△A1CD所在的平面沿着A1C展开在一个平面上， 如图所示△A1BC和△A1DC是全等的直角三角形，A1B=A1D=2V5,BC=CD=2, 连结BD,BD⊥A1C,则NB+ND的最小值为BD,直角△A,BC斜边A,C上高为25= ,直角 2v6 3 △ACD斜边A,C上高也为，所以NB+ND的最小值为3D,所以C正确： 对于选项D:过N点作NP/CD,交A1D于P,作NT/A1A,交AC于T,过T作MT/BC交AB 于M.(若M在其它位置，MN长度比此时大)如图所示 易证明平面MNT/平面A1AD,MNc平面MNT,所以MN/平面A1AD NP/CD,AM//CD,所以AM/NP,MNC平面AMNP,平面 D AMNPn平面A1AD=AP,所以MN//AP,所以四边形AMNP为平行四边形. 所以MN=AP,当AP最小时MN最小， 在Rt△A1AD中，IA1A=4,IAD|=2,可得ADI=2V5, 所以由等面积得AP最小值为S,即MN最小值为，所以D正确， 故选：BCD 13.解析：如图所示，设雕像的高为P0=h, 则0A=h,OB=h,0C=V3h,OB为中线， 由平行四边形的性质2(0A2+0C2)=(20B)2+AC2得 h=AB=9×0=20.1m 10 故答案为：20.1 14,解析：如图所示，延长侧棱相交于点P,取BC中点D,AD的三等分点O(靠近D点)连接OP, 2 依题意得△PA1B1∽△PAB, 合得-方所以PA2AB,又因为三俊台A8c-AG是正 三棱台，PA=AB,所以三棱锥P-ABC为正四面体.所以PO⊥平面ABC, AA与底面ABC所成角为LPA0,PA-6,A0AD号·受AB-2V3, 所以PO-VPA2-0A2=2V6,sin∠PA0-5 Vr-AnSAABCPOAB2 AB-AB3. .34 同理Vp486= AB, 所以该三棱台的体积为号AB3-号AB,3= 【评分细则】 【14题第一空2分，第二空3分】 四、解答题 五、15.【答案】(1)V3 20,到和，小，（写开区间不扣分） (1)a.b=2v3sinxcosx+sin2x-cos2x 3sin2x-cos2x =2sin (2x-......3 f0凶=2sin(2x-)-m,xeR时，f0x)max=2-m=2-V3,解得：m=V3.6分 (2)由(1)知：fx)=2sin(2x-)-V3 令-5+2km≤2x-8≤+2kmke2,解得：-8+km≤x≤智+kmk∈Z刃，9分 又因为x∈[0，可：f的单调递增区间为0，到和， 13分 (写开区间不扣分，少一个扣3分，其它方法酌情给分) 【评分细则】 15.按原评分标准给分。 15 (2)xelox] 号解： 心2x-平， 。●迟第xf经乱，n政为 的即0，引，，利 o约年调增间%，]说x】 注：若多城山[赵，因扣1分 3 16.解：(1)z-1+1=2-1… …2分 Z-1十i训=V54分 ®-品0- 6分 22 .7分 写号cos受+is9),07风備=个扣2分）9分 4 (3)设z2=a+bi,a,b∈R 则1z2l=Va2+b2=V13,所以a2+b2=13① zz2=(3-2i)(a+bi)=(3a+2b)+(3b-2a)i.… 12分 因为zz2是纯虚数，所以3a+2b=0,3b-2a≠0② 由①②联立，解得{1三23或{很二3214分 所以22=2-3i或22=-2+3i.15分 【评分细则】 16.按原评分标准给分。 17,解：(I(方法一)：连接BD,因为∠BCD=?所以LDAB=号 在A4BD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADc0s2r ,得BD=√2i2分 3 设∠DBC=0,则∠BDC=2-0,在ABCD中由正弦定理得 3 BC CD BD sin-0) sin sn克，所以c0=25s血0，BC=2n(-03分 、3 所以BC+CD=2W7(sin0+sin 2π-0) .4分 =27.(gn04 C0S0) 2 .5分 =25.5sn0+gs22i .6分 当且仅当0-=号时，周长的最大值为2+3V5 .7分 (仿法二)连接BD,因为∠BCD=京所以∠DAB=号 、在AMBD中，BD2=AB+AD2-2AB:ADcos5,得BD=V2,2分 在△BCD中由余弦定理得 BD2=BC2+CD*-2BC.CDcos=BC2+CD:-BC.CD=(BC+CD)2-3BC.CD,.......3 所以(BC+CD)2-21=3BC·CD, 因为BC·CD≤ BC+CD 、2 当且仅当BC=CD时等号成立 .5分 所以(BC+CDP-2I≤(BC+CD,BC+CD≤22i, .6分 所以周长的最大值为2√21+3√5。 .7分 (2)依题意 CD-2'设BC=xCD=2x, BC 1 .8分 在△BCD中由余弦定理得 DCCD-2CCDcs 10分 所以(W21)2=x2+(2x2-x-2.x,x2=7,BC=7,CD=2V711分 CD2=BC2+BD2,所以∠DBC= 2 BD AD 在△1BD中，由正弦定理得sn2zsm乙ABD,所以sin∠ABD=Y 12分 cos∠ABC=cos∠ABD+5)=-Sin∠ABD=-V2 2 7 13分 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB.BC.cos∠ABC=16,AC=4..15分 (其它方法的情给分) 【评分细则】 17.按原评分标准给分。 18.解：(1)PA=2,PD=2V3,AD=4,AD2=PA2+PD2,.PA⊥PD,且∠ = 又PA-2,AE=l,∠PAD=由余弦定理得PE=3,PA2=AE2+PE2,2分 ·.PE⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,PEC平面PAD, .PE⊥平面ABCD .3分 连接AC,AB=BC=2,∠ABC=,AC=2,AMBC为等边三角形， 5 BCI/AD,∠ABC=F∠DAB=∠DAC=票AC-2,AD=4,AC⊥CD得△MCD为直角三角形. 2=5+S52225=3月. 4 ·'n-ABcD= PEasmg5.35=3 6分 2取PC中点M,F为PB中点，FM为△PBC中位线，FMBC,又AEBC, FM∥AE,四边形AFME为平行四边形8分 .AFME,又MEc平面PCE,AF丈平面PCE, AF/Y面PCE..44.11分 (3)由(2)得四边形AFME为平行四边形.CE-PE=√3，M为PC的中点， .ME⊥PC,又AF/ME,.AF⊥PC 在△PAB中，AB=PA,F为PB中点，.AF⊥PB, .13分 PBC平面PBC,PCC平面PBC,PBOPC=P ∴.AF⊥平面PBC .15分 又：AFC平面PAB .平面PAB⊥平面PBC. 17分 (其它证明方法酌情给分) 【评分细则】 18.按原评分标准给分。 19.解：(1)①因为a=(m,m),a=me+ne3, a=(me +ne )=m+2mme+=m+2mmcosa+n - →2 所以日-√m2+2 mncos a+m …4分 ②由a=(←1,3).6=（←3，得日-2+2-（仁）-3c0sa+32=V10-6cosa5分 园--3y+2-(-3)-1cosa+P=10-6cosa. 6分 a-i=(g+3g)-(←38+)=382+3g2-10e-6=6-10c0sa7分 因为a与6的夹角为行，则 πa-b6-10cos1 o3 10-6cosa2,得cosa= 79分 (2)方法一：依题意设B(m,0),C(0,n),(m>0,n>0) 6 ∠80c-8c=l,o而-goc=0gn 3 19 因为r为BC中点o-号oc+oB-m+号ne 2 E为BD中点，所以O正=)O币+)O8=)me+ 1-7 2 38 11分 所以o死.oF=mG+吗)-(me+38 ,1 1一7一、12一2,72一2， > e2)=me+ 4 ne2+（,mn+mn)ee2 76 76 4 ,π1 因为g=e2=lee2=11cos2= 321 7 m2+7n+13 1、11 mn) n+ m12分 76 4 2 76 76 在△OBC中依据余弦定理得m2+n2-mn=1,所以mn=m2+n2-1,代入上式 oE.o吓-高am+8-0-6m+8r)- 197619 7614分 设m2+r2-1=mm≤m2+ru>0),则0-0m2+0-n2≤1， 4 4 .15分 1-)_5 令0-8得32r-12-5=0得-专6=含)，所以m+rs1,5m+8m≤ 8 5 3 41 oE.oF=16(6m+8m)-12s5401312 7619376228 写，17分 方法二：方法一：依题意设B(m,0),C(0,n),(m>0,n>0) ∠80c-Bc=l,o-goc=06n 19 因为F为sc中点oF=)oc+)oB=)mc+5e 2 2 2 2 E为BD中点，所以OE=o0+o丽-m+8 一7 2 2 2 1一7 1 2一272一2 1 me+ne2+(气mn+mn)e·e2 4 76 76 4 因为6=6=leg=11cos2=1 32 oo际-+r+(m+m片-m+ 7 1、11 7 5=m2+- 13 n2+ 76 4 mn12分 76 在△OBC中依据余弦定理得m2+n2-mn=1,所以mn=m2+n2-1,代入上式 E.o丽-高m+8r-名6m+ 76… .14分 BC oC OB 在△OBC中，由正弦定理.inπsin∠COB sin∠BCO, sin- 3 sind.n=2 2 设∠BCO=0,m= sin(o+ 3 5m2+8m2=”n0+32sn0+5-201-cos20,32l-co20+5 3 3 3 323 2 50-cos20+81tos20+3n20je16分 2 -号03-s20+45sm0-33+41sn20-p1 3，tanp= 4v3 oE.oF=55m+8m)-2s。40--12 7619376228 17分 【评分细则】 按上面评分细则给分 8