2024年中考数学复习-怎 样 解 图 形 的 平 移 问 题复习讲义

 

怎 样 解 图 形 的 平 移 问 题复习讲义

解题方法

平移问题是指在同一个平面内，将一个图形 (含点、线、面)整体按照某个方向移动一定的距离.平移由平移的方向和距离决定.平移前后图形的形状、大小不变.平移前后图形的对应点所连的线段相等且平行 (或共线)；平移前后图形的对应线段平行 (或共线)且相等，对应角相等.

平移变换的技巧提炼：

(1)常见的构造平移的方式：

构造平行线——平移线段，构造平移三角形.

构造平行四边形或者等腰三角形——平移图形.

(2)几何图形平移时，一般先确定平移后的位置，过点构造平行线，再截取线段长度相等.

(3)常见平移图形为平行四边形.

(4)平面直角坐标系中图形的平移：

确定平移方向和距离.

平移图形的对应顶点，再依次连接即可.

(5)平移在图形面积、图形切割和拼凑中应用较为广泛.

(6)平移法在应用时有三种情况：

平移条件：把条件中的某条线段或角平移；

平移结论：把结论中的线段或角平移；

同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移.

实例分析

如图4-2.1 (a) 所示, 在 中, , D, E 分别为 CB,CA 延长线上的点,BE 与AD 的交点为P.

(1) 若 在图4-2.1备用图中画出符合题意的图形，并直接写出. 的度数；

(2) 若 求 的度数.

 

分析

(1) 如图4-2.1 (b) 所示, ∠APE= 45 °.

(2) 解法一: 如图4.2.1 (c) 所示, 将AE平移到DF, 连接BF,EF.则四边形 AEFD 是平行四边形.

∴AD∥EF, AD=EF.

 

 

 

∵∠C=90°,

 

∴∠C=∠BDF.

 

 

 

 

∴∠2+∠3=90°.

∴BF⊥AD.

∴BF⊥EF.

∴在Rt△BEF中,

∴∠APE=∠BEF =30°.

解法二: 如图4-2.1 (d) 所示, 将CA平移到DF, 连接AF,BF,EF.则四边形 ACDF 是平行四边形.

∵∠C=90°,

∴四边形ACDF是矩形, ∠AFD=∠CAF= 90°, ∠1+∠2=90°.

∵在Rt△AEF中,

在 Rt△BDF 中,

∴∠3=∠1=30°.

∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°, 即∠EFB =90°.

∴∠AFD=∠EFB.

又∵

∴△ADF∽△EBF.

∴∠4=∠5.

∵∠APE+∠4=∠3+∠5,

∴∠APE=∠3=30°.

 

典例精讲

  例题1                                                                          

阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题, 如图4-2.2 (a) 所示, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 对角线AC,BD 相交于点 O. 若梯形

ABCD 的面积为1, 试求以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积.

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点 D 作AC 的平行线交 BC的延长线于点 E，得到的△BDE 即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形, 如图4-2.2 (b) 所示.

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：

如图4.2.2 (c) 所示, △ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.

(1) 在图4.2.2 (c) 中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形 (保留画图痕迹)；

(2) 若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于    .

思路提示

根据平移可得三角形全等，且由梯形的性质知△ADB与△ADC 的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积.

(1) 分别过点F,C作BE,AD的平行线交于点 P, 得到的△CFP即是以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形.

(2)由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等.结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的 ,

  例题2                                                                          

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题: 如图4-2.3 (a) 所示, 在△ABC中, DE∥BC分别交AB于D,交AC于E. 已知CD⊥BE, CD=3, BE=5, 求BC+DE的值.

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点 F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决,如图4-2.3 (b)所示.

(1) 请回答: BC+DE的值为        .

(2)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图4.2.3 (c)所示，已知 和矩形ABEF, AC与DF交于点G, AC=BF=DF, 求∠AGF 的度数.

思路提示

图4-2.3 (c) 中, 由. ，可证得四边形 DCFE 是平行四边形，即可得 即可得 然后利用勾股定理，求得 的值；