1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象　课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）第二册

§6函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第一章　三角函数 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 函数, A 称为振幅 称为周期 称为频率 称为相位 称为初相 中 1 -1  2 3/2 /2 o y x . . . . . 的图象 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值的点. 复习回顾 关键点： (0,0), ( ,1), (,0), ( ,-1), (2,0) . 解： 列表 0 0 0 sinx 0 -2 0 2 0 2sinx 0 -1 0 1 0 sinx 2π π 0 x 描点作图 x y 0 1 2 -1 -2 π 2π 例1、作函数 及 的简图. 横坐标不变 纵坐标缩短到原来的一半 y=sinx y=2sinx 纵坐标扩大到原来的2倍 横坐标不变 振幅变换函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时 ）或缩短（当0＜A＜1时 ）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。y=Asinx， x∈R的值域是［-A，A］，最大值是A，最小值是-A。A表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅. 一、函数y=Asinx(A>0)图象 横坐标不变 纵坐标缩短到原来的A倍 纵坐标扩大到原来的A倍 横坐标不变 例2、试研究 、 与 的图象关系 1 -1 o x y 二、函数y=sin(x+ ) 图象 相位变换函数y=sin(x+ )（ ≠0）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当 ＞0时 ）或向右（当 ＜0时 ）平行移动| |个单位而得到的。 y=sin(x+)中， 决定了x=0时的函数，称  为初相， x+ 为相位。 练习1：函数y = 3cos(x+ )图像向左平移 个单位所得图像的函数表达式为 _____ 思考1：函数y = sin2x图像向右平移 个单位 所得图像的函数表达式为______ 1.列表： x 例2.作函数 及 的图象。 x O y  2 1 2 1 3 2. 描点： y=sinx y=sin2x y=sin2x y=sinx 纵坐标不变 ，横坐标 缩短为原来的1/2倍 1. 列表： x y O  2 1 1 3 4 2. 描点： y=sin x 2 1 y=sinx 0 p 2π 3π 4p 0 2 p p 2 3 p 2π x x 2 1 x 2 1 sin -1 0 1 0 0 y= sin x y=sinx 2 1 纵坐标不变， 横坐标 变为原来的 2 倍 周期变换 函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 倍(纵坐标不变) 而得到的。 三、函数y=sinx(>0)图象 函数 y=sinx y=sin(x+ ) 的图象 （3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ )的图象 y=sin(2x+ ) 的图象 （1）向左平移 纵坐标不变 （2）横坐标缩短到原来的 倍 方法1： 例1、如何由 变换得 的图象？ 1 -１ 2 -2 o x y 3 -3 2  y=sin(2x+　)　　 y=3sin(2x+　)　　 方法1： y=sin(x+　)　　 y=sinx　　 （3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ )的图象 y=sin(2x+ ) 的图象 （1）横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 （2）向左平移 函数 y=sinx y=sin2x的图象 方法2： 例1、如何由 变换得 的图象？ 1 -１ 2 -2 o x y 3 -3 2  y=sin(2x+　)　　 y=sinx　　 y=sin2x　　 y=3sin(2x+　)　　 方法2： y=sin(x+) 的图像 函数 y=sinx y=sin(x+)的图像 （3）纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍（横坐标不变） y=Asin(x+)的图像 （1）向左( >0)或向右( <0) 平移|  |个单位 （2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1) 到 原来的 倍，（纵坐标不变） 方法1:先平移后伸缩一般规律 y=Asin(x+) (A>0, >0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到: 方法2:先伸缩后平移一般规律 （3）纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍（横坐标不变） y=Asin(x+)的图像 （2）向左( >0)或向右( <0) 平移| |个单位 （1）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1) 到 原来的 倍，（纵坐标不变） y=sinx的图像 函数y=sinx y=sin(x+)的图像 一、画y=Asin(ωx+φ)的图象 3x- 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 (法1:五点法) (法2:变换法) 二　三角函数图象变换 例2　（多选题）有下列四种变换方式，其中能将正弦函数的图象变为＝的图象的是（　　） A.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度 B.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的 D.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的 解析：对于A选项，横坐标变为原来的得，再向左平移个单位长度得＝sin＝＝cos ，故A错误；对于B选项，横坐标变为原来的得，再向左平移个单位长度得＝sin＝，故B正确；对于C选项，向左平移个单位长度得＝，再将横坐标变为原来的得＝，故C正确；对于D选项，向左平移个单位长度得＝，再将横坐标变为原来的得＝，故D错误. 答案：BC (2)把函数 y=f(x) 的图象沿轴向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 （ 纵坐标不变），恰好得到 y=cosx 的图象,则 y=f(x) 的解析式是_____________. （1）将函数 的图象上的所有的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再将所得的函数图象向左平移 个单位，得到函数的解析式是______. 跟踪训练 跟踪训练 (3)为得到函数＝的图象，只需将函数的图象上的所有点（　　） A.横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度 B.横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度，横坐标再缩短为原来的 D.向右平移个单位长度，横坐标再伸长为原来的2倍   B 三　由三角函数图象求解析式 （ ） 小结： (法1:代最值点) (代特殊点) (法2:代零点) (代特殊点) A：看最值 w：看周期 φ：代最值点 代零点：需区分“升零点”or“降零点”. (代最值点) (代最值点) §6函数y=Asin(ωx+φ)的性质 第一章　三角函数 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 33 y=Asin(ωx+φ)的性质(A>0) (原理：令y=±A,三角函数在对称轴取得最值) (原理：令y=0) ▲求指定区间上的值域 y=Asin(ωx+φ)的性质(A>0) 运算易出错，注意检查 四　函数的性质及应用 例（1）将函数＝的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（　　） A.最小正周期为 　　　　　B.图象关于直线＝对称 C.图象关于点对称 　　D.在区间上单调递增 解析：（1）将函数＝的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则＝，其最小正周期为＝＝π，选项A错误；由2＝π+，可得对称轴方程为＝+，，当＝-1时，对称轴为直线＝，选项B正确；由2＝π，可得对称中心为，，选项C错误；函数的单调递增区间为，，选项D错误.答案： B　 BCD 跟踪训练　 没讲 五、三角函数的奇偶性 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象.若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（　　） A. 　B.（-2，1）　　　C. 　D.［-2，1］   跟踪训练 D 六、由性质求参数(ω) (法1) (法2) 在区间A内递增，递增区间为I 析: A 法2:特殊值排除法 利用区间内的对称中心将区间扩到最大后利用区间长度与周期的关系列不等式 析: B 六、由性质求参数(ω) 法2:特殊值验证 利用区间内的对称中心将区间扩到最大后利用区间长度与周期的关系列不等式 变式　（1）已知函数在区间上单调递增，其在区间［0，π］上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（　　） A. B. C. D. （2）设>0，函数＝+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（　　） A. B. C. D.3 解析：（1）∵ 函数在区间上单调递增， ∴≥，∴≥π,∴ ≤.∵ 当∈［0，π］时，∈［0，π］，函数在区间［0，π］上恰好取得一次最大值，∴≤π<π， ≤<.综上，≤≤. （2）（方法1）函数＝+2的图象向右平移个单位长度后，得到函数＝+2＝+2的图象.∵ 两图象重合，∴ +＝++2π，，解得，. 又>0，∴ 当＝1时，取得最小值，最小值为. （方法2）由题意可知，是函数＝+2（>0）的最小正周期的正整数倍， 即＝T＝（∈N+），∴ ＝（∈N+），∴ 的最小值为.答案：（1）A　（2）C 2 -2 七、图象与交点(零点)问题 方程的解 图象的交点 没讲 方程的解 图象的交点 换元 2 -2 七、图象与交点(零点)问题 没讲 BC 2、将函数＝的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.若＝9，且∈［-2π，2π］，则的最大值为（　　） A. B.　　　C. 　　　D.   Ｂ 随堂小测 1.已知函数＝， 且＝5，则＝（　　） A.3 B.3或7 C.5 D.5或8 Ｂ 3.函数＝的图象与函数的图象关于直线 ＝对称，则关于函数，以下说法正确的是（　　） A.最大值为1，图象关于直线＝对称 B.在区间上单调递减，为奇函数 C.在区间上单调递增，为偶函数 D.周期为π，图象关于点对称 Ｂ C 5.关于函数（），有下列命题： ①函数的解析式可改写为＝； ②函数是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数的图象关于点对称； ④函数的图象关于直线＝-对称. 其中正确命题的序号是　　　　. （注：把你认为正确的命题的序号都填上） ①③ 6.设函数＝sin（）的图象与轴的交点为（0，1），在轴右侧的第一个最高点和第一个与轴的交点分别为点（，2），. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象沿轴正方向平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下求函数在区间（0，π）上的值域.   解：（1）因为函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个与轴的交点分别为点（，2），，所以＝2，＝，所以＝6π，即＝6π，解得＝，所以＝2sin. 因为函数与轴的交点为（0，1），||<，所以（0）＝2sin＝2sin ＝1，所以＝，所以＝2sin. （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数＝2sin的图象，再将所得图象沿轴正方向平移个单位长度，得到函数＝2sin的图象，所以＝2sin. （3）因为∈（0，π），所以∈. 当＝时，取得最大值，最大值为2. 当＝-时，取得最小值，最小值为-1. 所以函数在区间（0，π）上的值域为（-1，2］. 谢 谢 观 看 [例1]　下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的图象，确定A、ω、φ的值，并写出函数解析式． [解析]　解法一：(逐一定参法) 由图象知振幅A＝3， 又T＝eq \f(5π,6)－(－eq \f(π,6))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2. 由点(－eq \f(π,6)，0)，得3sin(－eq \f(π,6)×2＋φ)＝0，得φ＝kπ＋eq \f(π,3). 又∵|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3). ∴y＝3sin(2x＋eq \f(π,3))． 解法二：(图象变换法) 由A＝3，T＝π，点(－eq \f(π,6)，0)可知图象由y＝3sin2x向左平移eq \f(π,6)而得， ∴有y＝3sin[2(x＋eq \f(π,6))]，即y＝3sin(2x＋eq \f(π,3))． 解法三：(五点法) 由图知第一点为(－eq \f(π,6)，0)，第三点为(eq \f(π,3)，0)，因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω×－\f(π,6)＋φ＝0,ω×\f(π,3)＋φ＝π))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω＝2,φ＝\f(π,3)，))所以y＝3sin(2x＋eq \f(π,3))． 对解法二，运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asinωx，根据图象平移规律也可以确定相关的参数． 对解法三，一定要搞清各点位置，否则易出错． 变式．(多选)[江苏苏北四市2022期末联考]将函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到y＝g(x) 的图象如图，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增 C．方程f(x)＝1在(0，2π)内有4个不等 的实数根 D．f(x)的解析式可以是f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 4.[山西长治二中2021月考]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的图象过点B(0，1)，且在(eq \f(7π,18)，eq \f(2π,3))上单调， 同时f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原来的图象 重合，当x1，x2∈(－eq \f(19π,12)，－eq \f(5π,6))且x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)， 则f(x1＋x2)＝(　　) A．－eq \r(3) B．－1 C．1 D．－2 $$