1.4.3 诱导公式 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§4.3诱导公式 第一章　三角函数 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 一、复习引入 1、正弦、余弦、正切函数的定义: 设角α的终边与单位圆交于点P(u,v) y x O P(u,v) 公式一：终边相同的角，三角函数值相等 作用：大化小，负化正 公式一：终边相同的角，三角函数值相等 作用：大化小，负化正 ① x y O 终边关于x轴对称 2.角α与-α的正弦函数、余弦函数关系 正弦函数v=sinα是奇函数,余弦函数u=cosα是偶函数. x y O 终边关于原点对称 2.角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系 x y O 终边关于y轴对称 3.角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系 诱导公式一~四 公式一 公式三 公式二 公式四 大化小(0~2π) 负化正 大化小 (锐角) 负化正 化任意角为锐角 大化小 (锐角) 诱导公式的运用——求值 [例1]利用公式求下列三角函数值： 诱导公式的运用——求值 诱导公式的运用——判断形状 y x O y=x P4(y,x) P(x,y) y x O y=x Q(y,x) P(x,y) P5(﹣y,x) 诱导公式五~六 公式五 公式六 正余弦互化 诱导公式五~六的运用 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 诱导公式的运用——化简 诱导公式的运用——条件求值 诱导公式的运用——条件求值 诱导公式的运用——条件求值 诱导公式的运用——化简和证明 诱导公式的运用——化简和证明 1、如图，已知角α顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于点 ． (1)分别求出 、 的值； (2)求 的值． 诱导公式的综合运用 2．已知 ． (1)化简； (2)若α为第四象限角且 ，求 的值； 诱导公式的综合运用 C D 谢 谢 观 看 cos α －sin α cos α sin α －cos α　 －sin α －cos α cos α －sin α cos α　 sin α 3.诱导公式： (1)sin(2kπ＋α)＝ ，cos(2kπ＋α)＝ ； (2)sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ； (3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α； (4)sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ； (5)sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ； (6)sin(eq \f(π,2)＋α)＝ ，cos(eq \f(π,2)＋α)＝ ； (7)sin(eq \f(π,2)－α)＝ ，cos(eq \f(π,2)－α)＝ . sin α 化简下列各式： (1)eq \f(cosα－\f(π,2),sin\f(5,2)π＋α)·sin(π－α)·cos(2π－α)； (2)eq \f(sinπ－α·cos\f(π,2)＋α·cos\f(3,2)π＋α,cos\f(3,2)π－α·sin\f(3,2) π＋α·sin\f(5,2)π－α). [解析]　(1)原式＝eq \f(cos\f(π,2)－α,sin\f(π,2)＋α)·sin α·cos α ＝eq \f(sin α,cos α)·sin α·cos α＝sin2α. (2)原式＝eq \f(sin α·－sin α·sin α,－sin α·－cos α·cos α)＝－eq \f(sin2 α,cos2 α). cos α －sin α cos α sin α －cos α　 －sin α －cos α cos α －sin α cos α　 sin α 3.诱导公式： (1)sin(2kπ＋α)＝ ，cos(2kπ＋α)＝ ； (2)sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ； (3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α； (4)sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ； (5)sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ； (6)sin(eq \f(π,2)＋α)＝ ，cos(eq \f(π,2)＋α)＝ ； (7)sin(eq \f(π,2)－α)＝ ，cos(eq \f(π,2)－α)＝ . sin α 变式．k为整数，化简eq \f(sin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ],sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）) 当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，则原式＝ eq \f(sin[（2n＋1）π＋θ]·cos [（2n＋1）π－θ],sin（2nπ－θ）·cos（2nπ＋θ）) ＝eq \f(sin（π＋θ）·cos（π－θ）,－sin θ·cos θ)＝eq \f(－sin θ·（－cos θ）,－sin θ·cos θ)＝－1. 当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝ eq \f(sin [（2n＋2）π＋θ]·cos [（2n＋2）π－θ],sin [（2n＋1）π－θ]·cos[（2n＋1）π＋θ]) =eq \f(sin [2（n＋1）π＋θ]·cos[2（n＋1）π－θ],sin（π－θ）·cos（π＋θ）) ＝eq \f(sin θ·cos θ,sin θ·（－cos θ）)＝－1. 答案：C [随堂训练]　 1．sin 315°＋sin(－480°)＋cos(－330°)的值为(　　) A.eq \f(1,2)　　　B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2) 解析：原式＝sin(360°－45°)＋sin(－360°－120°)＋cos(－360°＋30°)＝ －sin 45°－sin 60°＋cos 30°＝－eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(2),2).故选C. 答案：C 2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))＝π， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))＝sin[π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))]＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2). 答案：－sin2α 3．化简eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________． 解析：原式＝eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α)))·(－sin α)·cos(－α) ＝eq \f(sin α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·(－sin α)·cos α＝eq \f(sin α,cos α)·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 4．已知sin(eq \f(π,6)＋α)＝eq \f(1,4)，求sin(eq \f(5π,6)－α)＋sin2 (eq \f(7π,6)＋α)的值． 解析：∵(eq \f(π,6)＋α)＋(eq \f(5π,6)－α)＝π，∴eq \f(5π,6)－α＝π－(eq \f(π,6)＋α)． 又∵eq \f(7π,6)＋α＝π＋(eq \f(π,6)＋α)， ∴原式＝sin[π－(eq \f(π,6)＋α)]＋sin2 [π＋(eq \f(π,6)＋α)] ＝sin(eq \f(π,6)＋α)＋[－sin(eq \f(π,6)＋α)]2 ＝eq \f(1,4)＋(－eq \f(1,4))2＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,16)＝eq \f(5,16). 5.已知角θ的终边经过点(3，－4)则eq \f(sin（\f(3π,2)－θ）·cos （π＋θ）,sin（\f(π,2)＋θ）·cos（\f(5π,2)＋θ）)＝(　　) A.eq \f(4,3) B．－eq \f(4,3) C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4) 由三角函数的定义可得sin θ＝－eq \f(4,5)，cos θ＝eq \f(3,5)， 因此，eq \f(sin（\f(3π,2)－θ）·cos（π＋θ）,sin（\f(π,2)＋θ）·cos（\f(5π,2)＋θ）)＝eq \f(（－cos θ）·（－cos θ）,cos θ·（－sin θ）)＝eq \f(3,4). 故选C. 6．若A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　) A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C C．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋C))＝sin B D．sin eq \f(B＋C,2)＝cos eq \f(A,2) ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C．∴A，B都不正确．同理，B＋C＝π－A，∴sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cos eq \f(A,2)，∴D正确．取A＝B＝C＝eq \f(π,3)，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋C))＝coseq \f(π,2)＝0≠sin B，∴C不正确．故选D. 7．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若M 是角α终边上的一点，且|OM|＝1(O为坐标原点)， 求m的值及sin α的值． (1)因为eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，所以sin α<0. 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以角α是第四象限角． (2)因为|OM|＝1，所以，解得m＝±eq \f(4,5). 又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)， 所以sin α＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5). $$