1.4.1单位圆与正弦、余弦函数的定义课件2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§4.1正弦函数和余弦函数的概念 第一章　三角函数 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 在初中我们就学过三角函数，例如， … 但初中所学的三角函数是有很大局限性的，如图所示的角，该如何求它们的正弦函数值和余弦函数值呢？ 要解决这个问题，我们就得对三角函数的概念进行推广. 初中我们学过，在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分别叫做锐角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ A B C α 探究点1 锐角的正弦函数和余弦函数 当α不是锐角时，α的正弦、余弦和正切值又该怎么计算？ 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u,v),故u是由锐角唯一确定的，v也是由锐角α唯一确定的. 过点P向x轴作垂线,垂足为M.在Rt∆OMP中,OP=1,OM=u, MP=v,有 由此可知，对于锐角α来说，点P的纵 坐标v是该角的正弦函数值，记作v=sinα; 点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα. 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的. 仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v=sinα;把点P的横坐标u定义为 角α的余弦值,记作u=cosα. 探究点2 任意角的正弦函数和余弦函数 如果角的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα，余弦u=cosα分别是以角的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了. 任意角的正弦函数和余弦函数的定义： 对于每一个角，都有唯一的一个点坐标与之对应， 在弧度意义下，，称 为角的正弦函数， 为角的余弦函数. 一、任意角的正弦函数和余弦函数 例1 在单位圆中， . (1)画出角α； (2)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解(1)以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 .与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是 即为所作的角. (2)设点P(u,v),则 一、 利用定义求已知角的正弦和余弦值 二、正弦函数值和余弦函数值的符号 正余弦函数在各象限内的符号(取值的正负)： 取决于终边上的点P(x,y)所在的位置， 当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0， 当点P在第三、四象限时，纵坐标y<0. 所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三四象限角是负的.同理，余弦函数值在第一四象限角是正的，在第二、三象限角是负的. 一均正、二正弦、三均负、四余弦 例2：若α＝2，则(　　) A．sin α＞0且cos α＞0 B．sin α＞0且cos α<0 C．sin α＜0且cos α＜0 D．sin α＜0且cos α>0 解：因α＝2是第二象限角，所以sin α＞0，cos α<0. 故选B. 1.点（cos 2 019°，sin 2 019°）在平面直角坐标系中位于（　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 跟踪训练　 Ｃ 2.如果点（sin cos ，2cos ）位于第二象限，那么角在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x,y),求角α的正弦函数值、余弦函数值. 解 先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况. 设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的 坐标为(cosα,sinα),且OP=1.点Q(x,y)在角α 的终边上,则OQ= . 分别过点P,Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M,N. 易知△POM∽△QON.所以 ，即 . 因为点P和点Q在同一象限，所以sinα和y的符号相同，于是得到 . 同理, .当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 抽象概括 设角终边上除原点外的一点Q（x，y），则 抽象概括 设角终边上除原点外的一点Q（x，y），则 1.已知角的终边上一点（-3，4），则cos ＝（　　） A.- B.-　　 C. D.    A 三 由终边或终边上的点求正弦值和余弦值 例3　（1）已知角的终边经过点，求sin +cos 的值. （2）已知角的终边落在直线上，求sin ，cos的值. 解：（1）＝＝5||. 当>0时，，角在第二象限，∴ sin ＝＝＝，cos ＝＝＝. ∴ sin +cos ＝+＝-. 当时，，角在第四象限，∴ sin ＝＝-，cos ＝＝. ∴ sin +cos＝.故sin +cos ＝±. 解：（2）直线，即＝，它经过第二、四象限， 在第二象限取直线上的点（-1，），则＝-1，＝，＝||＝2. ∴ sin ，cos ＝.在第四象限取直线上的点 （1，-）， 则＝1，＝-， ＝2.∴ sin ＝，cos ＝. 1.若角的终边与直线重合，且，又是终边上一点，且＝，则＝　　　　.   2.已知角的终边上有一点，为第三象限角，且＝，求的值.   四、由正弦值和余弦值求参数 解：(1)2 (2)由已知得点到原点的距离为＝，∴ ＝，∴ ＝0或＝±2. ∵ 为第三象限角，∴ <0，∴ ＝-2，点（-1，-2），cos ＝＝-. 五　用终边相同角的正、余弦公式求值 例5　求下列各式的值：（1）cos； （2）sin 810°-cos 360°. 五　用终边相同角的正、余弦公式求值 例5　求下列各式的值：（1）cos； （2）sin 810°-cos 360°. 解：（1）cos＝cos +sin. （2） sin 810°-cos 360°＝sin （720°+90°） -cos （360°+0°）＝sin 90°-cos 0°＝1-1＝0. 跟踪训练　 1.已知cos ＝，∈（370°，520°），则等于（　　） A.390° B.420° C.450° D.480° Ｂ 2.计算sin +cos＝　　　　.   1 谢 谢 观 看 $$