精品解析：重庆市七校联盟2023-2024学年高一下学期5月期中联合考试数学试题

七校联盟2024年高一半期联合考试 高一数学试题 命题学校：重庆市长寿中学 命题人：周伟 审题人：郭万兵 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，则（ ） A. B. C. 3 D. 2. ，，，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 已知圆锥的母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则A=（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米 7. 在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若，，角A的平分线与BC交于D点，点E满足，则=（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若z为纯虚数，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 10. 如图，在平行四边形中，，，点F为BC的中点，则下列正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 11. 如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（ ） A. 直线AB，CD所成角为 B. 二面角余弦值为 C. 四面体ABCD的体积为 D. 四面体外接球的半径为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则=______． 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________． 14. 在平行四边形ABCD中，若，，则平行四边形ABCD的面积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若与的夹角为60°，求； （2）若，求与的夹角． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若． （1）求的值； （2）若，，求b的值． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． （1）证明：平面PFB； （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知． （1）求角A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围． 19. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点． （1）证明：⊥面； （2）求二面角的正切值； （3）当面积最小时，求与底面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七校联盟2024年高一半期联合考试 高一数学试题 命题学校：重庆市长寿中学 命题人：周伟 审题人：郭万兵 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算计算即可. 【详解】， 故选：B. 2. ，，，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 3. 已知圆锥的母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的表面积等于底面积加侧面面积计算可得. 【详解】由圆锥的表面积等于底面积加侧面面积可得 . 故选：C 4. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则A=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理结合同角的三角函数求出即可. 【详解】， 由正弦定理可得， 因为为三角形内角，所以， 又， 所以， 故选：A. 5. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为四边形是平行四边形， 故, 故选：A 6. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，由直角三角形中三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解. 【详解】设，由已知，，，， 则，又， 在中：，则 解得或（舍去），所以解放碑的高度为米. 故选：A. 7. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，角A的平分线与BC交于D点，点E满足，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理得，故为等腰三角形，，由三线合一得到，设，则，，从而得到. 【详解】由余弦定理得， 因为，所以，所以， 故为等腰三角形，， 因为为角A的平分线，由三线合一可知， 设，则，， 又，所以， 故. 故选：C 8. 如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以， 同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若z为纯虚数，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由复数的概念与复数的几何意义，复数相等的条件，计算可得结论. 【详解】对于A：若，则可得，解得，故A正确； 对于B：若z为纯虚数，则可得，解得，故B正确； 对于C：若点M在第一象限，则，解得，故C正确； 对于D：若为z的共轭复数且， 又，， 所以，解得，故D错误. 故选：ABC. 10. 如图，在平行四边形中，，，点F为BC的中点，则下列正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，在平行四边形ABCD中，由向量的线性运算即可判断；对于B，由向量的运算法则及向量数量积的运算公式算出结果，即可判断；对于C，由向量的投影向量计算方法算出结果，即可判断；对于D，由，两边平方可得，然后再开方可得结果，即可判断. 【详解】对于A，四边形是平行四边形，点F为BC的中点， 所以 ，故A正确； 对于B，因为，， 所以 ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（ ） A. 直线AB，CD所成角为 B. 二面角的余弦值为 C. 四面体ABCD的体积为 D. 四面体外接球的半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线面垂直可得A正确；由线面垂直结合余弦定理可得B正确；由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式可得C正确；补入长方体中，求出长方体外接球半径可得D错误； 【详解】A：取的中点，连接， 由题意四面体ABCD的各个面都是全等的三角形， 可得，又平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以AB，CD所成角为，故A正确； B：取的中点，连接， 则，所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； C：由B可得， 由，故C正确； D：将四面体放入长方体中，如图 可得长方体与四棱锥共圆，所以外接球半径一样，设为， 所以，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是把图形放入长方体中，利用共圆模长求长方体的外接圆半径即可. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算和模长计算求出即可. 【详解】， 所以 故答案为：. 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系， 则，设， 故， 所以， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 14. 在平行四边形ABCD中，若，，则平行四边形ABCD的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由向量加法平行四边形定则可得，又由结合平面向量的基本定理可得，然后由勾股定理可得，最后计算即可. 【详解】 根据题意，在平行四边形ABCD中有， 又，， 所以， 即， 所以， 又，则， 所以平行四边形ABCD的面积为为， 故答案为：8. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若与的夹角为60°，求； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由|+|，又与的夹角为60°，，，化简代入即可得出答案； （2）由，设夹角为，由数量积公式，化简代入即可得出答案. 【小问1详解】 已知，，与的夹角为60°， 所以|+|. 【小问2详解】 因为，所以，设的夹角为，， 所以，则，， 所以，所以与的夹角为. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若． （1）求的值； （2）若，，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积为0得，结合余弦定理即可得解. （2）由平方关系以及两角和差公式、诱导公式依次求出，结合正弦定理即可得解. 【小问1详解】 由题意，整理得， 所以由余弦定理有. 【小问2详解】 因为，，，所以， 所以 ， 所以由正弦定理有. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． （1）证明：平面PFB； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）取PB的中点G，连接EG，FG，通过证明四边形是平行四边形，得，进而可以得到平面PFB； （2）三棱锥的体积即为三棱锥的体积，计算可得. 【小问1详解】 取PB的中点G，连接EG，FG，如图， E，G分别是PC，PB的中点，底面ABCD为正方形， 且，又且， 且， 四边形平行四边形， 则，又平面PFB，平面PFB， 平面PFB. 【小问2详解】 因为， 又平面ABCD，所以是三棱锥的高， 因为， F是AD的中点,则, 所以, 即三棱锥的体积是. 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合两角和差公式化简整理得，进而得到角A； （2）由余弦定理得，结合的周长，可求得,可求得三角形的面积． （3）由正弦定理可得，结合锐角三角形的条件计算可求其范围. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 即，即， 又，所以，所以， 因为,故． 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 所以，又因为周长为6，所以， 所以，所以的面积. 【小问3详解】 因为为锐角三角形，则，则可得， 所以,所以， ，所以， 所以， 由正弦定理可得， ， 所以． 19. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点． （1）证明：⊥面； （2）求二面角的正切值； （3）当面积最小时，求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解答 （2） （3） 【解析】 分析】（1）由已知可得，，可证面； （2）由题意可证，进而可证平面，过点作于， 为二面角的平面角，求解即可； （3）当最小时，的面积最小，此时，进而可证平面平面，（或其补角）是CF与底面ABD所成的角，求解即可. 【小问1详解】 因为E为AC的中点，为等腰直角三角形，所以， 又为等边三角形，所以， 又，平面，所以面； 【小问2详解】 为等腰直角三角形，且AC为斜边，，可得， 为等边三角形．若，所以， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，， 过点作于，因为，平面， 所以平面，平面，从而可得， 所以为二面角的平面角， 又，所以，所以， 所以， 所以二面角的正切值为； 【小问3详解】 因为AC⊥平面，平面，所以， 所以当最小时，的面积最小，此时， 由面，面，可得，又，， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以（或其补角）是CF与底面ABD所成的角， 由（2）可知，且，所以， 由勾股定理可求得， 在中，由余弦定理可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$