2025届高三数学一轮复习对点练10：函数的奇偶性、周期性

2025届高三数学一轮复习对点练10 函数的奇偶性、周期性 【基础巩固】 1.(2024·北京海淀区质检)下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是 _~ A.y-x B--xx C.y-er-e-x D.y--lnx 2.(2024·重庆诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f3)=-2,且/(x)一一x2+f (3x)为奇函数,则/f-3)一( ) A.4 B.-2 C.0 D.2 3.(2024·济南模拟)设f(x)为偶函数,当xE(0,+)时,f(x)=x-1,则使fx)>0 的x的取值范围是( ) A.fxx>1 B.(x-1x<0 C.{x-1或x>1 D.x1<x<0或x>1 4.已知函数fx)满足对于任意的实数x,都有fx十2)=-1f(x),且f(1)=13,则f (2025)一( ) A.一/3 B./3 C.-1 D.1 5.(多选)(2024昆明检测)函数/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且 /()-g(x)-x3+:2-1,则( ) A/(-1)=-1 B.g(-1)--2 C./(1)+g(1)-1 D./(1)+g(1)-2 6.(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是( ) A./fx)-(x-1)/+x/-x是偶函数 B./fx)-x2+x (x<0),-x2+x(0))是奇函数 C.f(x)-3-x2十x2-3是非奇非偶函数 D./(x)-/-x2x+3-3是奇函数 7.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数,对VxER,均有/(x十2)一-f(x),当xE[0 1]时,f(x)一logs(2一x),则下列结论正确的是( ) A.函数/fx)的一个周期为4 B./(2024)-1 C.当xE[2,3]时,fx)--log(4-x) D.函数/f(x)在[0,20241内有1010个零点 8.写出一个定义域为R,周期为n的偶函数f(x)-. 9.(2024·东北三省三校模拟)若f(x)=a十lex一/十1为奇函数,则实数a= 10.若函数/(x)=e-e-,则不等式/(lnx)+/(lnx-1)>0的解集是 $1.已知函数fx)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数 (1)求实数m的值 (2)若函数fx)在区间[一1,a一21上单调递增,求实数a的取值范围 12.设fx)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有/(x十2)一一fx).当xE[0 2]时,/(x)-2x-r2 (1)求证:fx)是周期函数 (2)当x[2,4时,求fx)的解析式 (3)计算f(0)+f(1)+f2)+..+(2024) 【能力提升】 13.(2024·保定调研)已知定义域为R的函数/f(x)满足:Vx,yER,f(x+y)+/(x-y) -/f(y),且/f1)-1,则下列结论错误的是( ) A./(0)-2 B./(x)为偶函数 C./x)为奇函数 D/(2)--1 14.已知定义在R上的函数为y=f(x)满足:①对于任意的xER,都有fx十1)=1f (x):②函数y=/x)是偶函数;③当xE(0,1]时,fx)=x+e,则f alvs4lalcol(-f(32),falvs4lalcol((214),falvs4allcol(f(223)从小到大的排 列是 15.(2024·湖北九师联盟质检)设函数f(x)=xialvs4/allcol(x2-cosfx3)+2)(-3 x<3),则不等式 f(1十x)+/(2)f(1-x)的解集是 16.函数fx)的定义域为D={xx≠0,且满足对于任意x,x2ED,有fxx)=f (x)十/(x2). (1)求/(1)的值 (2)判断fx)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,fx-1)<2,且fx)在(0,+o)上是增函数,求x的取值范围 参考答案 1.B [对于A,函数y一/x为奇函数,在定义域上不单调,故A错误; 对于B,函数y一一xx为奇函数, 当0时,y=-xx=-x2, 当x<0时,y-xx-x2, 故函数y一一xx在定义域内为减函数,故B正确; 对于C,由于函数y=ex,y=一e-x均为增函数,故y=ex一e-x在定义域内为增 函数,故C错误; 对于D,函数y一一Inx为非奇非偶函数,故D错误] 2.A [因为h(x)--x2十/(3x)是奇函数, 所以有/h(-1)+/h(1)-0. 即一1+/f(-3)-1+/(3)-0, 又/(3)--2,所以/(-3)-4.] 3.C [·当xE(0,十)时,f(x)-x-1单调递增, 又.fx)为偶函数,故可以作出/fx)的图象如图所示 由图象可知,若f(x)>0,则x<-1或x>1.] 4.B [由fx+2)=-lf(x),得fx)的周期T=4,2025)=f(506×4+1)= $) 13.1 5.AC [法一 由/(qx)-g(x)=x+x-1得f-x)-g(-x)=-x+x2-1 又/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 所以-/(x)-g(x)--x3+x2-1. 由fx)-g(x)=x3+x2-1,-f(x)-g(x)=-x3+x2-1,) 得fx)-x3,g(x)--r2+1. 对于A,f(-1)-(-1)--1,故A正确; 对于B,g(-1)--(-1)2+1-0,故B错误; 对于C和D,f(1)+g(1)=1-1+1=1,C正确,D错误. 法二 因为f(x)一g(x)=x3十x2-1,且fx)为奇函数,g(x)为偶函数, 将x=-1代入得f-1)-g(-1)=-1, 所以一/(1)一g(1)=-1,即/f(1)+g(1)-1,故C正确,D错误; 将x-1代入得f(1)-g(1)-1, 又f(1)+g(1)-1,所以f01)=1,g(1)=0 所以/f(-1)--1,g(-1)-0,故A正确,B错误] 6.BD[对于A,由/十x/-x>0,解得-1<x>1, 所以该函数的定义域是[一1,1),不关于原点对称,是非奇非偶函数,故A错误; 对于B,设x0,则一x0 所以f-x)--x2-x,则f-x)--f(x) 同理当x0时,f-x)一一fx), 所以该函数是奇函数,故B正确 对于C,由x2-30,解得x3或x<-3. 所以函数的定义域是(-,-3][3,+),关于原点对称 又/f(-x)-3-(-)+(-×)2-3-3-r2+x2-3-fx) 所以该函数是偶函数,故C错误; 对于D,由1-x2>0,x+3-30,即-1x1,x0,) 所以该函数的定义域为[-1,0)U(0,11. /()-1-x2)x. 又f-x)-1-(-×)2-x--1-x2)x--fx). 所以该函数是奇函数,故D正确.] 7.ABC['·/f(x)是定义在R上的偶函数,对VxER,均有f(x十2)=一f(x) '/f(x+4)--f(x+2)-fx) '.函数的周期为4,故A正确; f(2024)-/(4×506)-/(0)-1,故B正确; 当xE[2,3]时,x-2-[0,1], 则/x)=-fx-2)=-logl2-(x-2)]=-log(4-x),故C正确; 易知f(1)-f(3)-f(5)-..-f(2021)-f2023)-0,于是函数f(x)在[0,2024]内有1 012个零点,故D错误] 8.cos 2x(答案不唯一)y=cos2x满足定义域为R,最小正周期T-2r2-π,且为 偶函数,符合要求.1 9.1 [函数fx)=a十lex-/+1的定义域为(-,0)U(0,+*), 若/(x)为奇函数,则/(x)+f一x)-0, 即alvs4lallcol(f(a+lex-D+1ì+alvs4lallcolf(a+le-x-1)+1)=a+lex- 1-(a+/)exex-1+2-0,解得a-1.] 10.(e,十)[因为fx)一ex一e-x,定义域为R 且f(-x)=-(ex-e-)=-f(x),故其为奇函数,又y=e*,y=-e-x均为增函数, 故/qx)为R上的增函数, 则原不等式等价于flnx)f(1-lnx), 也即lnx1-lnx,整理得lnx/2. 解得xe,故不等式的解集为(e,十)1 11.解(1)设x0,则一0, 所以/(-x)--(-x)2+2(-x)=-2-2x 又/(x)为奇函数,所以f(一x)一-(x). 于是x0时,fx)-x2+2x=x2十mx 所以m-2. (2)要使fx)在[-1,a-21上单调递增,结合(x)的图象(如图所示)知a-2-1,a-2 1.) 所以1~a<3,故实数a的取值范围是(1,31. 12.(1)证明 ·f(x十2)一-fx). '.fx+4)--fx+2)-/fx) '.)是周期为4的周期函数 (2)解 当xE[-2,0]时,-xE[0,2]; 由已知得/(-x)-2(-x)-(-x)2=-2x-x2 又/(x)是奇函数. 'f(-x)=-f)=-2x-x2 ..f(x)-2+2x. 又当xE[2,4]时,x-4E[-2,0], 'fx-4)=(x-4)+2(x-4) 又fx)是周期为4的周期函数, 'f$x)=f-4)=(-4) +2($-4)=-6 $+$$ 从而求得xE[2,41时,fx)-x2-6x+8 (3)解 f0)-0,f(1)-1,f(2)-0,/(3)=-1. 又fo)是周期为4的周期函数, '()+f(1)+f(2)+(3)=f(4)+(5)+(6)+(7)-..=(2 020)+(2 021)+(2 022) +/(2023)-0. 'f()+f(1)+f(2)+..+f(2 024)=506×(0)+/(1)+f(2)+f(3)]+(2024) -0+/(2024)-0+/(0)-0 13.C[因为Vx,yER, fx+y)+/(x一y)一/(x)/) 取x-1,y-0可得(1)+/f(1)-/(1)(0) 又/f(1)-1,所以/f0)-2,A正确; 取x=0,v=x可得f(x)+f(-x)-/f(0)fx) 因为/(0)-2,所以f(-x)-/(x) 所以fx)为偶函数,C错误,B正确; 取x=1,-1可得f(2)+/(0)-f1)(1), 又f(1)-1,f0)-2,所以f(2)--1,D正确] 14.favs4lallcoI(-f(32))-favs4allcol(f(223)-flalvs4/allcol(f(214)) )[由题意知 fx+1)-1f(x), 且fx+2)=1f(x+1)-f(x) 故函数v-fx)的周期为2 falvs4allcol(-f(32)-favs4allcoI(f(12) falvs4allcol(f(223)= flalvs4alcol(8- f(23)= flalvs4lallcol(- /23))一 flalvs4alleol(fi23). falvs4allcol(f214))-favs4allcol(6-f(34)-falvs4allcol(f(34)) .当xE(0,1时,ffx)一x十e*单调递增 故 '.favs4alcoIff(12))<falvs4allcol(f(23)<falvs4allcolCf(34) f alvs4lallcol(-(32)falvs4allcoI(f(223)-favs4allcol(f(214).1 15.(-2,-1)[由题意知fx)的定义域为(-3,3),且f(-x)=-f$x). 故/f(x)为奇函数, 当x[0,3)时,易证fx)单调递增. 所以/(x)在(一3,3)上单调递增 令g(x)-/f(1+x)+(2)-/(1-x) 则-3<1+x<3,-3<1-x<3,) 则-2<x<2,且g(x)在(-2,2)上单调递增, 又g(-1)-f(0)+/(2)-f(2)=0 所以g(x)<0的解集为(-2,-1).] 16.解(1)因为对于任意x,x2D, 有fx1x)-/fx)+fx), 所以令x-x-1,得/(1)-2/f(1). 所以/(1)-0. (2)(x)为偶函数 证明:令x-x2=-1, 有f(1)-/(-1)+/(-1), 所以f-1)=/2f(1)-0 令x--1,x-x, 有f一x)-/(-1)+fx). 所以f一x)一fx),所以fx)为偶函数。 (3)依题意有f(4×4)-f(4)+f(4)-2. 由(2)知,/(x)是偶函数, 所以fx-1)<2fx-1)<f(16) 又fx)在(0,十)上是增函数 所以0~x-1<16, 解得-15<x<17且x-1. 所以x的取值范围是(x-15<x<17,且x1