2025届高三数学一轮复习对点练13：指数与对数的运算

2025届高三数学一轮复习对点练13　指数与对数的运算 【基础巩固】 1.若代数式＋有意义，则＋2＝(　　) A.2 B.3 C.2x－1 D.x－2 2.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. 3.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b).”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A.a＝2b B.b＝2a C.a＝b2 D.b＝a2 4.(2024·天津质检)计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53的结果为(　　) A.－7 B.－3 C.0 D.－6 5.点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg (单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　) A.18 dB B.20 dB C.24 dB D.27 dB 6.(多选)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为(　　) A. B. C. D.24 7.(多选)下列运算中，正确的是(　　) A.2log2－＝－2 B.若a＋＝14，则＋＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D.若4a＝6b＝9c，则＋＝ 8.化简 (a＞0，b＞0)的结果是______. 9.若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________. 10.计算log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋8＝________. 11.计算下列各式： (1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20； (2)log 4－log23·log8； (3)8＋＋(1.5)－4·－[(－2)4]. 12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301， lg 3≈0.477) 【能力提升】 13.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论.根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)(　　) A.189 B.186 C.145 D.109 14.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T－Ta＝·(T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度.若Ta＝25 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟，那么水温从75 ℃降至55 ℃，大约还需要(参考数据：lg 3≈0.48，lg 5≈0.70，lg 11≈1.04)(　　) A.3.5分钟 B.4.5分钟 C.5.5分钟 D.6.5分钟 15.(2023·郑州调研)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋2b＝________. 16.已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值； (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明. 参考答案 1.B　[由＋有意义， 得解得≤x≤2. 所以x－2≤0，2x－1≥0， 所以＋2 ＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2| ＝2x－1＋2(2－x)＝3.] 2.C　[因为2a＝5，b＝log83，即23b＝3， 所以4a－3b＝＝＝＝.] 3.C　[由题意，得logba＝4·logab， 所以＝，即(ln a)2＝(2ln b)2. 因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b， 即a＝b2，故选C.] 4.D　[2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53 ＝log34－log3＋log38＋1－52log53 ＝log3＋1－5log59 ＝log39＋1－9＝－6.故选D.] 5.C　[当r＝5时，ΔL1＝10lg ， 当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π， 则衰减量的增加值约为 ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg ＝80lg 2 ＝80(lg 10－lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C.] 6.BD　[由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23， 当b2＝9时，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2， 当b＝log28时，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24， 当b＝log2时，a＋b＝log23＋log2＝log2＝log2， 所以2a＋b＝.故选BD.] 7.AB　[对于A，2log2－＝－＝－＝－2，正确； 对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4，正确； 对于C，因为log73＝a，log74＝b， 所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，不正确； 对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立， 但＋＝无意义，不正确.故选AB.] 8.　[＝ ＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1＝.] 9.ln 2　[ex＝2 024，e－y＝1 012， 则＝＝2， 即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2.] 10.　[原式＝log33＋lg 52＋lg 22＋2＋23× ＝＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2 ＝＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2 ＝＋2＋2＋2＝.] 11.解　(1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5) ＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2 ＝(lg 2＋lg 5)2＝1. (2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7. (3)原式＝2＋1＋·－4 ＝3＋－4＝－. 12.解　(1)由P＝P0e－kt可知， 当t＝0时，P＝P0； 当t＝5时，P＝(1－10%)P0， 于是有(1－10%)P0＝P0e－5k， 解得k＝－ln 0.9， 那么P＝P0·0.9， 所以当t＝10时，P＝0.81P0， 即10 h后还剩下81%的污染物. (2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9， 解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33， 即污染减少50%大约需要花33 h. 13.C　[由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈，则估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈＝≈≈145.故选C.] 14.C　[由题意，Ta＝25 ℃，由一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟， 可得75－25＝(80－25)， 所以＝＝. 又水温从75 ℃降至55 ℃， 所以55－25＝(75－25)， 即＝＝， 所以＝＝＝， 所以t＝log＝＝≈＝5.5， 所以水温从75 ℃降至55 ℃，大约还需要5.5分钟.] 15.8　[由logab＋logba＝，且logab·logba＝1， 所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的两根， 解得logba＝2或logba＝， 又a＞b＞1，所以logba＝2， 即a＝b2，又ab＝ba， 从而b2b＝ba，则a＝2b，且a＝b2， 则b＝2，a＝4， 所以a＋2b＝8.] 16. 解　(1)f(4)－5f(2)g(2)＝－5×× ＝－＝－＝0， f(9)－5f(3)g(3)＝－5××＝－＝0. (2)由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下： f(x2)－5f(x)g(x)＝(x－x－)－5×·＝－＝0， 因此，等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$