2025届高三数学一轮复习对点练12：幂函数与几类特殊函数

2025届高三数学一轮复习对点练12　幂函数与几类特殊函数 【基础巩固】 1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 3.若幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的部分图象如图所示，则点(ab－b，c2－c)所在象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.函数y＝1－的图象是(　　) 5.若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　) A.(－∞，3] B.(2，3) C.(2，3] D.[3，＋∞) 6.已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域[0，1] D.D(π)＞D(3.14) 7.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1，则f(x)>1 D.若x1>x2>0，则f> 8.若f(x)＝x，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________. 9.函数f(x)＝的值域是________. 10.若函数f(x)＝(x，t∈R)的最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为________. 11.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间. 12.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，且y＝在区间I上是减函数，则称函数f(x)在区间I上是“弱增函数”. (1)分别判断函数f(x)＝xex，g(x)＝x2＋4x＋2在区间(1，2)上是否是“弱增函数”(不必证明)； (2)若函数h(x)＝x2＋x＋b(m，b是常数)在区间(0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件. 【能力提升】 13.(多选)对于函数f(x)＝(x∈R)，下列结论中正确的是(　　) A.f(－x＋1)＋f(x－1)＝0 B.当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m有唯一实数解 C.函数f(x)的值域为(－∞，＋∞) D.∀x1≠x2，>0 14.(多选)(2023·福州模拟)对任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y＝[x]为高斯函数，又称取整函数.如下m个数：，，，…，可组成一个72元集合，则下列m的取值中不满足要求的有(　　) A.100 B.105 C.110 D.115 15.(2024·南通调研)函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝________. 16.已知函数f(x)＝|x－a|－＋a，a∈R. (1)若a＝0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若f(x)在[1，a]上单调，且对任意x∈[1，a]，f(x)<－2恒成立，求a的取值范围； (3)若x∈[1，6]，当a∈(3，6)时，求f(x)的最大值的表达式M(a). 参考答案 1.B　[由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1.] 2.B　[∵0.40.6<0.60.6<0.60.4， 又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数， ∴b<a<c.] 3.C　[根据幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的部分图象，得a为偶数，b为负奇数，0<c<1，所以ab－b<0，c2－c<0， 故点(ab－b，c2－c)在第三象限.] 4.B　[易知函数的对称中心为点(1，1)，且当x＞1时，函数单调递增，故选B.] 5.C　[f(x)＝＝2＋， ∵x2≥0，∴x2＋1≥1， ∴0＜≤1，∴f(x)∈(2，3].] 6.A　[对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，因此A正确； 对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，因此B不正确； 对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，因此C不正确； 对于D，∵D(π)＝0，D(3.14)＝1， ∴D(π)＜D(3.14)，因此D不正确.] 7.BCD　[若幂函数f(x)＝xα经过点(9，3)， 则9α＝3，则α＝， 则幂函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上为增函数，故B正确； 因为函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，故A错误； 当x>1时，f(x)＝>1，故C正确； 函数f(x)＝x的图象如图，其图象在[0，＋∞)上是上凸的， 则有不等式<f成立，所以D正确.] 8.　[因为f(x)＝x在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)， 所以即2≤x＜， 所以不等式的解集为.] 9.　[f(x)＝＝＝＋， 令t＝，则t≥2，f(x)可化为y＝t＋， 易知该函数在[2，＋∞)上单调递增， 故y＝t＋≥2＋＝.] 10.　[设u＝sin x＋＝(sin x＋3)＋－3， 由3＋sin x∈[2，4]，故u∈， 原题可化为φ(u)＝|u＋t|的最大值记为g(t)， 于是g(t)＝max＝max，g(t)的图象如图所示， 由得 即g(t)的最小值为.] 11.解　(1)设f(x)＝xα， 因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上， 所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ， 因为点在幂函数g(x)的图象上， 所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图实线部分所示. 由题意及图象，可知h(x)＝ 根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞). 12.解　(1)因为＝ex是增函数， 所以f(x)不是“弱增函数”； 因为g(x)＝x2＋4x＋2在(1，2)上单调递增，但＝x＋＋4在(1，2)上不单调， 所以g(x)在(1，2)上不是“弱增函数”. (2)由题意得h(x)＝x2＋x＋b在区间(0，1]上是增函数，且＝x＋＋在区间(0，1]上是减函数， 所以－≤0，≥1，所以m≥，b≥1. 13.ABD　[因为f(－x)＋f(x)＝＋＝0，故f(x)为奇函数， 令t＝x－1，即f(－t)＋f(t)＝0，故A正确； 当x>0时，f(x)＝＝1－， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(0)＝0，f(x)＝<1，且f(x)是奇函数，所以f(x)的值域为(－1，1)， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，故B正确，C错误， 故对∀x1≠x2，>0，D正确.] 14.ABC　[∵＝＋1， ∴，，，…，可组成一个72元集合， 进而可转化为，，，，…，可组成一个72元集合. 令－≥1，得n≤44， 故，，，，…，各不相同，共有45个数， 而＝44，＝43，＝43， 72－45＝27，43－27＋1＝17， 故＝17，故17≤<18， 故<m≤，又≈112.4，＝119， ∴113≤m≤119，m∈N*，故选项A，B，C不满足要求.] 15.4 107　[由题意，当2i＋1≤x≤2i＋1－1，i∈N*时，f(x)＝i，在[2i＋1，2i＋1－1]上奇数共有2i－1个， 且f(1)＝0，f(3)＝1， 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝0＋1＋2×2＋3×22＋…＋9×28＋10. 设T＝1＋2×2＋3×22＋…＋9×28， 则2T＝2＋2×22＋3×23＋…＋8×28＋9×29， 两式相减得－T＝1＋2＋22＋…＋28－9×29＝29－1－9×29＝－1－8×29， 所以T＝1＋8×29＝4 097. 所以f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝4 097＋10＝4 107.] 16.解　(1)当a＝0时，f(x)＝|x|－(x≠0)， f(－x)＝|x|＋≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， 所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数. (2)法一　当x∈[1，a]时，f(x)＝－x－＋2a， 因为f(x)在[1，a]上单调， 所以1<a≤3， 此时f(x)在[1，a]上单调递增， f(x)max＝f(a)＝－＋a， 由题意f(x)max＝－＋a<－2恒成立， 即a2＋2a－9<0，所以－－1<a<－1. 又1<a≤3， 所以a的取值范围为1<a<－1. 法二　(参数分离)由于f(x)＝－x－＋2a<－2，即a<－1， 只要a<－1， 解得－－1<a<－1， 又1<a≤3， 所以a的取值范围为1<a<－1. (3)当x∈[1，6]时， f(x)＝ 又a∈(3，6)，由上式知，f(x)在区间(a，6]上单调递增. 当a∈(3，6)时，f(x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减. 所以f(x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减，在(a，6]上单调递增， 则f(x)max＝max{f(3)，f(6)} ＝max＝ 综上所述，f(x)的最大值的表达式为M(a)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$