精品解析：2024年四川省遂宁市射洪市射洪中学校中考二模数学试题

射洪中学2024年上期初三第二次模拟考试 数学学科试题 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. 2020 B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某种细胞的直径约为cm，请问这个数原来的数是（ ） A. 21300 B. 2130000 C. 0.0213 D. 0.000213 4. 已知不等式组的解集是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2024 5. 如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的半径为6，是的内接三角形，连接，若与互补，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 8. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有（　　） A. ①④ B. ③④ C. ②⑤ D. ②③⑤ 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 分解因式：______． 12. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 13. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____． 14. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，则菱形ABCD的面积是_____． 15. 如图，正方形，点E，F分别在边上，与交于点与交于点N，延长至G，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_____________． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算：； 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长． 19. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保．绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元 （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元? （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大? 20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 21. 请阅读以下材料：已知向量，满足下列条件： ①， ②（角α的取值范围是）； ③ 利用上述所给条件解答问题： 如：已知，求角α的大小； 解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴角α的值为60°． 请仿照以上解答过程，完成下列问题： 已知，， （1） ； ； （2）求角α的大小． 22. 钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 24. 如图，四边形是的内接四边形，D是的中点，过点D作延长线的垂线，垂足为为的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 25. 如图，抛物线的图象经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； （3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学2024年上期初三第二次模拟考试 数学学科试题 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. 2020 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相反数和倒数的定义，掌握定义是解题的关键．根据相反数和倒数的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵2020的倒数为， 的相反数为 ∴2020的倒数的相反数是． 故选C． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、x+x2，无法计算，故此选项错误； B、（x2）3=x6，故此选项错误； C、x6÷x2=x4，故此选项错误； D、x•x2=x3，故此选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 已知某种细胞的直径约为cm，请问这个数原来的数是（ ） A. 21300 B. 2130000 C. 0.0213 D. 0.000213 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：2.13×10-4=0.000213， 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 已知不等式组的解集是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 解集是， ， 解得， 则原式， 故选B． 5. 如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图． 【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求． 6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质，先根据，得出，再根据，即可得到，最后根据，即可得出的大小． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，的半径为6，是的内接三角形，连接，若与互补，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作弦心距，先根据已知求出，由等腰三角形三线合一的性质得：，利用角所对的直角边是斜边的一半可求得的长，根据勾股定理得的长，最后利用垂径定理得出结论． 【详解】解：与互补， ， ， ， 过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 8. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可. 【详解】设，是的两个实数根， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 9. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有（　　） A. ①④ B. ③④ C. ②⑤ D. ②③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与y轴的交点位置得到，所以，根据二次函数的性质可得当时，函数最大值，则当时，，再根据抛物线的对称性和抛物线与x轴的交点坐标判断即可得到结论； 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴函数最大值， ∴当时， ， 即，故③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧， ∴当时，， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，即， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②⑤． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案． 【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32， ∴， 把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为， 故答案为：35． 13. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【详解】解方程得： ， 因为它的解是正数，则且 ， 得且． 故答案为：且． 14. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，则菱形ABCD的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∠DBC=∠ABC=30°，根据直角三角形的性质可得CO=BC=2，BO=CO=2，即可求菱形ABCD的面积． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,∠DBC=∠ABC=30°， ∴CO=BC=2，BO=CO=2 ∴AC=4，BD=4 ∴S菱形ABCD=×AC×BD= 故答案为 【点睛】本题考查了利用菱形的性质求面积，熟练掌握性质是解题的关键. 15. 如图，正方形，点E，F分别在边上，与交于点与交于点N，延长至G，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明出以及． ①证明即可判断； ②利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可； ③设的面积为，由，推出告，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断； ④作于H，设， ，则，， 通过计算证明即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形 ，， 在与中 ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确 设的面积为， ， ， 的面积为，的面积为， 的面积的面积， ，故③错误， 作于H，设， ，则，， 由，可得， 由，可得CH=， ， ， ， ， ，故④正确， 故答案为：①②④． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，先计算乘方，代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ； 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质： （1）根据平行四边形对角线互相平分，可得，，结合，可证，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据垂直平分，可得，通过等量代换可得，最后利用平行四边形对边相等的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 又， 垂直平分， ， 的周长为12， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长． 19. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保．绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元 （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元? （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大? 【答案】（1）100元，170元 （2）购买甲型自行车20辆、乙型自行车10辆才能使得这30台自行车全部卖出后总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用， （1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元，根据“该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司加购台甲型自行车，则加购台乙型自行车，利用总进价进货单价进货数量，结合总进价不超过21000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设加购的这30台自行车全部售出后总利润为元，利用总利润每台甲型自行车的销售利润销售数量（购进数量）每台乙型自行车的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 【小问1详解】 解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是100元，一台乙型自行车的利润是170元； 【小问2详解】 设该公司加购台甲型自行车，则加购台乙型自行车， 根据题意得：， 解得：． 设这30台自行车全部售出后总利润为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时（台． 答：该公司加购20台甲型自行车，10台乙型自行车时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大． 20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 【答案】（1）20；18；36 （2）恰好都是女性的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了统计图、列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据统计图中的信息，列式计算即可； （2）由题意得，用现金支付方式的居民里有名女性，根据题意列出表格，结合表格再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由统计图可得，本次调查的总人数为：， ， ， 在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为． 故答案为：20；18；36． 【小问2详解】 由题意得，用现金支付方式的居民共有5人， 用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性， 用现金支付方式的居民里有名女性， 设男性为、，女性为、、，列表得： 由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种， 恰好都是女性的概率． 答：恰好都是女性的概率为． 21. 请阅读以下材料：已知向量，满足下列条件： ①， ②（角α的取值范围是）； ③ 利用上述所给条件解答问题： 如：已知，求角α的大小； 解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴角α的值为60°． 请仿照以上解答过程，完成下列问题： 已知，， （1） ； ； （2）求角α的大小． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是阅读理解类型题，理解新定义运算法则是解本题的关键； （1）根据题干部分提示方法解题即可； （2）由新定义可得，再结合特殊角的三角函数值可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 【答案】海里 【解析】 【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案． 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D． 由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°， ∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°． 在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD（海里）， 在Rt△BCD中，（海里）． 答：此时船C与船B的距离是海里． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 24. 如图，四边形是的内接四边形，D是的中点，过点D作延长线的垂线，垂足为为的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 证明：∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，通过计算得到，利用切线的判定定理即可得出结论； （2）利用相似三角形的判定定理得出，利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； （3）利用，，得到，利用相似三角形的判定与性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出畏线是解决此题的关键． 25. 如图，抛物线的图象经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； （3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为： （2）或 （3）存在，当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）把，两点代入，可求解； （2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点D坐标，可求，设点，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，再利用平行四边形的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， ∴点， 设直线解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立方程组得：， 解得：，， ∴点， ∴， 设点， ∵直线将的面积分为两部分， ∴或， ∴或， ∴或3， ∴点或； 【小问3详解】 当为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴，而，，， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； 当为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， ∴， ∴点P坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $