浙江省重点中学四校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

高一数学四校联考试题卷 第 1页 共 7页 2023 学年第二学期高一年级四校联考 数学学科 试题卷 考生须知： 1.本卷满分 150分，考试时间 120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的） 1．已知复数 2024 i i 1 i z    （ i为虚数单位），则 z的虚部为（ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 1 i 2  D． 1 i 2 2．已知向量  4,a m ，  2, 2b m   ，若 a  与b  共线，则m （ ） A．-4 B．4 C．-2 D．-2 或 4 3．如图， ABC 的斜二测直观图为等腰直角三角形 ABC  ，其中 A B   2 3，则△ABC的面积 为（ ） A． 6 2 B．6 3 C．6 D．12 2 4．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数 据分别为 17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（ ） A．12 B．16 C．17 D．18.5 5．已知 , ,a b c分别是 ABC 三内角 , ,A B C的对边，则“ sin cosa C a C b c   ”是“△ABC为直角 三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为 6cm，上､ 下底面圆的半径分别为 4cm和 2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯 2 3 高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质 和杯套的厚度）（ ） A． 2 68 πcm 3 B． 224πcm C． 2 76 πcm 3 D． 225 cm 7．如图，平行四边形 ABCD中，�� = �� = �� = 2, ∠� = 45°.现将△��� 沿��起，使二面角C BD A  大小为120°，则折起后得到的三棱锥� − ��� 外接球的表面积为（ ） A．10π B．15π C． 20π D． 3  高一数学四校联考试题卷 第 2页 共 7页 8．正方形 ABCD边长为 1，平面内一点 P满足 AP AB AD      ，满足 7 4    的 P点的轨迹分 别与 ,CB CD 交于 ,M N 两点，令 1 2e e   ， 分别为 AB  和 AD  方向上的单位向量， ,t k为任意实数，则 1 1 2 2AM te te ke ke AN           的最小值为（ ） A． 3 B． 7 2 4 C． 5 2 D． 3 2 2 2  二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分） 9. 设m， n是不同的直线， ，  ，  是不同的平面，则下列说法不正确的是 （ ） A．若 //m n， / /m  ，则 //n B．若 / /m ， / /m  ，则  // C．若 , ,a b a    b，则   D．  ，  ，则 / /  10. 已知 0a  ， 0b  ，且 1 4 2 a b   ，则下列说法正确的是（ ） A．ab有最小值 4 B．a b 有最小值 9 2 C． bab 2 有最小值 24 D． 224 ba  有最小值16 11. 如图，点 P是棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的表面上一个动点， F 是线段 1 1AB 的中点， 则（ ） A．存在点 P使得 CAAP 1 B．若点 P满足 BFAP  ，则动点 P的轨迹长度为 52 C. 若点 P满足 / /PF 平面 DCA 11 时，动点 P的轨迹是正六边形 D．当点 P在侧面 11BCCB 上运动，且满足 2FP 时，二面角 PCDA  的最大值为 60 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12．已知向量 ,a b  满足 15 3a b b     ，则向量 a在b  上的投影向量为 .（用b  表示） 13．若 3 i 1z    ，则 z 的最大值为 . 14．在 ABC 中， 3 3 2ABC S AB AC     △ ，sin 2cos sinB A C  ，△ABC的外接圆为圆 O，P为 圆 O上的点，则 PA PB   的取值范围是 . 高一数学四校联考试题卷 第 3页 共 7页 四、解答题（本题共 5题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城 市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创 建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份作为样本，将样本的成绩（满分 100分， 成绩均为不低于 40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，L ，[90,100)得到如图所示的频率 分布直方图. (1)求频率分布直方图中 a的值； (2)求样本成绩的第 75百分位数； (3)已知落在  50,60 的平均成绩是 56，方差是 7，落在  60,70 的平均成绩为 65，方差是 4，求两 组成绩的总平均数 z和总方差 2s . 16．（15分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 1 1, 2AB BB AC   ，四边形 1 1B BCC 为正方 形. (1)求证：平面 1 1ABC 平面 1 1B BCC ； (2)求二面角 1A BC B  的余弦值. 17．（15分）请从① 2sin 3 cos cos 3 cosa B b B C c B  ；②  2 2sin sin sin sin sinA C B A C   ； ③ 3 sin 1 cos b A a B   这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按 照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上） 在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，若___________， (1)求角 B的大小； (2)若 3b ，D为 AC边上一点， 2BD ， DCAD 2 ，求△ABC的面积. 高一数学四校联考试题卷 第 4页 共 7页 18．（17分）在菱形 ABCD中， 2, 60AB BAD   ，以 AB为轴将菱形 ABCD翻折到菱形 1 1ABC D ， 使得平面 1 1ABC D 平面 ABCD，点 E为边 1BC 的中点，连接 1,CE DD . (1)求证：CE  平面 1ADD ； (2)求直线CE与平面 1BDD 所成角的正弦值. 19．（17分）如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬 链线方程为 (e e ) 2 x x c ccy    （c为参数， e 2 71828 ． ），当 1c  时，该方程就是双曲余弦函数 )1cosh( ) (e e 2 x xx   ，类似的有双曲正弦函数 ) 1sinh( ) (e e 2 x xx   ． (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结 论: sinh(2 )x _____________.（用 )sinh(x ， )cosh(x 表示） (2) [ 1,1]x   ，不等式 cosh(2 ) cosh( ) 0x m x  恒成立，求实数m的取值范围； (3)设 ( ) cosh( ) sinh( ) ln[cosh( ) sinh( )] 2g x x x x x     ，证明： ( )g x 有唯一的正零点 0x ，并比较 0x 和 0 3ln 4x 的大小． 高一数学四校联考试题卷 第 5页 共 7页 高一数学四校联考试题卷 第 6页 共 7页 高一数学四校联考试题卷 第 7页 共 7页