2025届高三数学一轮复习对点练2：常用逻辑用语

2025届高三数学一轮复习对点练2　常用逻辑用语 【基础巩固】 1.命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(　　) A.∃x＞0，x2－2|x|≥0 B.∃x≤0，x2－2|x|≥0 C.∀x＞0，x2－2|x|≥0 D.∀x≤0，x2－2|x|≥0 2.(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，4) B.(－∞，4] C.(4，＋∞) D.[4，＋∞) 4.(2023·常德联考)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A.－3<x< B.－<x<3 C.－1<x<3 D.<x<3 5.(2024·深圳模拟)设实数a＞0，则“2a＞2”是“loga＞0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2023·青岛模拟)下列各命题的否定为真命题的是(　　) A.∀x∈R，x2－x＋≥0 B.∃x∈R，2x>x2 C.∃x∈R＋，>log2x D.∀x∈，sin x<x 7.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.(2024·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A.[－1，0] B.(－1，0) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) 9.命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是________. 10.(2023·北京海淀区模拟)设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b>0”为假命题的一组a，b的值是________. 11.(2024·辽宁名校联考)若“存在实数x，使不等式组成立”为真命题，则实数a的取值范围是________. 12.(2023·湖南部分名校调研)已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，则綈p是q的________________条件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选一个填入). 【能力提升】 13.(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 16.(2023·苏州模拟)已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. 参考答案 1.C　[由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定为“∀x＞0，x2－2|x|≥0”.] 2.A　[由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)， 则cos＝cos ＝0，故充分性成立； 又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)， 此时sin＝±1，故必要性不成立.] 3.B　[“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.] 4.C　[不等式2x2－5x－3<0的解集是，观察四个选项发现是(－1，3)的真子集，所以“－1<x<3”是“不等式2x2－5x－3<0成立”的一个必要不充分条件，故选C.] 5.A　[由2a＞2，得a＞1； 由loga＞0，可得loga＞loga1， 所以或 解得a＞1或0＜a＜. 因此“2a＞2”是“loga＞0”的充分不必要条件.] 6.D　[对于A，∀x∈R，x2－x＋＝≥0为真命题，其否定为假命题，故A错误； 对于B，因为当x＝5时，25＝32>52＝25，所以∃x∈R，2x>x2为真命题，其否定为假命题，故B错误； 对于C，当x∈(0，1)时，>0，log2x<0， 所以∃x∈R＋，>log2x为真命题，其否定为假命题，故C错误； 对于D，当x＝0时，sin 0＝0，故∀x∈，sin x<x为假命题，其否定为真命题，故D正确.] 7.B　[当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件. 当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0， 若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0； 若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件. 综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件. ] 8.A　[由题意，x2－x－2<0， 解得－1<x<2，则A＝{x|－1<x<2}， 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 则集合A是集合B的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0].] 9.∃x∈，sin x≥cos x　[因为“sin x<cos x”的否定是“sin x≥cos x”， 所以“∀x∈，sin x<cos x”的否定是“∃x∈，sin x≥cos x”.] 10.a＝1，b＝1(答案不唯一)　[根据题意，满足题意的a，b需满足 ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b≤0， 即ln(a＋b)>ln 1，ln(ab)≤ln 1， 解得a＋b>1，ab≤1， 不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，满足题意.] 11.　[－≥－，解得x∈. 2x<a，解得x∈. 由题意知∩≠∅，所以>，即a>.] 12.必要不充分　[若綈p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0为真命题， 则a>0且Δ＝4－4a≤0，解得a≥1. 因为(1，＋∞)[1，＋∞)，所以綈p是q的必要不充分条件.] 13.AD　[对于A，<1，即－1<0，即<0，即>0，即a<0或a>1， 所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误； 对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得x2＋y2≥8时，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2， 所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.] 14.C　[在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B， 设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)， 则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0，1]， ∴f′(x)≥0， ∴f(x)在(0，π)上单调递增， ∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cos B.] 15.0　[“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0， 依题意得，命题∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0为真命题， 故函数y＝f(x)，x∈[a，b]为奇函数， 所以a＋b＝0，所以f(a＋b)＝f(0)＝0.] 16.(0，2]　[∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3， 即p：－1≤x≤3. ∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)， ∴x≤1－a或x≥1＋a， ∴綈q：1－a＜x＜1＋a. ∵p是綈q的必要不充分条件， ∴解得0＜a≤2， ∴实数a的取值范围是(0，2].] 学科网（北京）股份有限公司 $$