2025届高三数学一轮复习对点练6：一元二次方程、不等式

2025届高三数学一轮复习对点练6　一元二次方程、不等式 【基础巩固】 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　) A.(－2，5) 　　　　　 B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) 　　　　　 D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) 2.(2024·重庆诊断)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}，则关于x的不等式>0的解集是(　　) A.(－3，－2)∪(4，＋∞) B.(－3，2)∪(4，＋∞) C.(－∞，－3)∪(2，4) D.(－∞，－2)∪(3，4) 3.(2024·宝鸡调研)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.0<a< D.0<a<2 4.(2023·鞍山二模)若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　　) A.(－2，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] 5.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4) 6.(2024·成都诊断)已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，0) C.(－∞，－1] D.(－∞，－2) 7.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 8.不等式＞2的解集为________. 9.(2024·常州调考)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是__________. 10.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围为________. 11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值. 12.函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. 【能力提升】 13.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.3 14.下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法： 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，又不等式ax2－bx＋c>0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}. 参考上述解法，解答问题： 若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2<x<－1，或1<x<3}.则关于x的不等式＋<0的解集为(　　) A.∪ B.(－1，1)∪(1，3) C.(－3，－1)∪(1，2) D.∪ 15.(2024·青岛调研)已知定义在R上的运算“⊗”：x⊗y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a)⊗(x＋a)>0.若a＝1，则不等式的解集为__________；若对∀x∈[0，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________. 16.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 参考答案 1.A　[由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0， 解得－2＜x＜5.] 2.B　[因为关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}， 所以x2＋px＋q＝0的两根是－1，2， 由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2， 所以>0可转化为>0， 解得－3<x<2或x>4. 所以原不等式的解集为(－3，2)∪(4，＋∞).] 3.D　[不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立，只需Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1， 因为集合{a|0<a<1}是集合{a|0<a<2}的真子集， 所以“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是“0<a<2”，故选D.] 4.C　[法一　对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立， 即m<x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立， 即m<，x∈(0，＋∞). 当x>0时，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号， 所以＝2，则m<2. 法二　设f(x)＝x2－mx＋1，对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立， 则满足或 解得0<m<2或m≤0，所以m<2.] 5.A　[设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2， 所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解， 只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5).] 6.A　[由解得x∈(2，3)， 因为(2，3)是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集， 故f(x)＝x2－3x＋a要满足 解得a≤0.] 7.AB　[画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的大致图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标 x的集合， 由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－， 所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得 解得4≤m<6.] 8.{x|1＜x＜4}　[原不等式可化为－2＞0， 即＞0，即＞0， 即(x－1)(x－4)＜0，解得1＜x＜4， ∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}.] 9.[2，10)　[因为x2＋x＋2＝＋>0， 所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4， 即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立. 当k＝2时，2>0，显然成立； 当k≠2时，k满足不等式组 解得2<k<10. 综上所述，实数k的取值范围是[2，10).] 10.　[要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法： 法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]. 当m＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0， 所以m＜，所以0＜m＜； 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0， 所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　因为x2－x＋1＝＋＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立， 所以m＜在x∈[1，3]上恒成立. 令y＝， 因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可. 所以m的取值范围是.] 11.解　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0， 解得3－2＜a＜3＋2. 所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}. (2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， ∴解得 故a的值为3±，b的值为－3. 12.解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， ∴实数a的取值范围是[－6，2]. (2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0 在x∈[－2，2]上恒成立， 令g(x)＝x2＋ax＋3－a， 则有①Δ≤0或②或③ 解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅， 解③得－7≤a＜－6. 综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]. (3)令h(a)＝xa＋x2＋3， 当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立， 只需即 解得x≤－3－或x≥－3＋. ∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞). 13.CD　[∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5， ①当x＝0时，a∈R； ②当x≠0时，由－5≤x2－ax－1≤5， 得x－≤a≤x＋， 当x∈(0，3]时，＝2＋＝4， ＝3－2＝1， ∴1≤a≤4.综上，1≤a≤4.] 14.A　[因为x＝0不是不等式＋<0的解，所以不等式＋<0等价于＋<0， 所以－2<－<－1或1<－<3， 解得－1<x<－或<x<1.] 15.(0，1)　(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[当a＝1时，由(x－a)⊗(x＋a)>0， 得(x－1)⊗(x＋1)>0，则(x－1)(1－x－1)>0， 即x(x－1)<0，则0<x<1， 所以不等式的解集为(0，1)； 由(x－a)⊗(x＋a)>0，得 (x－a)(1－x－a)>0，则x2－x<a(a－1)， 当x∈[0，2]时， f(x)＝x2－x＝－， 该二次函数图象的对称轴方程为x＝， 所以f(x)max＝f(2)＝2， 要想不等式恒成立只需2<a(a－1)， 解得a<－1或a>2， 所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).] 16.解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0， 解得x≤－1. ②当a＞0时， 原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a＜0时， 原不等式化为(x＋1)≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＞0时，不等式的解集为{x|x≥，或x≤－1}； 当－2＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$