2025届高三数学一轮复习对点练4：基本不等式

2025届高三数学一轮复习对点练4　基本不等式 【基础巩固】 1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 2.已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A.6 B.8 C.4 D.16 3.(2024·商丘质检)已知ab>0，若3是9与3的等比中项，则a＋b的最小值为(　　) A.3＋2 B.7 C.2＋2 D.9 4.(2023·长沙雅礼中学质检)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　) A.36 B.25 C.16 D.9 5.若x＜，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值－3 D.最小值－3 6.(2024·巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A.4 B.5 C.7 D.9 7.(多选)(2023·厦门质检)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) A.x2＋y的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.log2x＋log4y没有最大值 8.(2024·太原模拟)已知x>0，y>0，＋y＝2，则的最小值为________. 9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝______吨. 10.函数y＝(x>－1)的最小值为________. 11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值. 12.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少(cm)时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 【能力提升】 13.(2024·西安质检)已知正实数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6] D.[6，＋∞) 14.(多选)(2024·安徽名校联考)已知实数a，b满足a>b>0且a＋b＝2，则下列结论中正确的有(　　) A.a2＋b2>2 B.＋≥9 C.ln a＋ln b>0 D.a＋>b＋ 15.(2024·赣州二十校联考)若－1<a<2，则＋的最小值是________. 16.第十九届亚运会在浙江省举办，某公益团队联系亚运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格. (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 参考答案 1.D　[由题意得4＝2a＋b≥2， 即2≥，两边平方得4≥2ab， ∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值为2.] 2.B　[∵a2＋b2＝13， ∴a≤＝＝8， 当且仅当a＝时等号成立， ∴a的最大值为8.] 3.A　[由题意得32＝9·3，即9＝9＋，所以＋＝1， 又ab>0，所以a>0，b>0， 所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝， 即a＝＋1，b＝2＋时等号成立， 故a＋b的最小值为3＋2.] 4.B　[由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10， 则(1＋x)(2＋y)≤＝25， 当且仅当1＋x＝2＋y， 即x＝4，y＝3时等号成立， 所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25.] 5.C　[∵x＜，∴3x－2＜0， f(x)＝3x－2＋＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－3. 当且仅当2－3x＝， 即x＝－时取“＝”.] 6.C　[法一　因为xy＋x－2y＝4， 所以(y＋1)x＝4＋2y， 则x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1≥3＋2＝7， 当且仅当＝y＋1， 即y＝1，x＝3时等号成立. 法二　由xy＋x－2y＝4， 得(x－2)·(y＋1)＝2， 因为y＋1>0，所以x－2>0， 故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋3≥2＋3＝7， 当且仅当2(x－2)＝y＋1， 即y＝1，x＝3时等号成立.] 7.AC　[因为x，y为正实数，且x＋y＝1， 所以y＝1－x，x∈(0，1)， 所以x2＋y＝x2－x＋1＝＋， 当x＝时，x2＋y取最小值，故A正确； ＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当x＝，y＝时等号成立， 所以＋的最小值为9，故B错误； (＋)2＝x＋y＋2＝1＋2≤1＋x＋y＝2， 当且仅当x＝y＝时等号成立， 故＋≤，即＋的最大值为，故C正确； log2x＋log4y＝log2x＋log2＝log2(x)， x2y＝x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝， 当且仅当x＝2－2x，即x＝时等号成立， 所以x≤. 所以log2x＋log4y有最大值log2，故D错误.] 8.1　[由＋y＝2可得＝2－y， 则x＝>0，可得0<y<2. ＝≥＝1， 当且仅当y＝2－y，即y＝1时，等号成立， 故的最小值为1.] 9.20　[该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.] 10.0　[因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)， 所以y≥2－2＝0， 当且仅当x＝0时，等号成立. 所以y＝(x>－1)的最小值为0.] 11.解　(1)∵xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，即xy≥64， 当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当＝， 即x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 12.解　设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4) ＝8x＋＋1 472≥2＋1 472 ＝192＋1 472， 当且仅当8x＝， 即x＝12时，等号成立. ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 13.D　[因为a＞0，b＞0，＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号. 由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m， 即x2－4x－2≥－m对任意的x恒成立， 又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6， 所以－6≥－m，即m≥6.] 14.AB　[对于A，因为a>b>0且a＋b＝2， 由不等式>＝1， 故a2＋b2>2，故A正确； 对于B，＋＝(a＋b)＝≥＝9， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故B正确； 对于C，ln a＋ln b＝ln(ab)<ln＝ln 1＝0，故C错误； 对于D，因为ab<＝1， 所以0<ab<1， 所以－＝(a－b)＋＝(a－b)＝<0， 故D错误.故选AB.] 15.3　[法一　＋＝， 设t＝a＋2，t∈(1，4)，则a＝t－2. 所以＝ ＝－＝－ ≥－＝3， 当且仅当t＝，即t＝2时等号成立， 所以＋的最小值是3. 法二　因为－1<a<2， 所以a＋1>0，2－a>0，且(1＋a)＋(2－a)＝3， 所以＋ ＝(1＋a＋2－a) ＝ ≥＝3， 当且仅当＝， 即a＝0时等号成立， 所以＋的最小值是3.] 16.解　(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元). (2)设售价为x元，则销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元， 单套利润为 x－50－＝元， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150. 所以单套利润为 y＝x－50－ ＝－＋100 ≤100－2＝80， 当且仅当150－x＝10， 即x＝140时取等号， 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元. 学科网（北京）股份有限公司 $$