2025届高三数学一轮复习对点练3：不等式及其性质

2025届高三数学一轮复习对点练3　不等式及其性质 【基础巩固】 1.(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M，N大小关系不确定 2.(2024·北京昌平区质检)若a<b<0，c>d>0，则一定有(　　) A.> B.< C.> D.< 3.已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C. D. 4.(2024·安阳调考)若a>b>0>c，则(　　) A.(a－b)c>0 B.> C.a－b>a－c D.< 5.若a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(　　) A.n＞m＞p B.m＞p＞n C.m＞n＞p D.p＞m＞n 6.(2024·自贡诊断)已知p：<，q：m>n>0，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2024·惠州调研)已知实数a>b>0>c，则下列结论一定正确的是(　　) A.> B.> C.< D.a2>c2 8.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N(填“＞”“＜”或“＝”). 9.若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________. 10.实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c. 那么a，b，c，d的大小关系是________. 11.已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小. 12.(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤； (2)已知c＞a＞b＞0，求证：＞. 【能力提升】 13.(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　) A.c2<cd B.a－c<b－d C.ac<bd D.－>0 14.(多选)(2024·宁波质检)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A.若b<a<0，则bc2<ac2 B.若b>a>0>c，则< C.若c>b>a>0，则> D.若a>b>c>0，则> 15.已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________. 16.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|. (1)求证：b＋c＞0； (2)求证：＜； (3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 参考答案 1.B　[M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2<0，∴M<N.] 2.D　[由题知a<b<0，c>d>0， 则可取a＝－2，b＝－1，c＝2，d＝1， 则＝＝－1，＝＝－1，故A错误，B错误； 由于a<b<0，c>d>0，得－a>－b>0，c>d>0， 则两式相乘得－ac>－bd， 则不等式左右两边同时除以cd得>， 再同时除以－1得<，故C错误，D正确.] 3.A　[因为－3＜a＜－2，所以4<a2<9， 而3＜b＜4，即＜＜， 故的取值范围为(1，3).] 4.B　[对于A，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1， 则(a－b)c＝－1<0，故A错误； 对于B，由a>b>0得<， 又c<0，所以>，故B正确； 对于C，当a＝2，b＝1，c＝－1时， a－b＝1，a－c＝3，故C错误； 对于D，当b＋c＝0时，没有意义，故D错误.] 5.B　[由a＞1知，a2＋1－2a＝(a－1)2＞0， 2a－(a＋1)＝a－1＞0，∴a2＋1＞2a＞a＋1， 而y＝logax在定义域上单调递增， ∴m＞p＞n.] 6.B　[若m＝－1，n＝1， 则满足p：<，但不满足q：m>n>0， 故p无法推出q； 若m>n>0，则>0，对m>n两边同乘， 得>，故q可以推出p， 故p是q的必要不充分条件，故选B.] 7.A　[对于A，因为a>b>0>c， 所以>0>，故A正确； 对于B，因为函数y＝在R上单调递减且a>c，所以<，故B错误； 对于C，因为a>0>c，所以>0>，故C错误； 对于D，若a＝1，c＝－2，满足a>0>c，但a2<c2，故D错误.] 8.＞　[M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0， 故M＞N.] 9.(2，10)　[∵－4<β<2，∴0≤|β|<4， 又1<α<3，∴2<2α<6， ∴2<2α＋|β|<10.] 10.b＞d＞c＞a　[由题意知d＞c； ②＋③得2a＋b＋d＜2c＋b＋d， 化简得a＜c； 由②式a＋b＝c＋d及a＜c可得到b＞d， 故b＞d＞c＞a.] 11.解　＋－＝＋ ＝(a－b)·＝. ∵a＋b＞0，(a－b)2≥0， ∴≥0. ∴＋≥＋. 12.证明　(1)∵bc≥ad，＞0， ∴≥，∴＋1≥＋1， ∴≤. (2)∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0. ∵a＞b＞0，∴＜. 又∵c＞0，∴＜， ∴＜， 又c－a＞0，c－b＞0，∴＞. 13.AD　[因为a>b>0>c>d， 所以a>b>0，0>c>d， 对于A，因为0>c>d， 由不等式的性质可得c2<cd，故A正确； 对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2， 则a－c＝3，b－d＝3， 所以a－c＝b－d，故B错误； 对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2， 则ac＝－2，bd＝－2， 所以ac＝bd，故C错误； 对于D，因为a>b>0，d<c<0， 所以－d>－c>0，－ad>－bc，则ad<bc， 所以>，故－>0，故D正确.] 14.BD　[对于A，ac2－bc2＝c2(a－b)， 因为b<a<0，所以a－b>0， 又c2≥0，所以c2(a－b)≥0， 则bc2≤ac2，故A错误； 对于B，－＝， 因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0， 所以－＝<0， 即<，故B正确； 对于C，－＝， 因为c>b>a>0， 所以c－a>0，c－b>0，a－b<0， 所以－＝<0， 即<，故C错误； 对于D，－＝＝， 因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0， 所以>0，即>，故D正确.] 15.M>N　[法一　M－N＝－ ＝ ＝ ＝>0. ∴M>N. 法二　令f(x)＝ ＝＝＋， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N.] 16.(1)证明　因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0， 所以b＞－c，所以b＋c＞0. (2)证明　因为c＜d＜0， 所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，得a－c＞b－d＞0， 所以(a－c)2＞(b－d)2＞0， 所以0＜＜.① 因为a＞b，d＞c，可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0.② 由①，②相乘得＜. (3)解　因为a＋d＞b＋c＞0， 0＜＜， 所以＜＜或 ＜＜. 所以，均为所求代数式.(只要写出一个即可) 学科网（北京）股份有限公司 $$