专题10 统计十个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题10 统计十个重难点归类 【重难点01 统计的概念及简单随机抽样】 例1．（多选）从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是该市高一年级考试的全体学生 B．样本是指2000名学生的数学成绩 C．样本容量指的是2000名学生 D．个体指是指2000名学生中的每一名学生 例2．从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按001，002，，240进行编号，然后从随机数表第4行第5个数开始向右读，则选出的第4个编号是（注：下面为随机数表的第3~5行）（    ） 91685307    17337298    29849526    37515923    03886191    14679054 49042443    36160865    53317333    03570684    57173171    84357012 17355239    47454753    01644305    44017425    26545229    10694745 A．865 B．086 C．173 D．171 统计相关概念：①总体：调查对象的全体称为总体；②个体：组成整体的每一个调查对象称为个体； ③样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本；④样本容量：样本中包含的个体数称为样本容量 【跟踪练习】 练习1．（多选）某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型的商店的数量之比为，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有（    ） A．1500家商店是总体 B．样本容量为60 C．大、中、小型商店分别抽取4、20、36家 D．被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本 练习2．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．336石 D．168石 练习3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 练习4．为了了解一批炮弹的杀伤半径，从中选取了50发炮弹进行试验，在这次调查中，总体是 ；个体是 ；样本是 ；样本容量是 ． 【重难点02 分层抽样】 例3．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层随机抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层随机抽样 D．分层随机抽样，分层随机抽样 例4．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（    ） A．15 B．25 C．35 D．75 分层随机抽样中有关计算的方法: （1）抽样比=； （2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 【跟踪练习】 练习1．某连锁超市在三地的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则地被抽取的数量是 . 练习2．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 练习3．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 练习4．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【重难点03 读取扇形图、条形图、折线图中的信息】 例5．某校为了将双减工作落到实处，加强了学校的社团建设，组建了篮球、乒乓球、羽毛球、合唱、朗诵五个社团，学校要求某年级每名同学根据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个．根据同学们的选择，绘制成的各个社团的人数比例的扇形图如图．现从这些同学中抽出200人进行调查，已知张同学选的是篮球，李同学选的是乒乓球，则下列说法不正确的是（    ）    A．该问题中的样本容量为200 B．采用分层抽样，李同学被抽到的可能性比张同学的大 C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理 D．采用分层抽样，羽毛球社团和合唱社团应分别抽取54人和20人 例6．（多选）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（    ）        A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C．甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后 D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 （1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率； （2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数； （3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势. 【跟踪练习】 练习1．（多选）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（    ）    A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元 B．2017年的国内生产总值低于800000亿元 C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26% D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元 练习2．（多选）某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图甲、乙所示两个不完整的统计图，则下列说法正确的是（    ）    A．选取的这部分学生的总人数为500人 B．合唱社团的人数占样本总量的45% C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为75人 D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加航模社团人数多100人 练习3．（多选）新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT、B超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（    ） A．新增阳性人数每天都不超过100人 B．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数 C．新增阳性人数最多的一天是12日 D．每天新增确诊病例人数的中位数是43 练习4．为了解某企业员工对习近平新时代中国特色社会主义思想的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已如他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论中，错误的结论是 ．（填序号）    ①男、女员工得分在A区间的占比相同； ②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数； ③得分在区间的员工最多； ④得分在区间的员工占总人数的20%． 【重难点04 茎叶图】 例7．青少年近视情况日益严重，为了解情况，现从某校抽取部分学生，用对数视力表检查视力情况，A组和B组数据结果用茎叶图记录（如图所示），其中茎表示个位数，叶表示十分位数．对于这两组数据，下列结论正确的是（    ）    A．两组数据的中位数相等 B．两组数据的极差相等 C．两组数据的平均数相等 D．两组数据的众数相等 例8．某活动小组对组内8名成员的身高（单位：）进行测量，制作出茎叶图如图所示．已知该小组成员的平均身高为，则该小组成员身高的中位数为（    ） A． B． C． D． 茎叶图是将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的“叶”一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出 【跟踪练习】 练习1．两姐妹同时推销某一商品，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知妹妹的销售量的平均数为14，姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，则的值为 . 练习2．（多选）如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 练习3．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若他们的平均数相等，则图中的值是 ．    练习4．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，抽取了名学生的成绩，如图中茎叶图所示，学校规定测试成绩低于分的为“未达标”，分数不低于分的为“达标”. (1)求这组数据的众数和平均数； (2)若该校有名学生参加了此次考试，估计成绩“达标”的学生人数. 【重难点05 频率分布直方图】 例9．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（    ）    A．60 B．80 C．100 D．120 例10．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为. (1)求出的值； (2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量的数值； (3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于的人数. （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 【跟踪练习】 练习1．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ） A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 练习2．随机抽查了某校名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后组的频数和为，设视力在到之间的学生人数为，各组中频率最大的为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 练习3．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为 . 练习4．某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费.为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行月用电量（单位kW·h）调查，并绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少？ 【重难点06 数字特征与频率分布直方图】 例11．（多选）某游泳馆统计了2023年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法错误的是（    ） A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间[15,20]的锻炼人数为60，则总共500人参加了锻炼 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 例12．从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？ (2)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数:最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 【跟踪练习】 练习1．（多选）为了解甲､乙两个班级学生的数学学习情况，从两个班学生的数学成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲､乙两个班级的数学成绩，则（    ） A．甲班众数大于乙班众数 B．乙班成绩的60百分位数为125 C．甲班的中位数为124 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值 练习2．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； 练习3．某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市名跑步爱好者平均每周的跑步量简称“周跑量”，得到如下的频数分布表： 周跑量千米 人数    (1)补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； (2)根据图表数据，试求样本数据的中位数精确到； (3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表： 周跑量千米 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格元 根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格. 练习4．2023年9月23日，第19届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行，为了解某校学生对亚运会相关知识的了解情况，从该校抽取100名学生进行了亚运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，六组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计竞赛成绩不低于60分的概率； (3)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数. 【重难点07 百分位数】 例13．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 例14．高二年级进行消防知识竞赛．统计所有参赛同学的成绩．成绩都在内．估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A．65 B．75 C．85 D．95 （1）求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列； （2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 【跟踪练习】 练习1．某学习小组(共18位同学)在一次数学周测中的成绩(单位：分)如下： a　 87 　101　109　112　115　116　118　119 119　121　122　126　127　129　130　135　142 若正整数a是这组数据的上四分位数，则的一个可能取值为 . 练习2．某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为 ． 练习3．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（   ） A．图中a的值为0.020 B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为81.5 C．估计样本数据的75%分位数为88 D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人 练习4．（多选）志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（    ） A．a=0.035 B．估计众数为:40 C．估计平均数为:38 D．估计第80百分位数为: 【重难点08 标准差、方差的计算及性质】 例15．（多选）对于样本数据2，4，6，8，10，下列说法正确的是（   ） A．这组数据的中位数是6 B．这组数据的平均数是8 C．这组数据的极差是6 D．这组数据的标准差是2 例16．一组数据4，4，4，5，5，5，6，6，6的平均数为，方差为，另一组数据3，3，4，4，5，6，6，7，7的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 若一组数据的平均数为,方差为,那么的平均数是,方差为 【跟踪练习】 练习1．统计某个项目共有3个数据：，3，，若总体方差小于1，则实数的取值范围是 . 练习2．数据的方差为1，则数据的方差为 ． 练习3．设样本数据的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ． 练习4．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 . 【重难点09 分层方差计算总体方差】 例17．某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差（    ） A．18.5 B．19.2 C．19.4 D．20 例18．（多选）某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（    ） A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56 若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则 【跟踪练习】 练习1．我国经济的迅速发展使得对能源的需求增加，常规的化石能源供应不足的矛盾日益突出．能源安全成为我国必须解决的战略问题．发展新能源和可再生能源有利于改善我国能源结构，保障能源安全，保护环境，走可持续发展之路．为响应国家号召，甲、乙两公司在某小区设置电动汽车充电桩．某一天，甲公司设置的10组充电桩被使用的平均时间为a，方差为2；乙公司设置的30组充电桩被使用的平均时间为b，方差为．若，则该小区这40组充电桩被使用时间的方差为（    ） A． B． C． D． 练习2．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本，统计数据如表所示．据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为（    ） 学生数 平均每周支出/元 方差 男生 9 40 6 女生 6 35 4 A．10 B．11.2 C．23 D．11.5 练习3．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（    ） A．74 B．129 C．136 D．138 练习4．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【重难点10 频率分布直方图的综合】 例19．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50至350之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.    (1)求a的值； (2)求被调查用户中，用电量大于250的户数； (3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，其中第一档是用电不大于m时，按原始价格收费，超过m时，将提高收费价格标准.市政府希望使80%的居民缴费位于第一档，即做到80%的用户能按原有价格缴费，请给出第一档用电标准m（单位：）（精确到小数点后一位）的建议，并简要说明理由. 例20．为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学，得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数； (2)用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数． 【跟踪练习】 练习1．为弘扬中华民族优秀传统文化，树立正确的价值导向，落实立德树人根本任务，珠海市组织3000名高中学生进行古典诗词知识测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取100名学生，记录他们的分数，整理所得频率分布直方图如图： (1)规定成绩不低于60分为及格，不低于85分为优秀，试估计此次测试的及格率及优秀率； (2)试估计此次测试学生成绩的中位数； (3)已知样本中分数不低于80分的男女生人数相等，且样本中有的男生分数不低于80分，试估计参加本次测试3000名高中生中男生和女生的人数. 练习2．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数. 练习3．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图（顾客的停车时长均不超过600分钟）；    (1)求a； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间内的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）. 练习4．年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人． 口罩使用数量 频率    (1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程） (2)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到） (3)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替） 4 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 统计十个重难点归类 【重难点01 统计的概念及简单随机抽样】 例1．（多选）从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是该市高一年级考试的全体学生 B．样本是指2000名学生的数学成绩 C．样本容量指的是2000名学生 D．个体指是指2000名学生中的每一名学生 【答案】ABD 【详解】对于A：总体指的是该市高一年级考试全体学生或他们的数学成绩，故A正确； 对于B：样本是指2000名学生或他们的数学成绩，故B正确； 对于C：样本容量指的是2000，故C错误； 对于D：个体指是指2000名学生中的每一名学生或其数学成绩，故D正确． 故选：ABD. 例2．从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按001，002，，240进行编号，然后从随机数表第4行第5个数开始向右读，则选出的第4个编号是（注：下面为随机数表的第3~5行）（    ） 91685307    17337298    29849526    37515923    03886191    14679054 49042443    36160865    53317333    03570684    57173171    84357012 17355239    47454753    01644305    44017425    26545229    10694745 A．865 B．086 C．173 D．171 【答案】D 【详解】从随机数表第4行第5个数开始向右读，符合条件的有160，173，068，171， 则选出的第4个编号是171. 故选: D 统计相关概念：①总体：调查对象的全体称为总体；②个体：组成整体的每一个调查对象称为个体； ③样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本；④样本容量：样本中包含的个体数称为样本容量 【跟踪练习】 练习1．（多选）某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型的商店的数量之比为，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有（    ） A．1500家商店是总体 B．样本容量为60 C．大、中、小型商店分别抽取4、20、36家 D．被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本 【答案】BCD 【详解】A. 1500家商店的每日零售额是总体，故错误； B. 从中随机抽取60家商店，则样本容量为60，故正确； C. 因为三种类型的商店的数量之比为，所以大、中、小型商店分别抽取4、20、36家，故正确； D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本，故正确， 故选：BCD 练习2．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．336石 D．168石 【答案】D 【详解】由题意得，这批米内夹谷约为石， 故选：D 练习3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，解得n＝28． 故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为． 故选：C﹒ 练习4．为了了解一批炮弹的杀伤半径，从中选取了50发炮弹进行试验，在这次调查中，总体是 ；个体是 ；样本是 ；样本容量是 ． 【答案】 一批炮弹的杀伤半径 每发炮弹的杀伤半径 50发炮弹的杀伤半径 50 【详解】总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查对象，样本是从总体中所抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数目； 所以在这次调查中，总体是一批炮弹的杀伤半径； 个体是每发炮弹的杀伤半径； 样本是50发炮弹的杀伤半径； 样本容量50. 故答案为：一批炮弹的杀伤半径；每发炮弹的杀伤半径；50发炮弹的杀伤半径；50. 【重难点02 分层抽样】 例3．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层随机抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层随机抽样 D．分层随机抽样，分层随机抽样 【答案】A 【详解】①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当； ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当． 故选：A 例4．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（    ） A．15 B．25 C．35 D．75 【答案】A 【详解】由题意得样本容量为. 故选：A 分层随机抽样中有关计算的方法: （1）抽样比=； （2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 【跟踪练习】 练习1．某连锁超市在三地的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则地被抽取的数量是 . 【答案】6 【详解】由题意可得，解得， 则B地被抽取的数量是. 故答案为：6 练习2．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样 C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样 【答案】C 【详解】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样； ②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样； 故选：C. 练习3．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 【答案】C 【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10， 所以高三年级三个班优秀学生总人数为人. 故选：C 练习4．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【详解】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为， 故选：B． 【重难点03 读取扇形图、条形图、折线图中的信息】 例5．某校为了将双减工作落到实处，加强了学校的社团建设，组建了篮球、乒乓球、羽毛球、合唱、朗诵五个社团，学校要求某年级每名同学根据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个．根据同学们的选择，绘制成的各个社团的人数比例的扇形图如图．现从这些同学中抽出200人进行调查，已知张同学选的是篮球，李同学选的是乒乓球，则下列说法不正确的是（    ）    A．该问题中的样本容量为200 B．采用分层抽样，李同学被抽到的可能性比张同学的大 C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理 D．采用分层抽样，羽毛球社团和合唱社团应分别抽取54人和20人 【答案】B 【详解】由题意可知，该问题中的样本容量为200，故A不符合题意； 采用分层抽样法抽样，李同学与张同学被抽到的可能性一样大，故B符合题意； 由题图知，同学们选择各社团的差异性比较大，则采用分层抽样更合理，故C不符合题意； 羽毛球社团应抽取的人数为，合唱社团应抽取的人数为，故D不符合题意． 故选：B． 例6．（多选）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（    ）        A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C．甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后 D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【答案】AC 【详解】根据图示可得，甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后，所以甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前，故A正确； 乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠后，故B错误； 根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，所以在甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后，故C正确； 由图可知甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠后，故D错误. 故选：AC. （1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率； （2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数； （3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势. 【跟踪练习】 练习1．（多选）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（    ）    A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元 B．2017年的国内生产总值低于800000亿元 C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26% D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元 【答案】ACD 【详解】由统计图可得2018年~2022年国内生产总值分别为919281,986515,1013567,1149237,1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%， 对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故正确； 对于B，2017年的国内生产总值为亿元，故不正确； 对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为，故正确； 对于D，近五年的国内生产总值的极差为亿元，故正确； 故选：ACD 练习2．（多选）某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图甲、乙所示两个不完整的统计图，则下列说法正确的是（    ）    A．选取的这部分学生的总人数为500人 B．合唱社团的人数占样本总量的45% C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为75人 D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加航模社团人数多100人 【答案】ACD 【详解】对于A，由题图知：选取人数为人，故A正确； 对于B，合唱社团占比为，故B错误； 对于C，机器人社团占比为1－20%－15%－10%－40%＝15%，故该社团人数为500×15%＝75人，故C正确； 对于D，选取的学生中参加合唱社团的人数比参加航模社团人数多（40%－20%）×500＝100人，故D正确， 故选：ACD． 练习3．（多选）新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT、B超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（    ） A．新增阳性人数每天都不超过100人 B．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数 C．新增阳性人数最多的一天是12日 D．每天新增确诊病例人数的中位数是43 【答案】ACD 【详解】由统计图，知例如6日阳性人数为，A错； 由统计图，新增的无症状感染者总人数为，确诊总人数为，B正确； 10日新增阳性人数为多于12日的105，C错误； 每天新增确诊病例人数从小到大排列为：，中位数是46，D错， 故选：ACD． 练习4．为了解某企业员工对习近平新时代中国特色社会主义思想的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已如他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论中，错误的结论是 ．（填序号）    ①男、女员工得分在A区间的占比相同； ②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数； ③得分在区间的员工最多； ④得分在区间的员工占总人数的20%． 【答案】②③④ 【详解】根据题意，设员工总人数为个， 因为女员工人数为， 所以，解得， 所以男员工人数为， 对于①，女员工得分在A区间的占比为， 男员工得分在A区间的占比为， 故①正确； 对于②，女员工在A区间有20人，区间有60人， 区间有70人，区间有50人； 男员工在A区间有人， 区间有人，区间有人， 区间有人； 所以区间男员工少于女员工，故②错误； 对于③，区间有人，区间有人， 所以区间人数比区间多， 故③错误； 对于④，区间有人， 所以得分在区间的员工占总人数的， 故④错误； 综上：①正确，②③④错误， 故答案为：②③④. 【重难点04 茎叶图】 例7．青少年近视情况日益严重，为了解情况，现从某校抽取部分学生，用对数视力表检查视力情况，A组和B组数据结果用茎叶图记录（如图所示），其中茎表示个位数，叶表示十分位数．对于这两组数据，下列结论正确的是（    ）    A．两组数据的中位数相等 B．两组数据的极差相等 C．两组数据的平均数相等 D．两组数据的众数相等 【答案】C 【详解】A组数据按从小到大排列为：4.0，4.4，4.6，4.6，4.6，4.7，4.8，5.0，5.1，5.2， B组数据按从小到大排列为：4.2，4.4，4.4，4.5，4.8，4.8，4.8，4.9，5.0，5.2， 所以A组数据的中位数为＝4.65，B组数据的中位数为＝4.8， 故两组数据的中位数不相等，故A错误； A两组数据的极差为5.2－4.0＝1.2，B组数据的极差为5.2－4.2＝1.0，故两组数据的极差不相等，故B错误； A组数据的平均数为×(4.0＋4.4＋3×4.6＋4.7＋4.8＋5.0＋5.1＋5.2)＝4.7， B组数据的平均数为×(4.2＋2×4.4＋4.5＋3×4.8＋4.9＋5.0＋5.2)＝4.7， 故两组数据的平均数相等，故C正确； A组数据的众数为4.6，B组数据的众数为4.8，故两组数据的众数不相等，故D错误． 故选：C． 例8．某活动小组对组内8名成员的身高（单位：）进行测量，制作出茎叶图如图所示．已知该小组成员的平均身高为，则该小组成员身高的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，， ，该小组成员身高的中位数为， 故选:C． 茎叶图是将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的“叶”一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出 【跟踪练习】 练习1．两姐妹同时推销某一商品，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知妹妹的销售量的平均数为14，姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，则的值为 . 【答案】13 【详解】因为妹妹的销售量的平均数为14， 所以， 解得， 由茎叶图知：妹妹的销售量的众数是14， 因为姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2， 所以姐姐的销售量的中位数是16， 所以，解得， 所以， 故答案为：13 练习2．（多选）如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 【答案】ABC 【详解】对于选项A和B，甲、乙两位选手得分的茎叶图中，每个茎上的叶的数目相同， 乙的所有叶上的数字之和是37，甲的所有叶上的数字之和是20+m<30， 所以甲选手的平均分一定比乙选手的平均分低，所以选项A中的结论与选项B中的结论均不正确； 对于选项C和D，甲选手得分的中位数和众数均为85，乙选手得分的中位数和众数均为84， 所以C中结论不正确，D中结论正确. 故选：ABC. 练习3．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若他们的平均数相等，则图中的值是 ．    【答案】 【详解】因为, 解得， 故答案为：. 练习4．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，抽取了名学生的成绩，如图中茎叶图所示，学校规定测试成绩低于分的为“未达标”，分数不低于分的为“达标”. (1)求这组数据的众数和平均数； (2)若该校有名学生参加了此次考试，估计成绩“达标”的学生人数. 【答案】(1)众数为，平均数为 (2)人 【详解】（1）解：由茎叶图知，这组数据的众数为 平均数为. （2）解：由茎叶图知，名同学中成绩“达标”的有人， 所以，该校有名成绩“达标”的学生人数为（人）. 【重难点05 频率分布直方图】 例9．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（    ）    A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【详解】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得. 故选：C 例10．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为. (1)求出的值； (2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量的数值； (3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于的人数. 【答案】(1)； (2)； (3)人. 【详解】（1）由题意，解得. （2）设样本中身高小于100厘米的频率为，则. 而，故. （3）样本中身高位于的频率， 身高位于的人数（人）. （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 【跟踪练习】 练习1．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ） A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【答案】D 【详解】A选项，超过小时的概率估计为：，A选项正确. B选项，超过小时的概率估计为：， 所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过小时，B选项正确. C选项，超过小时的概率估计为：，C选项正确. D选项，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：， 所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D选项错误. 故选：D 练习2．随机抽查了某校名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后组的频数和为，设视力在到之间的学生人数为，各组中频率最大的为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】前两组的频数之和为，第四组的频数为， 后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为， 故第三组的频数为，因此，. 故选：B. 练习3．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为 . 【答案】 【详解】根据频率分布直方图得 该校的学生成绩不低于60分的学生人数为. 故答案为： 练习4．某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费.为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行月用电量（单位kW·h）调查，并绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：，解得. （2）解：由题意，要使得85%居民用户的电费支出不受影响， 可得， 解得. 【重难点06 数字特征与频率分布直方图】 例11．（多选）某游泳馆统计了2023年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法错误的是（    ） A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间[15,20]的锻炼人数为60，则总共500人参加了锻炼 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 【答案】ABC 【详解】由图可知，，，，，，的频率分别为，，，，，. 对于A，平均天数为 ， 故A错误； 对于B，最高矩形的高为，则众数位于之间，其底边中点的横坐标是，即众数为，故B错误； 对于C，人，故C错误； 对于D，因为，的频率和为，，，的频率和为， 设中位数为，则，可得，故D正确. 综上所述，错误的有A、B、C. 故选：ABC. 例12．从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？ (2)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不低于的频率为， 所以这200个脐橙中质量不低于的个数是. （2）平均数为. 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数:最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 【跟踪练习】 练习1．（多选）为了解甲､乙两个班级学生的数学学习情况，从两个班学生的数学成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲､乙两个班级的数学成绩，则（    ） A．甲班众数大于乙班众数 B．乙班成绩的60百分位数为125 C．甲班的中位数为124 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值 【答案】ABD 【详解】对于A中，由数据图，可得甲班数学成绩的众数为分，乙班数学成绩的众数为分， 所以甲班众数大于乙班众数，所以A正确； 对于B中，乙班数学成绩的频率分布直方图，可得： 前二个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以乙班成绩的60百分位数为分，所以B正确； 对于C中，根据中位数的定义，可得甲班的中位数为分，所以C不正确； 对于D中，甲班的平均数为：， 乙班的平均估计值为：， 可得，即甲班平均数大于乙班的平均数的估计值，所以D正确. 故选：ABD. 练习2．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； 【答案】(1)2 (2)， 【详解】（1）由， 得， 因为（人），（人）， 所以不高于50分的抽取（人）. （2）平均数 ， 因为在内共有人， 在内共有人， 所以中位数位于内， 则中位数为. 练习3．某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市名跑步爱好者平均每周的跑步量简称“周跑量”，得到如下的频数分布表： 周跑量千米 人数    (1)补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； (2)根据图表数据，试求样本数据的中位数精确到； (3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表： 周跑量千米 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格元 根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格. 【答案】(1)直方图见解析 (2) (3)元 【详解】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：    （2）由，， 可知中位数位于区间内，设中位数为，则由， 解得，即样本数据的中位数约为； （3）依题意可知，被调查的人中，休闲跑者共有人， 核心跑者共有人，精英跑者共有人， 这名跑步爱好者购买装备的平均价格为（元）， 所以估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格为元. 练习4．2023年9月23日，第19届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行，为了解某校学生对亚运会相关知识的了解情况，从该校抽取100名学生进行了亚运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，六组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计竞赛成绩不低于60分的概率； (3)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数. 【答案】(1)； (2)； (3)平均数为，中位数为. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质可知： ， 即； （2）结合（1）及图表可知： 竞赛成绩不低于60分的概率为； （3）易知平均数为， 前组的频率为， 所以中位数为. 【重难点07 百分位数】 例13．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【详解】依题意，甲组数据的第50百分位数为14，乙组数据的第50百分位数为，则， 由，得甲组数据的第80百分位数为，乙组数据的第80百分位数为， 因此，解得，所以. 故选：C 例14．高二年级进行消防知识竞赛．统计所有参赛同学的成绩．成绩都在内．估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】C 【详解】观察频率分布直方图知，成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 因此成绩的第75百分位数，，解得， 所以估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为85. 故选：C （1）求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列； （2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 【跟踪练习】 练习1．某学习小组(共18位同学)在一次数学周测中的成绩(单位：分)如下： a　 87 　101　109　112　115　116　118　119 119　121　122　126　127　129　130　135　142 若正整数a是这组数据的上四分位数，则的一个可能取值为 . 【答案】127(或128，129，写出其中一个即可) 【详解】将所给的数据除a外按从小到大的顺序排列为87，101，109，112，115，116，118，119，119，121，122，126，127，129，130，135，142， 因为，所以这组数据的上四分位数为从小到大排列后的第14个数据， 所以，又因为为正整数，所以可能为127，128，129(写出其中一个即可). 故答案为：127(或128，129，写出其中一个即可) 练习2．某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为 ． 【答案】185 【详解】显然该组数据已由小到大排列，由，得该组数据的第80百分位数为. 故答案为：185 练习3．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（   ） A．图中a的值为0.020 B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为81.5 C．估计样本数据的75%分位数为88 D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人 【答案】D 【详解】由频率分布直方图可知，，得，故A错误； ，故B正确； 设75%百分位数为x，， 而， 所以， 则，解得，故C错误； 则体测成绩在的频率为， 估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为人，故D对， 故选： D 练习4．（多选）志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（    ） A．a=0.035 B．估计众数为:40 C．估计平均数为:38 D．估计第80百分位数为: 【答案】ABD 【详解】对于A：，解得，故A正确； 对于B：频率分布直方图的第三组的频率最大，故数据的众数的估计值为，故B正确； 对于C：平均数的估计值为，故C错误； 第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为， 前三个组的频率和为，所以第百分位数在第四个组， 所以百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 【重难点08 标准差、方差的计算及性质】 例15．（多选）对于样本数据2，4，6，8，10，下列说法正确的是（   ） A．这组数据的中位数是6 B．这组数据的平均数是8 C．这组数据的极差是6 D．这组数据的标准差是2 【答案】AD 【详解】对于A，这组数据的中位数是6，A正确； 对于B，这组数据的平均数，B错误； 对于C，这组数据的极差为，C错误； 对于D，这组数据的标准差为 ＝2． 故选：AD 例16．一组数据4，4，4，5，5，5，6，6，6的平均数为，方差为，另一组数据3，3，4，4，5，6，6，7，7的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】依题意，，， ，， 所以，. 故选：A 若一组数据的平均数为,方差为,那么的平均数是,方差为 【跟踪练习】 练习1．统计某个项目共有3个数据：，3，，若总体方差小于1，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】平均数为， 方差， ，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 练习2．数据的方差为1，则数据的方差为 ． 【答案】4 【详解】设的平均数为， 则的平均数为， 所以的方差为： . 故答案为：4. 练习3．设样本数据的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】数据，，，的平均数为，方差为， 所以，，即， 则， 因为，所以， 因函数在上单调递减， 故当时，的最大值是． 故答案为：． 练习4．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 . 【答案】11 【详解】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为， 其方差 ， 又， 则有，解得， 则样本数据、、、、的平均数为； 故答案为：11． 【重难点09 分层方差计算总体方差】 例17．某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差（    ） A．18.5 B．19.2 C．19.4 D．20 【答案】B 【详解】总体样本平均数， . 故选：B. 例18．（多选）某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（    ） A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56 【答案】BC 【详解】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为 ，A错误，B正确； CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为 ， C正确，D错误. 故选：BC 若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则 【跟踪练习】 练习1．我国经济的迅速发展使得对能源的需求增加，常规的化石能源供应不足的矛盾日益突出．能源安全成为我国必须解决的战略问题．发展新能源和可再生能源有利于改善我国能源结构，保障能源安全，保护环境，走可持续发展之路．为响应国家号召，甲、乙两公司在某小区设置电动汽车充电桩．某一天，甲公司设置的10组充电桩被使用的平均时间为a，方差为2；乙公司设置的30组充电桩被使用的平均时间为b，方差为．若，则该小区这40组充电桩被使用时间的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总样本平均数为， 设该小区这40组充电桩被使用时间的方差为， 则由题意可得. 故选：B. 练习2．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本，统计数据如表所示．据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为（    ） 学生数 平均每周支出/元 方差 男生 9 40 6 女生 6 35 4 A．10 B．11.2 C．23 D．11.5 【答案】B 【详解】由已知可得，男生平均每周支出，；女生平均每周支出，. 由题意，估计该班学生每周购买零食的支出的平均数（元）， 则估计方差． 故选：B． 练习3．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（    ） A．74 B．129 C．136 D．138 【答案】D 【详解】设甲班平均成绩为，方差为，乙班平均成绩为，方差为， 总体平均成绩为，方差为， 由题知， 则由总样本方差公式， 可得甲，乙两班全部同学的成绩的方差为. 故选：D 练习4．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)0.030 (2)84 (3)两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1， 则， 解得． （2）结合（1）可得， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 设第75百分位数为， 则，解得， 故第75百分位数为84． （3）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故两组成绩的总平均数为， 设成绩在中10人的分数分别为，，，…，； 成绩在中20人的分数分别为，，，…，， 则由题意可得，，， 即，， 所以， 所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37． 【重难点10 频率分布直方图的综合】 例19．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50至350之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.    (1)求a的值； (2)求被调查用户中，用电量大于250的户数； (3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，其中第一档是用电不大于m时，按原始价格收费，超过m时，将提高收费价格标准.市政府希望使80%的居民缴费位于第一档，即做到80%的用户能按原有价格缴费，请给出第一档用电标准m（单位：）（精确到小数点后一位）的建议，并简要说明理由. 【答案】(1) (2)户 (3)，理由见解析 【详解】（1）因为， 所以； （2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为， 所以用电量大于250kW·h的户数为：（户） 故用电量大于250kW·h有户； （3）因为前三组的频率和为：， 前四组的频率之和为， 所以频率为时对应的数据在第四组， 所以第一档用电标准为：kW·h. 故第一档用电标准为kW·h. 例20．为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学，得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数； (2)用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数． 【答案】(1)，220 (2)37 (3)49.5 【详解】（1）∵，∴， 估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数为（人）． （2）由题意知，平均时长为（min）． （3）∵，． ∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数在之间， 设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x， 则，解得， ∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数是49.5min． 【跟踪练习】 练习1．为弘扬中华民族优秀传统文化，树立正确的价值导向，落实立德树人根本任务，珠海市组织3000名高中学生进行古典诗词知识测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取100名学生，记录他们的分数，整理所得频率分布直方图如图： (1)规定成绩不低于60分为及格，不低于85分为优秀，试估计此次测试的及格率及优秀率； (2)试估计此次测试学生成绩的中位数； (3)已知样本中分数不低于80分的男女生人数相等，且样本中有的男生分数不低于80分，试估计参加本次测试3000名高中生中男生和女生的人数. 【答案】(1)0.8，0.25； (2)76； (3)男生1800人，女生1200人. 【详解】（1）观察频率分布直方图，在 的频率分别为：， 所以此次测试的及格率的估计值为：， 此次测试的优秀率的估计值为：. （2）由频率分布直方图知，在的频率为：，在的频率为0.6， 此次测试学生成绩的中位数在，它是. （3）样本中分数不低于80分的学生共有人， 而样本中分数不低于80分的男女生人数相等，因此分数不低于80分的男生有20人， 依题意，样本中男生有60人，女生有40人， 由分层抽样可得该市高中男生人,女生人. 练习2．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数. 【答案】(1) (2)84 (3) 【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84； （3）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故. 所以两组市民成绩的总平均数是62， 练习3．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图（顾客的停车时长均不超过600分钟）；    (1)求a； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间内的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）. 【答案】(1) (2) (3)确定免费停车时长为153分钟 【详解】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， 可列等式为， 所以. （2）样本中停车时长在区间内的频率为， 所以估计该天停车时长在区间内的车辆数是. （3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间， 则，所以， 所以确定免费停车时长为153分钟. 练习4．年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人． 口罩使用数量 频率    (1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程） (2)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到） (3)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替） 【答案】(1)，；频率分布直方图见解析 (2)分位数为个，中位数为个 (3)平均数为个，方差为． 【详解】（1）由每周的口罩使用个数在以上（含）的有人得：，解得：， ， 则频率分布直方图如下：    （2），， 分位数位于，设其为， 则，解得：，即估计分位数为个； ，， 中位数位于，设其为， 则，解得：，即估计中位数为个. （3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：（个）， 方差为， 则所求平均数估计为个，方差估计为． 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