广东省深圳市龙华区玉龙学校2023-2024学年九年级下学期段考数学试卷（3月份）

2023-2024学年广东省深圳市龙华区玉龙学校九年级（下）段考数学试卷（3月份） 一、选择题：（每小题只有一个选项正确，每小题3分，共计30分） 1．（3分）﹣2024的相反数是（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）中国人民银行数据显示，至2024年3月末，广义货币（M2）余额281.46万亿元．281.46万亿用科学记数法表示为（　　） A．2.8146×1011 B．2.8146×1012 C．2.8146×1013 D．2.8146×1014 4．（3分）下列计算，正确的是（　　） A．（a3）2＝a6 B．a2﹣a＝a C．a2•a3＝a6 D．a9÷a3＝a3 5．（3分）2023年2月，某区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，34，30，31，这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．32，31 B．31，32 C．31，34 D．31，31 6．（3分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为53°，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，设信号塔CD的高度为x米，则下列关系式中正确的是（　　） A．sin53°＝ B．cos53°＝ C．tan53°＝ D．tan53°＝ 8．（3分）下列命题不正确的是（　　） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．负数的立方根是负数 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．五边形的外角和是360° 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中（　　） A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0 C．a+c＝b D．a+b＞﹣c 10．（3分）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ=3：1，则AM=（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　． 12．（3分）关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 　 　． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB=30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0），若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC=30°，则点M的坐标为　 　． 15．（3分）如图，四边形ABCD中∠BCD=90°，AD=，连接AC，BD，AB⊥BD且DB平分∠ADC，BD=2．则AC的长为 　． 三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16．（6分）计算：． 17．（6分）先化简：，再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值． 18．（8分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题． （1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 　 　； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 　 　； （4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？ 19．（8分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D． （1）E为BC边上一点，添一个条件，使直线DE是⊙O的一条切线，并证明； （2）在（1）的条件下，若CD＝3，求⊙O的直径． 21．（9分） 如何确定隧道中警示灯带的安装方案？ 素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m． 素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效m（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5m（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系 22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN． （1）如图，当E在边AD上且DE=2时，求∠AEM的度数． （2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由． （3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长． 2023-2024学年广东省深圳市龙华区玉龙学校九年级（下）段考数学试卷（3月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：（每小题只有一个选项正确，每小题3分，共计30分） 1．【答案】A 【解答】解：﹣2024的相反数是2024， 故选：A． 2．【答案】D 【解答】解：A．原图是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．原图是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．原图是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．原图既是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．【答案】D 【解答】解：因为281.46万亿＝281460000000000， 所以281.46万亿用科学记数法表示为2.8146×1014． 故选：D． 4．【答案】A 【解答】解：A、（a3）2＝a3，故A符合题意； B、a2与﹣a不属于同类项，不能合并； C、a2•a4＝a5，故C不符合题意； D、a9÷a5＝a6，故D不符合题意； 故选：A． 5．【答案】D 【解答】解：∵数据31出现了3次，最多， ∴众数为31， ∵排序后为：30，31，31，34， 故位于中间位置的数是31， ∴中位数是31． 故选：D． 6．【答案】A 【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛， 则， 故选：A． 7．【答案】C 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E， 则AB＝DE＝15米，AE＝BD＝25米， ∵CD＝x米， ∴CE＝CD﹣DE＝（x﹣15）米， 在Rt△ACE中，∠CAE＝53°， ∴tan53°＝＝， 故选：C． 8．【答案】C 【解答】解：A、经过直线外一点；故A正确； B、负数的立方根是负数； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D、五边形的外角和是360°； 故选：C． 9．【答案】D 【解答】解：A、对称轴是直线x＝＝； B、由函数图象知，函数图象在x轴的下方， ∴当﹣8＜x＜2时，y＜0； C、由图可知：当x＝﹣5时， ∴a+c＝b，故选项C不符合题意； D、由图可知：当x＝1时， ∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意； 故选：D． 10．【答案】C 【解答】解：∵BQ：AQ＝3：1， ∴＝， ∵把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（8＜n＜90）得到正方形ODEF， ∴OD＝AB＝OA＝3，∠ODE＝∠OAB＝90°， ∴∠ODM＝∠QAM＝90°， 又∵∠M＝∠M， ∴△ODM∽△QAM， ∴＝＝＝， 设AM＝x，则DM＝4x， 在Rt△ODM中，由勾股定理得： OD2+DM4＝OM2， 即37+（4x）2＝（4+x）2， 解得：x＝或0（舍去）， ∴AM＝， 故选：C． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．【答案】见试题解答内容 【解答】解：2x2﹣2x+2， ＝2（x3﹣2x+1）， ＝6（x﹣1）2． 12．【答案】x2＝﹣2． 【解答】解：设方程的另一根为x2， ∵关于x的方程2x7+mx﹣4＝0的一根为x＝6， 则1×x2＝＝﹣2， 解得x7＝﹣2． 故答案为：x2＝﹣2． 13．【答案】． 【解答】解：如图，连接EG， 根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线， ∴∠EBG＝∠CBG， 在△EBG和△CBG中， ， ∴△EBG≌△CBG（SAS）， ∴GE＝GC， 在Rt△ABE中，AB＝6， ∴AE＝＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2， 在Rt△DGE中，DE＝2，EG＝CG， ∴EG2﹣DE5＝DG2 ∴CG2﹣62＝（6﹣CG）8， 解得CG＝． 故答案为：． 14．【答案】见试题解答内容 【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F， ∵∠AOB＝30°， ∴OE＝AE＝， 将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（4，）， ∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝4×＝， ∴y＝， ∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°， ∴∠DOM＝60°， ∴∠MOF＝30°， ∴OF＝MF， 设MF＝n，则OF＝n， ∴M（n，n）， ∵点M在函数y＝的图象上， ∴n＝， ∴n＝1（负数舍去）， ∴M（，8）， 故答案为（，1）． 15．【答案】． 【解答】解：过点A作AE∥CD交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥AD于点F， ∵∠BCD＝90°， ∴∠E＝∠BCD＝90°， ∴BE⊥AE， ∵AB⊥BD，BF⊥AD，BD＝2， ∴AB＝＝1， ∴，即， ∴BF＝， ∵DB平分∠ADC， ∴BC＝BE＝BF＝，∠BDC＝∠BDA， ∵∠EBA+∠DBC＝90°，∠EBA+∠BAE＝90°， ∴∠EAB＝∠BDC＝∠BDA， ∵∠E＝∠ABD＝90°， ∴△ABE∽△ADB， ∴，即， ∴AE＝， ∴AC＝＝＝． 故答案为：． 三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16．【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝ ＝﹣﹣6+8 ＝． 17．【答案】﹣，﹣． 【解答】解：原式＝÷（﹣） ＝÷ ＝﹣÷ ＝﹣• ＝﹣， 当x＝3，2，﹣2时； 当x＝7时，原式＝﹣． 18．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°， 故答案为：108°； （2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人）， 则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下： （3）估计该校“良好”的人数为：1200×＝510（人）， 故答案为：510人； （4）画树状图如图： 共有8种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种， ∴抽到两名男生的概率为＝． 19．【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元； （2）本次购买最少花费2250元． 【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元， 由题意得，， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元； （2）设购买A种菜苗m捆，总花费为W元， 由题意得，W＝20×3.9m+30×0.7（100﹣m）＝﹣9m+2700， ∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数， ∴m≤100﹣m， ∴m≤50， ∵﹣9＜5， ∴W随m增大而减小， ∴当m＝50时，W最小， ∴本次购买最少花费2250元． 20．【答案】（1）E为BC的中点，证明见解答（答案不唯一，如∠EDC＝∠A）； （2）⊙O的直径长为． 【解答】解：（1）E为BC的中点， 证明：连接OD，则OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∵E为BC的中点， ∴DE＝CE＝BE＝CB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°， ∵OD是⊙O的直径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． 注：答案不唯一，如：∠EDC＝∠A． （2）解：由（1）得DE＝CB， ∵CD＝3，DE＝， ∴CB＝2DE＝4×＝4， ∵∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠BCD， ∴△ADC∽△CDB， ∴＝， ∵BD＝＝＝4， ∴AC＝＝＝， ∴⊙O的直径长为． 21．【答案】任务1：抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+5； 任务2：悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣3≤x≤3； 任务3：挂7条或8条，最右边一条灯带安装点的横坐标分别为2.4和2.8，方案见解答． 【解答】解：任务1：以O为原点，以AB所在直线为x轴， ∴顶点C为（0，6）， ∵抛物线过A（﹣5，0）， 设抛物线的解析式为：y＝ax8+5， 把A（﹣5，6）代入解析式得：25a2+5＝3， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+7； 任务2： ∵普通货车的高度大约为2.4m，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm， ∴当悬挂点的纵坐标y≥2.5+4.2+0.7＝3.2， 即悬挂点的纵坐标的最小值是6.2m， 当y＝3.5时，﹣x3+5＝3.2， ∴x＝±3， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣3≤x≤4； 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯带， ∵﹣3≤x≤3，相邻两盏灯带悬挂点的水平间距均为0.4m， ∴若顶点一侧悬挂4条灯带时，0.6×4＞3， 若顶点一侧悬挂3条灯带时，0.8×7＝2.4＜6， ∴顶点一侧最多悬挂3条灯带， ∵灯挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7条灯带， ∴最右边一条灯带的横坐标为：5.8×3＝7.4； 方案二：如图3， ∵若顶点一侧悬挂6条灯带时，0.4+8.8×（5﹣5）＞3， 若顶点一侧悬挂4条灯带时，5.4+0.6×（4﹣1）＜3， ∴顶点一侧最多悬挂4条灯带， ∵灯挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8条灯带， ∴最右边一条灯带的横坐标为：3.4+0.8×3＝2.6． 综上，挂7条或8条． 22．【答案】（1）90°； （2）DE＝．MN∥BD； （3）或． 【解答】解：（1）∵DE＝2， ∴AE＝AB＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°． 由对称性知∠BEM＝45°， ∴∠AEM＝90°． （2）如图7，∵AB＝6， ∴BD＝10， ∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10， ∴CN＝2． 由对称性得，∠ENC＝∠BDC， ∴cos∠ENC＝， 得EN＝， ∴DE＝EN＝． ∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC， ∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL）， ∴∠DBC＝∠BNM， ∴MN∥BD． （3）如图3，当E在边AD上时，点E在MN上， ∴∠BMC＝90°， ∴MC＝． ∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE， ∴△BCM≌△CED（AAS）， ∴DE＝MC＝． 如图4，点E在边CD上时， ∵BM＝4，BC＝8， ∴MC＝，CN＝8﹣． ∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°， ∴△BMC∽△CNE， ∴， ∴EN＝， ∴DE＝EN＝． 综上所述，DE的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$