湖南省湘楚名校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

2023一2024学年度湘楚名校高一下学期5月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B集合A={一1,1,2.3，B={一1,1}，对于A,A口B,故A错误：对于B,AUB=A,故B正确：对于C,CB {2,3}.故C错误：对于D.A∩B={-1,1},故D错误. 2.Di(1+i)=(一1)产(1+iD=1十i,其共轭复数为1-i,对应的点的坐标为(1，一1)，位于第四象限. &.C设R为△ABC外接圆的半径，则由正弦定理，得2R=-高一4，解得R=2所以△ABC外接圆的半 BC-23 径为2. 4.A:O=Oi+市-Oi+2A店=0i+3-Oi+3O-0成.0=-2Oi+号O成 5.C对于A,2024年1一2月份，商品零售总额同比增长2.9%，故A错误：对于B,2023年8月份，管饮收入总额 同比增加，故B错误；对于C,2023年6一10月份，商品零售总额同比都增加，故C正确：对于D,2023年12月，餐 饮收入总额环比增速并未告知，故D错误. 6.A依题意，a·b>0,|a十b=a·b台(a十b)2=(a·b)2台a2十2a·b十b=(a·b)2=|a2十1b12=(a·b)2 2a·b=(a一b)2+2a·b+1=(a·b-1),当0<a·b≤1时，上述最后等式不成立，从而有a·b>1, a·b-1=√(a-b)+2a·b+I≥√2a·b+I,当且仅当1a=|b1时取“=”，又a·b≤a·|b1, 当且仅当a与b同方向时取“=”，则有√2a·b+1≤a·b一1≤|a|·b|-1→21a|·|b+1≤ (a·b一1)2，解得a·b≥4，当且仅当a=b时取“=”，所以a·|b的最小值是4. 7.B如图，延长CB至F,使得BF=CB,连接DE,DF,AF,因为D为AB的中 点，E为AC的中点，所以DE=令CB,DE∥CB.CB=CB,因为BF- CB,所以DE=BF,DE∥BF,所以四边形BEDF是平行四边形，DF∥EB,则 ∠ADF为异面直线AD与BE所成的角或其补角.设AB=AA1=2,取AC的中点 M,连接EM,BM,则EM⊥AC,EM-2,BM=√3，AD=1,DF-EB=√EM+BF =V√2+(W3)=√7，AD=√AA+AD=√2+1下=√5，由余弦定理得AF VAB+B2 ABXBFcos12T=7,由余弦定理得O∠ADF=DPDF=号×方=·所以直 2ADXDF 线AD与BE所成角的余弦值为煙。 8.D函数f(x)=er十x2-4.x十4=e十(x-2)2,令g(x)=e+x2,因为g(-x)=e-十(-x)=e1+ x2=g(x),所以g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，且在（一∞，0）上递减，在(0，+∞)上递增，所以f(x)的图 象关于x-2对称，且在（一∞，2）上递减，在(2，十©)上递增，若使得不等式f(2m十1)<f(m十2)成立，则|2m十 1-21<m十2-21，即3m-4m十1<0，解得号<m<1,所以实数m的取值范围是（兮1）小： 9.CD对选项A,圆柱的侧面积为2R×2R=4πR,故A错误：对选项B.圆锥的母线为√(2R)2+R=√5R,圆锥 的侧面积为5R×πR=√5πR,故B错误：对选项C,球的表面积为4πR,故C正确.对选项D,圆柱的体积V,= R×2R=2R,圆锥的体积V:=号×xRX2R=号R,球的体积=专R,所以圆柱，圆锥，球的体积之比 为2xR:号R:专R=31:2,放D正确.故选CD 10.ABC对于A,最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，所以摩天轮离地面最近的距离为128一120=8 【高一联考·数学参考答案第1页（共4页）】 9215A (米)，选项A正确：对于B,以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，设1=0分钟时，游客 位于点P(0,一68)，以OP为终边的角为-，1=15分钟时，旋转角度为元，所以周期T=30,角速度为a= 亭=看，在转动一周的过程中，高度h关于时间1的函数解析式是：h=60in(w一受)十68=一60c0s(凭)十 68(≥0)，选项B正确：对于C,在1,4时刻，游客距离地面的高度相等，即-60cos(无4）+68= -60cos(（）+68,即cos(i)=cos(需)：故需h+香=2kmk∈N),4+a=30k(k∈N),故4+4 的最小值是30，选项C正确：对于D,h=一6000s()+68(>0),令0≤需≤x,解得0<≤15，令x≤需≤ 2π，解得15≤≤30，则h(t)在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减，当t=0时，h=8,当t=15时， hs=128,当t=20时，h=98>90,故h=90在[0,20]只有一个解，选项D错误.故选ABC. 11.AC使用方案①调整：当b=9时为=ax+9且a>0,又x∈[0,9]，则>x,A正确：C= 含-.C=号-，当C,<Cw即号>且a∈N又a>0,可得a>1.C正确：使 用方案②调整：当c=9时=9lg6十1)，显然若，=9时=9，B错误：名=c.血十D,而0<c<1n10,则 In 10 t=n0∈0，l门，故=（十1.又97D(G=12.+1.则=n59+,1=h5+,所 以1=4n59-h）=(1-片)而1-片[千g]=1时1品n [品8]则名-4∈r品r10.则C与∈(r是d1o0),此时C=(号)广=81，显然存 在Cs>Cs,D错误 12.10500045000÷(10%+20%)×70%=105000(个). 18(0,右)U[3,号）“xE(,2a]w>0m一吾<-音<2m吾：fx)在区间x,2]内没有零点， +<+号 十3 -<<号=-1或 2m-子<k+1Dx k+2>0, 2十3 k=0.当=-1时，0<<言当及=0时，3<<号∴w的取值范围为(o,行)U[号，号) 2 1410V万-10如图，因为∠APB=子，所以P在如图所示的圆0上，圆O的半径为号×10-10(m,由圆周 2 角的性质可得∠ADB=x-至=子，∠AOB=晋×2= 3 ∠OBA=∠OAB=若，连接OC,可得OP+CP>≥OC,所以当 P为OC与圆的交点时，CP取最小值，即CP=OC-OP.又 D OB=OP=10(m),在△OBC中，OB=10(m),BC=40(m), ∠0BC=三根据余弦定理可知OC= √10+402-2×10×40×(-2）=10√2I(m),所以CP的最小值为10V2-10)m 15,解：1)h>0,得（x十m）-2>0,…2分 ,方程(x十m)(x一2)=0的两个根为一，2. 【高一联考·数学参考答案第2页（共4页）】 9215A 又函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称， 5分 ∴.-m十2=0，m=2. 7分 2:-0-1.kg共 =-1,解得a=3. 10分 fx)=og号log(1+2 13分 16.解：(1)函数 f)=2 inn(r+吾）+os2z=2nx(分nr+号osr）+os2x=mx+5 in+aos2x= g2匹+s2z+52=n2十s2x+=m(2+）+…5分 2 2 令-变+2kr≤<2x+吾≤2km十登(h∈刀，整理得：-号十kx<<kx+否（∈Z: 故函数的单调递增区间为[一子+k,k红十晋](k∈.… …8分 当2x+吾=2km+受（∈，整理得：x=x十晋（∈Z时，函数取得最大值为号；…9分 当2十音=2kx一受(k∈，整理得：=一吾k∈刀时.函数取得最小值为-是.…10分 (2由于[o,受]整理得2+晋∈[吾，g] 所以函数y=sinx十是在[吾，]上，函数的图象与y=a的图象有两个交点，即函数g(x)=x)-a有两个 零点：故a∈[1，是），故实数a的取值范围为[1，号)》 …15分 17.(1)证明：如图，连接AC交BD于O 由底面ABCD是正方形，得AC⊥BD. 2分 又AA1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA:⊥BD, 因为AA∩AC=A,所以BD⊥平面A1AC,又ACC平面A1AC,则BD⊥AC.…4分 因为AB⊥平面BCCB,BEC平面BCCB,所以AB⊥BE.…5分 又BC⊥BE,而AB,∩BC=B,所以BE⊥平面ABC,所以BE⊥AC 而BD∩BE=B,所以AC⊥平面EBD.… …7分 (2)解：因为∠B1BC=∠BCE=90°，且BE⊥BC,所以∠CB1B=∠EBC, D 所以△BB0n△E.所以%-畏，号=是→CE-是. 10分 B 又O为BD的中点，连接EO,所以EO⊥BD, 易知CO⊥BD,且CO= 受巨，所以∠E0C是二面角E-BD-C的-个平面角， 9 所以tan∠EOC- C=言32.即二面角E-BD-C的正切值为32 O …15分 3v2 2 18.解：(1)因为a+2c=bcos C+√3 bsin C, 所以sinA+2sinC=sin Bcos C+V3 sin Bsin C, …2分 则sin(B+C)+2sinC=sin Bcos C+√3 sin Bsin C, sin Bcos C++cos Bsin C+2sin C=sin Bcos C++/3 sin Bsin C, 所以2sinC=√3 sin Bsin C--cos Bsin C.… 5分 又C∈(0，π)，则sinC≠0， 【高一联考·数学参考答案第3页（共4页）】 9215A 所以W3sinB-cosB=2,即sim(B-）=l, …6分 由B∈0,0，得B-晋∈（一吾，晋）所以B-吾=受，所以B- …8分 (2)因为2=a2十2-2acc0sB,所以a2十c2十ac=9.…9s分 因为D为AC的中点，所以B成=号(+心， D (BA:+B+2 BA.BC)=ait-ac_9-2ac 4 …11分 4 因为品品6点C25,所以a=28nA c=2W3sinC=23sim(号-A）=3cosA-3sinA, 13分 ac-23sin A(3cos A-3sin A)-3/3sin 2A-6.1-cos 2A 2 =35sin2A+3cos2A-3=sim(2A+吾）-3. …15分 因为A∈(o,受)，所以2A+吾∈（晋，），所以sin(2A+吾)e(号，1]。 则arE0,所以-∈[子号).所以BDe[停，号） …17分 19.(1)解：由频率分布直方图可知5×(0.01十0.07+x十0.04+0.02)=1，解得x=0.06, 身高在170cm及以上的学生人数100×5×(0.06+0.04+0.02)=60（人）. …3分 (2)解：180,185]的人数占比为5×0.02=10%， [175.180]的人数占比为5×0.04=20%， 所以该校100名学生身高的75%分位数落在[175,180]， …5分 设该校100名生学身高的75%分位数为x, 则0.04(180-x)+0.1=25%,解得x=176.25, 故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.… 7分 （8到h①证明-中-+：9分 n十2-)+22-G-0+mG-0+含0，-0+220y-0g一0+n-0)1… …12分 又2(-Dc-四)=含x,d-0)-mrG-0)=mr(G-0)-mrG-m)=0, 同理(y一y)(y一现0)=0.……14分 ∴S=n十含-0+m-0+2y-+nG-0] =十nm战+mG-+n十ng-国门 -mn(mSi+G-w]+nS+-wJ. 17分 【高一联考·数学参考答案第4页（共4页）】 9215A2023一2024学年度湘楚名校高一下学期5月联考 8.已知闻数)”+式-z+4则使拼不第式(ar+1)<f本2)成立的实第的取值 是 A() B.(-) c.() n() 数学试卷 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分,在题小题给出的选项中,有多项符合题目要 元.全些选对的得6分,分选对的部分分,有选错的得0分. 9.如图,一个桂和一个圆锥的底面直径和它们 20245 的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正 注意事项: 的是 1.本试卷分选择题和选择题两每分。满分150分,考试时词120分排 A.桂的刻为2-R B. 的解而和为2-R 2.考生件答时,请济答案家在题卡上,选择题小题选出答案后,周2B标笔把答题卡上对 C.挂的制而积与球的表面拟相等 主题目的答案标号涂里;非选择题清用直径目.5毫黑点墨水签字笔在题卡上各题的答 13.摩天轮幸被当作一个减市的勉标性建筑,如深坍海的”沟区之光”天轮,如 D.罚杜,恨、球的体积之比为3:1:? 题区域内作,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷,草稿纸上作答无效 3.本这命题范因:品修第一,必络第二(61~3). 用所示,某天轮最高点离地而高度18米,转盘直径为120米,设置若干个班 舱,游客从真地面最近的位置进能,开启后按送时针匀连转i分钟,当:-13 一、选择题;本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 时,游客随舱旋转至距离挂面段远处,以下美干摩天轮的说法中,正确的为 符合题目要求的. A.陪无轮离而量近的距渐为:※ 1.已知集含A-(-1.1.2.3).B-(-1.11.下列结论或立的是 B.若转1分钟后,游客距真地面的高度为A米,则一一00o(]+68 A.A二B BA11B-A CtB-1.2.3) n.A0B-② C.若在。+1.时则,游客距离地面的高度相等,判4十1,的最小值为30 2.在复平漏内,复数^'(3十D的共掘复数对应的点位干 D.第四 A.第一限 B.第二象限 11.计算机是示的数字图像是出一个个小家点细合面成的.处理用像时,靠会连过胜量调整各 D.容在上[0.203.使得游客在该时别距离地面的高度均为90来 A C.第三凹 3.在△ABC中.A-60”,BC-2./5.△A8C外接蜀的率径为 家点的亮度,间接调整困修的对比度,信和度等物理量,让图像更加美现,特别地,当围像像家 A# D3 B: C.2 点规模为1行x十1列时,设第i列像素点的亮度为为.则该图像对比度计算公式为C, 如已知A-2.0 B- A-+o 12..+1D,现对该图选行调整,有2科调整方案,①y“+ba>0.5>0、i1.2..。n +1:②=d+1(c0-1.2-1) n-1- c.+o A.使用方案①词落,当b-o时.(i-1.2..-.+1 零对比过 B.使用方案②调整,当c=9时.(-12..,+1 5.如图为近一年我国商品学售总额和餐饮收人总须同 D.使用方案②调整,当Hi-1(-1.2.-n+1)ln10时.C.<C C.使方案①词整:CC时.1 比速情况折线围,根据该图,下列结论正确的是 ___X (姓:回比,将当前的数据与上一年回期进行比对:环 初班 比,指当前数据与上个月的数据进行比对) 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分 12.某用口生产广家生产医用替酒口鼓,医用外科口置,医用护口 A.2024年1一2月份,商品零总题间比增长 三补产品.某目三融产品的生产比例如图所示,且医用防护口掣和 9.2% sos B.2023年3-12月价,餐收人总须同比略 医用外科口跟共生产了45000个,则因用口跟生产的个数为 C.2023年6-10月份,高品零帮总题同比都增加 D.2023年12月,餐饮收入总翻环比增建为一 期1讲4142阅1U 13.已知函数f(c)-sin(r-](o),若/(r)在区间(e,2=]内没 14.1% 有零点,则。的取值范是 5.已知琴平面量a,b清l+址-a·b,则al·l的最小是 D1 14.某因区有一境三角形空地△ABC(姓图).其中AB-10、/5r.BC-40m . A.4 H3 7.在正三校往ABC-A.BC.中.AB一AA.D为A.B.的中点.E为A.C.的中点.则异置直数 C.2 AD与BE所成角的会弦值为 乙ABC一,现计划在该空地上划分三个区域静植不同的花齐,若要求 c) # 乙APB-,则CP的最小值为__m 2{ 【高一联考·数学 第2页(共4页】 【高一考·数 第1页(共4页)】 21A 扫描全能王 3达在自注 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步现 18.(17分) 15.(13分) 在AABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.bc.已知a+-boosC+binC 已知函数/(x)-los(a>0且a-1)为奇涵数. (1求角B; (1)求实数m的值. (2)若一3.D为AC的中点:求绿段D长度的取简而用 (2若f一4-一1.求数x的析 16.(15分) 己知数/r)-2hinrin+]+oos 2 19.(17分) (1)求f)的单词涵增区间和是值 随机抽取100名学生,满得他们的身高(单位;cm),按阻区间[160,155),[165,170),[170. (2)若函数g(x)-f(2)-。在:o.有且仅有两个零点,求实数。的取值范圈 175).[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的题率分布直方图如图所示. (1)求题率分布直方图中:的值及身高在170(及以上的学生人数 (3)若一个总体别分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各是 (2)估计该校100名学生身高的75分位数 挂取的样本量、样本平均数和样本方差分别为;m、二,S;x.y,以.记 总的样本平均数为丽,样本方差为5,证明 ①叫 8 128 2-_(m[s+G-]+[+G-]. 17.15分) 已知长方体ABCD-A.B.C.D.中,校AB-BC-3.BB.-4.过B点作B.C的线交CC。于 C.交B.C手F. (1)求证:A.C1平EaD. (2)求二而角E-D-C的正切 【高一联考·数学 第3页(共4页)】 25A 【高一联考·数 第4页(共4页)】 5 扫描全能王