第8章 第7节 抛物线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第七节　抛物线 课标解读 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质． 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 3．了解抛物线的简单应用． [对应学生用书P200] 1．抛物线的概念 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图象 顶点 坐标 O(0，0) 对称 轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F (，0) F (－，0) F (0，) F (0，－) 离心 率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 1．判断正误 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　×　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　　×　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　×　　) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　√　　) 2．抛物线E：y＝x2的焦点到其准线的距离为(　　) A． B． C．2 D．4 C　解析：抛物线E：y＝x2，即x2＝4y， 则2p＝4，所以p＝2， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2. 3．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝x B．x2＝y C．y2＝－x D．x2＝－y BC　解析：设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝， 所以y2＝－x或x2＝y. 4．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 B　解析：由题意得，F (1，0)，则|AF|＝|BF|＝2， 即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1，2)， 所以|AB|＝＝2. 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线l与其交于A，B两点，|AF|＝3|BF|＝3，其准线方程为 ． 答案：x＝－　解析：如图所示，设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A，B，D，F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为A′，B′，D′，F′，|AA′|＝3，|BB′|＝1， 由梯形中位线得|DD′|＝2， |FF′|＝， ∴准线方程为x＝－. 6．(实施非等价转化致误)在平面直角坐标系xOy中，动点N到定点M(1，0)的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 ． 答案：y2＝4x或y＝0(x＜0)　解析：设N(x，y)为轨迹上任意一点，则＝|x|＋1， 两边平方，得y2＝2|x|＋2x＝所以动点N的轨迹方程为y2＝4x或y＝0(x＜0). [对应学生用书P201] 【例1】 (1)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ． (3)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 ． (1)A　(2)4　(3)6　解析：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以＝3，2p＝12，其方程为x2＝－12y. (2)如图所示，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. (3)如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6. 【变式探究】 若将本例1(2)中的B点坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ． 答案：2　解析：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， 所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值为2. 【练1】 (2023·福建模拟)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l2：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　) A． B． C．2 D． B　解析：直线l2：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，此时d1＋d2最小． ∵F (－1，0)，∴d1＋d2＝＝. 【练2】 已知动点M(x，y)的坐标满足＝|x＋2|，则动点M的轨迹方程为 ． 答案：y2＝8x　解析：设F (2，0)，直线l：x＝－2，则动点M到点F的距离为，动点M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|.又因为＝|x＋2|，两边平方得x2－4x＋4＋y2＝x2＋4x＋4. 整理得y2＝8x. 所以动点M的轨迹是以F (2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其轨迹方程为y2＝8x. 角度1　抛物线的标准方程 【例2】 (2023·四川石室中学高三模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l.斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A，交准线l于点B(A，B在x轴的两侧).若|AB|＝6，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝6x B　解析：如图，设抛物线的准线l与x轴交于点K，抛物线与直线AB的另一个交点为D， 分别过A，D作准线l的垂线，垂足点分别为M，N，设|AF|＝m，|DF|＝n，则|AM|＝m，|DN|＝n， 又AB直线的斜率为， ∴∠AFx＝60°， ∴∠MAB＝∠NDB＝∠AFx＝60°， ∴|BD|＝2|DN|＝2n，|AB|＝2|AM|， 又|AB|＝|BD|＋|DF|＋|AF|＝3n＋m＝6， ∴3n＋m＝2m， ∴2m＝6， ∴m＝3，n＝1， ∴|DN|＝n＝1， 又易知△BDN∽△BFK， ∴＝＝， ∴p＝|FK|＝|DN|＝， ∴抛物线的方程为y2＝3x. 【练3】 (2024·山东日照模拟)已知抛物线M的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，过其焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点C，D，|AF|＝2|BF|，且·＝72，则该抛物线的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝10y C．x2＝9y D．x2＝5y A　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>x2， 抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，F， 由|AF|＝2|BF|可得＝2， 所以＝2， 所以－x1＝2x2，－y1＝2， 所以y2＝，y1＝p，x1＝p，x2＝－p， 所以A(p，p)，B，C，D， 所以＝，＝， 因为·＝p×p＝72，所以解得p＝4， 所以抛物线的方程为x2＝8y. 角度2　焦点弦问题 【例3】 已知抛物线D：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若|PA|＝|AF|，则|PF|＝(　　) A.2 B．2 C．2 D．4 D　解析：由题意知F (1，0)，准线l：x＝－1，点P在D上， 由抛物线的定义及已知得|PA|＝|AF|＝|PF|，则△PAF为等边三角形， 因为∠APF＝，AP∥x轴，所以直线PF斜率k＝， 所以PF：y＝(x－1)， 由解得P(3，2)， P舍去， 所以|PF|＝xP＋＝3＋1＝4. 【练4】 (多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 AC　解析：由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0). 对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A选项正确． 对于B，通解　不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3. 所以M(，)，N(3，－2)，所以由两点间距离公式可得 |MN|＝ ＝，故B选项错误． 优解一　不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B选项错误． 优解二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，Δ＝64>0，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以由弦长公式得|MN|＝×＝，故B选项错误． 光速解　易知直线y＝－(x－1)的倾斜角为，所以|MN|＝＝，故B选项错误． 对于C，通解　由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(，－)，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确． 光速解　由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C选项正确． 对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝，故D选项错误．综上，选AC. 角度3　利用函数思想求最值 【例4】(2024·黑龙江大庆三模)已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，A为抛物线上的动点，点B(－1，0)，则当取最大值时，|AB|的值为 ． 答案：　解析：设A(x，y)，则|AB|＝＝，而|AF|＝x＋， 所以＝＝1＋＝1＋≤1＋ ＝， 当且仅当x＝1时等号成立， 所以取最大值时x＝1，此时|AB|＝＝. 【练5】 (2023·辽宁东北育才学校模拟)已知抛物线C1：y2＝12x，圆C2：(x－3)2＋y2＝1.若点P，Q分别在C1，C2上运动，且设点M(4，0)，则的最小值为(　　) A． B． C． D． A　解析：易知圆心C2即为抛物线C1的焦点，即C2(3，0)，设P(x，y)， ∴|PQ|≤|PC2|＋r＝x＋4， ∴≥＝ ＝＝， 当x>0时，≥＝，当且仅当x＝，即x＝4时取等号，即P(4，±4)时，取得最小值. 角度1　直线与抛物线的位置关系 【例5】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax(a≠0)恰有一个公共点，求实数a的值． 解：由题意可得联立方程 ∵a≠0， 消去x，得y2－y－1＝0. ①若a＝－1，方程组恰有一解 ②若a≠－1，令Δ＝0，得1＋＝0，解得a＝－， 这时直线与曲线相切，只有一个公共点． 综上所述，a＝－1或a＝－. 【练6】 已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，直线l：y＝－，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1·k2＝ ． 答案：－1　解析：设切线斜率为k，M ，则切线方程为y＋＝k(x－x0)，代入x2＝2py中得x2－2pkx＋2pkx0＋p2＝0.Δ＝0，所以k2p2－2px0·k－p2＝0.k1，k2是以上方程的两个根，所以k1·k2＝－1. 角度2　弦长问题 【例6】 (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去x得：y2－4py＋2p＝0， 所以y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，Δ＝16p2－8p>0， 所以p(2p－1)>0，∴p>， |AB|＝|y1－y2|＝ ＝4， 所以16p2－8p＝48，∴2p2－p－6＝0，∴(2p＋3)(p－2)＝0，所以p＝2. (2)由(1)知y2＝4x，所以F (1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，代入得4m2＝n2－6n＋1， 所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， |MN|＝|y1－y2|＝·＝·＝·＝2|n－1|， 所以S△MNF＝|MN|×d＝××2·|n－1|，　 又n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 【练7】 (2023·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－＜x＜).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－＜x＜， 所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1). (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标xQ＝. 因为|PA|＝＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f (k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f (k)在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$