第8章 第5节 第1课时 椭圆及其简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第五节　椭　圆 课标解读 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 3．通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 4．了解椭圆的简单应用． [对应学生用书P190] 1．椭圆的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距．根据椭圆的定义，点P(x，y)在椭圆上的充要条件为|PF1|＋|PF2|＝2a.|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 1．判断正误 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于同一常数的点的轨迹是椭圆．(　　×　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　×　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　√　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　√　　) 2．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1或 ＋＝1 A　解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1. 3．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于(　　) A．5 B．8 C．5或3 D．5或8 C　解析：椭圆＋＝1的焦距为2，可得＝1或＝1，解得m＝5或m＝3. 4．已知椭圆C：＋y2＝λ(λ>0)，则该椭圆的离心率e＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为椭圆C的方程为＋y2＝λ(λ>0)，即＋＝1，故c2＝4λ－λ＝3λ，又e2＝＝＝，故e＝. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． A　解析：方法一(直接求解法)　由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝. 方法二(选项代入验证法)　若a＝，则e1＝＝＝.又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意． 6．已知椭圆＋＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是 ． 答案：{b|b≥1且b≠5}　解析：直线l：y＝mx＋1恒过点M(0，1)，要使直线与椭圆总有公共点，则点M(0，1)必在椭圆内或椭圆上，由此得＋≤1，即b≥1，又＋＝1为椭圆方程，故b≠5，所以b≥1且b≠5. 第一课时　椭圆及其简单几何性质 [对应学生用书P191] 1.(2023·深圳模拟)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ A　解析：设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，可得|PF|＝4－|PF′|， 所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4， 当且仅当P，A，F′三点共线(点P在线段AF′上)时，|PA|＋|PF′|取得最小值， 又由椭圆C：＋＝1，可得F′(－1，0)且A(2，4)，所以|AF′|＝＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1. 2．已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，点P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　) A． B． C． D． B　解析：椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，c＝， O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n， 可得m＋n＝6，4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2， 即12＝m2＋n2－mn，可得mn＝，m2＋n2＝21， 可得|PO|＝. 3．(2023·河北深州长江中学模拟)已知A(－1，0)，B是圆C：(x－1)2＋y2＝8上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为 ． 答案：＋y2＝1解析：如图所示，圆C：(x－1)2＋y2＝8的圆心坐标为C(1，0)，半径r＝|CB|＝2， 因为P是线段AB的垂直平分线上的点，所以|PA|＝|PB|，则|AP|＋|PC|＝|CB|＝2＞|OC|＝2， 根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，C为焦点的椭圆， 其中a＝，c＝1，则有b＝＝1，故点P的轨迹方程为＋y2＝1. 4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ． 答案：13　解析：∵椭圆的离心率e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆的标准方程为＋＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，连接AF1，EF2，DF2，如图所示，∵AF2＝a，OF2＝c， ∴∠AF2O＝， ∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6cy－9c2＝0， 判别式Δ＝(6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2， ∴|DE|＝|y1－y2|＝2×＝2×6×4×＝6， ∴c＝，得a＝2c＝， ∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13. 【例1】 已知定点F1(－4，0)，F2(4，0)和动点M(x，y). (1)从①|MF1|＋|MF2|＝12，②|MF1|＋|MF2|＝8这两个条件中选择一个作为已知，求动点M的轨迹及其方程； (2)|MF1|＋|MF2|＝2a(a>0)，求动点M的轨迹及其方程． 解：(1)选择条件①：|MF1|＋|MF2|＝12，因为12>|F1F2|＝8， 故点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)， 则c＝4，a＝6，b2＝a2－c2＝20，故其方程为＋＝1. 即选择条件①，点M的轨迹是椭圆，其方程为＋＝1； 选择条件②：|MF1|＋|MF2|＝8，因为8＝|F1F2|， 故点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y＝0(－4≤x≤4). (2)因为|MF1|＋|MF2|＝2a(a>0)， 当0<a<4时，此时动点M不存在，没有轨迹和方程； 当a＝4时，此时2a＝|F1F2|， 由(1)可知，此时动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y＝0(－4≤x≤4)； 当a>4时，此时2a>|F1F2|， 此时点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程为＋＝1. 综上所述，当0<a<4时，动点M没有轨迹和方程； 当a＝4时，动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y＝0(－4≤x≤4)； 当a>4时，动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程为＋＝1. 【练1】 (2024·广东深圳二模)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|AF1|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　解析：因为|AF2|＝2|F2B|，所以可得|AB|＝|AF2|，又因为|AB|＝|AF1|， 所以可得|AF1|＝|AF2|，即A为短轴的顶点， 设A为短轴的上顶点(0，b)，F2(1，0)，c＝1，所以|AF2|＝＝a＞1， 所以直线AB的方程为y＝－b(x－1)，由题意设椭圆的方程为＋＝1，且c＝1， 联立整理可得＋(x－1)2＝1， 即(a2＋1)x2＝2a2x，可得xB＝， 代入直线的方程可得yB＝， 所以|BF2|＝＝， 因为|AF2|＝2|F2B|，所以a＝ 2，整理可得a2＋1＝2(a2－1)， 解得a2＝3，可得b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆的方程为＋＝1. 【练2】 过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 答案：＋＝1　解析：所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，则其焦点在y轴上，则c2＝25－9＝16， 设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，于是得a2－b2＝16， 又点(，－)在所求椭圆上，即＋＝1， 联立两个方程得＋＝1，即(b2)2＋8b2－48＝0，解得b2＝4，则a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 角度1　求椭圆的离心率的值(范围) 【例2】 (1)(2023·江西上饶模拟)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)A　解析：(1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a， 因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝，|PF1|＝，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c， 由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos ∠F1PF2， 即4c2＝＋－＝，所以＝，所以C的离心率e＝＝. (2)A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)， 则kAP＝，kAQ＝， 故kAP·kAQ＝·＝＝， 又＋＝1，则y＝， 所以＝，即＝， 所以椭圆C的离心率e＝＝＝. 【练3】 (2023·江苏南京师大附中模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(0，) D．(，1) A　解析：如图，椭圆的焦点在正方形的内部，∴BD直线方程为y＝x， ∴点(c，c)在椭圆内，∴＋＜1， 又b2＝a2－c2， ∴可得：e4－3e2＋1＞0，又e2∈(0，1)，∴e2∈(0，)， ∴e∈(0，). 【练4】 (2023·广东汕尾模拟)设F1，F2为椭圆C的两个焦点，M为椭圆C上一点，|MF1|＝12，|MF2|＝16，sin ∠MF2F1＝，则椭圆C的离心率e＝ ． 答案：或　解析：因为sin ∠MF2F1＝，且|MF1|<|MF2|，故∠MF2F1为锐角，所以cos ∠MF2F1＝＝，由余弦定理得＝，即128|F1F2|＝1280＋5|F1F2|2－720，所以(|F1F2|－20)·(5|F1F2|－28)＝0，解得|F1F2|＝20或|F1F2|＝，故e＝＝＝＝＝或e＝＝. 角度2　与椭圆有关的最值(或范围)问题 【例3】 (1)(2023·四川成都外国语学校模拟)已知两定点A(－3，0)和B(3，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝－x＋5上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为(　　) A．2 B．4 C． D．2 (2)(2024·河北石家庄一模)设点M是椭圆C：＋＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是 ． (1)B　(2)　解析：(1)根据题意，设点A(－3，0)关于直线l：y＝－x＋5的对称点A′(x0，y0)， 则解得即A′(5，8). 根据椭圆的定义可知，2a＝|AP|＋|BP|＝|A′P|＋|BP|≥|A′B|＝＝2， 当A′，P，B三点共线时，长轴长取最小值2，即amin＝， 由a2＝b2＋c2且c＝3，得b＝＝≥＝2， 因此椭圆C的短轴的最小值为4. (2)如图，由题意可知E(1，0)，|NE|＝1，设M(x0，y0)，＋＝1⇒y＝8，－3≤x0≤3， 则|MN|＝＝ ＝＝ ＝＝＝， 当x0＝3时，|MN|min＝＝. 【练5】 已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C　解析：设M(x0，y0)，F1(－3，0)，F2(3，0)，则，所以＝(－2x0，－2y0)，＝＝＝，因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，所以当y＝16时，取得最小值为8.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$