第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课标解读 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． [对应学生用书P187] 1．直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断． 位置关系 相交 相切 相离 公共点 两个 一个 零个 判定方法 几何法：圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 Δ>0 Δ＝0 Δ<0  2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 位置关系 方法 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 1．判断正误 (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.(　　√　　) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　×　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　×　　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　√　　) 2．圆C1：x2＋y2－14x＝0与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝15的位置关系为(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 A　解析：由C1：x2＋y2－14x＝0与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝15， 可得圆心C1(7，0)，C2(3，4)，半径R1＝7，R2＝， 则|C1C2|＝＝4，且R1－R2＝7－，R2＋R1＝7＋， 所以R1－R2<|C1C2|<R2＋R1，所以两圆相交． 3．(2024·江苏连云港模拟)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相切，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 A　解析：因为圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，且直线与圆相切， 则圆心到直线的距离d＝＝1，即a2＋b2＝1， 所以点P(a，b)坐标满足圆的方程， 所以点P在圆上，故选A. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 ． 答案：2(2，－2，，－中任意一个皆可以)　解析：设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2， 所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝， 由d＝＝，所以＝或＝，解得：m＝±2或m＝±. 5．(2023·河西区一模)与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2　解析：由题意知圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1，1)，半径为， ∴过圆心(－1，1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0， 所求的圆的圆心在此直线上，又圆心(－1，1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3， 则所求的圆的半径为，设所求圆心坐标为(a，b)，则＝，且a＋b＝0，＝2，解得a＝1，b＝－1，故答案为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 6．(忽视隐含条件致错)若过点A(4，2)可以作两条直线与圆C：(x－3m)2＋(y－4m)2＝25(m＋4)2相切，则点A在圆C的 (填“外部”“内部”“上面”)，m的取值范围是 ． 答案：外部　{m|m<－且m≠－4}　解析：因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部． 因为点A在圆的外部，则有(4－3m)2＋(2－4m)2>25(m＋4)2，因此有240m<－380，解得m<－. 再结合圆的条件中半径必须大于0，即有25(m＋4)2>0，所以m≠－4，因此m的取值范围是{m|m<－且m≠－4}． [对应学生用书P188] 1.不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝25 D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝25 B　解析：∵kx－y＋1－3k＝0，∴y－1＝k(x－3)，∴直线恒过点(3，1). 将点(3，1)代入(x＋1)2＋(y＋2)2中可得(3＋1)2＋(1＋2)2＝25； 将点(3，1)代入(x－2)2＋(y＋1)2中可得(3－2)2＋(1＋1)2＝5<25； 将点(3，1)代入(x－3)2＋(y＋4)2中可得(3－3)2＋(1＋4)2＝25； 将点(3，1)代入(x＋1)2＋(y＋3)2中可得(3＋1)2＋(1＋3)2＝32>25； ∴直线恒过的定点(3，1)在(x－2)2＋(y＋1)2＝25内， ∴当k为任意实数时，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝25相交． 2．(多选)(2024·山东青岛二模)已知圆C：x2＋y2－6x＝0，则下述正确的是(　　) A.圆C的半径r＝3 B．点(1，2)在圆C的内部 C．直线l：x＋y＋3＝0与圆C相切 D．圆C′：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交 ACD　解析：由x2＋y2－6x＝0，得(x－3)2＋y2＝9，则圆心C(3，0)，半径r＝3，所以A正确； 对于B，因为点(1，2)到圆心的距离为＝2>3，所以点(1，2)在圆C的外部，所以B错误； 对于C，因为圆心C(3，0)到直线l：x＋y＋3＝0的距离为d＝＝3＝r， 所以直线l：x＋y＋3＝0与圆C相切，所以C正确； 对于D，圆C′：(x＋1)2＋y2＝4的圆心为C′(－1，0)，半径r2＝2， 因为|CC′|＝＝4，r－r2<4<r＋r2， 所以圆C′：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交，所以D正确． 3．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是 ． 答案：　解析：点A(－2，3)关于直线y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上， 所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0； 圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1， 依题意圆心到直线l的距离d＝≤1， 即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤， 所以a∈. 【例1】 (1)(2024·陕西渭南模拟)已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于(　　) A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 (2)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.圆C1和C2公共弦所在直线方程为 ；圆C1和C2公共弦的弦长为 ． (1)D　(2)x－2y＋4＝0　2　解析：(1)圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C1(3，－2)，r1＝1， 圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a的圆心为C2(7，1)， r2＝， |C1C2|＝＝5， 因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2相内切或外切， 故|1－r2|＝5或r2＋1＝5，从而r2＝6或r2＝4， 所以r2＝＝6或r2＝＝4， 解得a＝34或a＝14. (2)C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0两式相减得出x－2y＋4＝0，即圆C1和C2公共弦所在的方程为x－2y＋4＝0. 设圆C1和C2相交于A，B两点， 由可得A(－4，0)，B(0，2)， 则圆C1和C2公共弦的弦长为＝2. 【练1】 (2023·重庆模拟)已知圆C1：(x＋3k)2＋(y＋4k＋2)2＝1＋k2与圆C2：(x＋3k)2＋y2＝4k2有三条公切线，则k＝ ． 答案：或　解析：圆C1的圆心为(－3k，－4k－2)，半径为， 圆C2的圆心为(－3k，0)，半径为2|k|，k≠0. 因为圆C1与圆C2有三条公切线，所以两圆外切， 所以＋2|k|＝＝|4k＋2|， 即＝|4k＋2|－2|k|， 当k≤－时，＝－2k－2，即3k2＋8k＋3＝0， 解得k＝或k＝(舍去)， 当－＜k＜0时，＝6k＋2，即35k2＋24k＋3＝0， 解得k＝或k＝(舍去)， 当k＞0时，＝2k＋2，即3k2＋8k＋3＝0， 解得k＝(舍去)， 综上，k＝或k＝. 【练2】 过点P(8，6)作圆C：x2＋y2－8x＋6y＝0的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 解：圆x2＋y2－8x＋6y＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，即圆心为C(4，－3)，半径R＝5. 所以P，C连线中点坐标D，而|PC|＝＝. 故以PC为直径的圆的方程为(x－6)2＋＝. 因为PA，PB是圆(x－4)2＋(y＋3)2＝25的两条切线，切点分别为A，B， 所以A，B为圆(x－4)2＋(y＋3)2＝25和(x－6)2＋＝的交点， 所以直线AB为两圆的公共弦，两圆方程相减，消去二次项，可得4x＋9y－14＝0.所以直线AB的方程为4x＋9y－14＝0. 角度1　直线与圆相交问题 【例2】 (1)(2023·青岛模拟)已知直线y＝kx(k>0)与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，则k＝(　　) A． B． C． D． (2)在平面直角坐标系xOy中，过点A(0，－3)的直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝9相交于M，N两点，若S△AON＝S△ACM，则直线l的斜率为 ． (1)B　(2)±　解析：(1)圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心C(2，1)，r＝2， 所以圆心C(2，1)到直线y＝kx(k>0)的距离为d，则d＝， 而d＝＝＝1，所以d＝＝1，解得k＝. (2)由题意得C(0，2)，直线MN的斜率存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝kx－3，与x2＋(y－2)2＝9联立，得(k2＋1)x2－10kx＋16＝0，Δ＝100k2－64(k2＋1)＝36k2－64>0，得k2>，由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝.因为S△AON＝S△ACM，所以×3×|x2|＝××5×|x1|，则|x2|＝2|x1|，于是x2＝2x1(由点A及C在y轴上可判断出x1，x2同号)， 所以两式消去x1，得k2＝，满足Δ>0，所以k＝±. 【练3】 (2023·射洪市校级模拟)直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则c＝ ． 答案：±5　解析：由∠AOB＝90°，得|AB|＝＝2，又O到直线3x＋4y＋c＝0的距离为＝，所以＝＝，得c＝±5. 角度2　直线与圆相切问题 【例3】 (1)已知圆O：则x2＋y2＝4，过点Q(2，4)作圆的切线，则切线的方程为 ． (2)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为 ． 答案：(1)x＝2或3x－4y＋10＝0　(2) 解析：(1)由题意，当切线斜率不存在时，方程为x＝2，满足与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)， 则＝2，解得k＝，此时切线方程为y＝x＋，即3x－4y＋10＝0.综上可得切线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0. (2)如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝， 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d， 则d＝＝2，∴|PM|的最小值为2，此时|PQ|＝＝＝，即切线长的最小值为. 【练4】 (2023·山东泰安二模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．7 C　解析：圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心C(1，0)，半径r＝2， 设P(x0，y0)，则x0＋y0＋m＝0， 由四边形PMCN为正方形，可得|PC|＝2， 即为(x0－1)2＋y＝8， 由题意可得直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切， 则圆心(1，0)到直线x＋y＋m＝0的距离为2， 可得＝2， 解答m＝3或－5(舍去). 【练5】 (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 ． 答案：y＝－x＋(或y＝x－或x＝－1) 解析：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4，两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l时，因为kOO1＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)， 圆心O到直线l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋； 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0， 由题意解得所以m的方程为y＝x－； 当切线为n时，易知切线方程为直线x＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$