第8章 第3节 圆的方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第三节　圆的方程 课标解读 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． [对应学生用书P184] 1．圆的定义及方程 定义 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合．这个定点即圆心，而定长就是半径 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|. 位置 关系 几何法 图示 代数法 点在 圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 1．判断正误 (1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　×　　) (2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　×　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　√　　) 2．(2023·湖南模拟)若圆C与y轴相切，则圆C的方程可以为(　　) A．x2＋y2＝1 B．x2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋y2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C　解析：依题意可得圆C的圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值应等于圆的半径， x2＋y2＝1的圆心为原点，不符合题意，A选项错误； x2＋(y－1)2＝1的圆心为(0，1)，不符合题意，B选项错误； (x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，符合题意，C选项正确； (x－1)2＋(y－1)2＝2圆心为(1，1)，半径为，不符合题意，D选项错误． 3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a满足(　　) A．a<－2 B．－<a<0 C．－2<a<0 D．－2<a< D　解析：由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得－2＜a＜. 4．(多选)下列关于圆x2＋y2－4x－1＝0说法正确的是(　　) A．关于点(2，0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 ABC　解析：x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2，0). 圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心坐标，所以A选项正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B选项正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C选项正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D选项不正确． 5．(多选)(2023·辽宁葫芦岛高三二模)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－)2＋(y－)2＝22 D．(x－)2＋(y－1)2＝ AB　解析：对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故选项A正确； 对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故选项B正确； 对于C，点(0，0)，(－1，1)都不在圆(x－)2＋(y－)2＝22上，故选项C错误； 对于D，点(4，0)，(－1，1)都不在圆(x－)2＋(y－1)2＝上，故选项D错误． 6．(忽视检验结论而致错)已知Rt△ABC的斜边为AB，点A(－2，0)，B(4，0)，则顶点C满足的方程为 ． 答案：(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2，0)，(4，0)) 解析：设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1，0)，如图所示，则半径为＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2，0)，(4，0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(经检验应除去点(－2，0)，(4，0)). [对应学生用书P185] 1.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为 ． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5　解析：∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)， 又∵点(3，0)和(0，1)均在圆M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， ∴M(1，－1)，R＝，圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 2．(2023·浙江杭州高三模拟)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的一般方程． 解：方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得： 解得 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10， 即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 方法二　线段AB的垂直平分线方程为y＋4＝－2x， 即2x＋y＋4＝0， 由得交点坐标O(－1，－2)， 又点O到点A的距离 d＝＝，即半径为， 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 【例1】 (2024·山东日照模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：　(1)方法一　设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质可知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 【练1】 (2023·四川绵阳江油市月考)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点T(2，0)的直线l与圆C交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，求M的轨迹方程． 解：(1)曲线y＝x2－2x－3与y轴的交点为(0，－3)，与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)， 设圆C的圆心为(1，t)， 则有12＋(t＋3)2＝(1＋1)2＋t2， 解得t＝－1. 则圆C的半径为＝， ∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. (2)设M(x，y)，由题意可知MC⊥MT， ∵C(1，－1)，T(2，0)， ∴(y－0)(y＋1)＋(x－2)(x－1)＝0， 整理得(x－)2＋(y＋)2＝， ∴线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－)2＋(y＋)2＝. 角度1　斜率型、距离型、截距型最值问题 【例2】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝， 解得k＝±(如图1). 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2). 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. 角度2　利用对称性求最值 【例3】 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 ． 答案：2　解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，则圆心C(2，1)，半径r＝.设A关于直线x＋y＋2＝0的对称点B(a，b)，则 ∴a＝－4，b＝－2，∴B(－4，－2)，∴|PA|＋|PQ|的最小值是|BC|－r＝－＝2. 角度3　建立函数关系求最值 【例4】 (2023·辽宁模拟)在Rt△ABC中，C＝90°，D为AB的中点，AB＝8，E在边AB上，且满足·＝4，则||的最大值是(　　) A．2 B． C．2 D． A　解析：以D为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，D(0，0)， 设C(4cos θ，4sin θ)，E(t，0)，其中0<θ<π，－4≤t≤4， ＝(t－4cos θ，－4sin θ)，＝(－4cos θ，－4sin θ)， 所以·＝(t－4cos θ，－4sin θ)·(－4cos θ，－4sin θ)＝－4tcos θ＋16cos2θ＋16sin2θ ＝－4t cosθ＋16，由题知·＝4， 所以－4tcos θ＋16＝4，所以tcos θ＝3， ||＝＝ ＝，其中－4≤t≤4， 所以当t＝±4时，||取得最大值2. 【练2】 (2023·陕西西安模拟)已知半径为2的圆经过点(5，12)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 B　解析：根据题意，设圆心为M，点A的坐标为(5，12)， 而该圆经过点(5，12)且半径为2，则圆心的轨迹是以A(5，12)为圆心，半径为2的圆，且|OA|＝＝13，则其圆心到原点的距离的最小值为13－2＝11. 【练3】 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，点P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5－4 B．－1 C．6－2 D． A　解析：如图所示，圆心C1(2，3)，C2(3，4)，作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2与x轴交于点P，连接PC1交圆C1于点M，连接PC2，交圆C2于点N，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C1′C2|－1－3＝5－4. 【练4】 (2023·福建福州模拟)已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，圆M为△ABC的外接圆，＝(＋)，则·＝ ；若P为圆M上的动点，则·的最大值为 ． 答案：0　2＋　解析：连接MA，依题意，M是斜边BC的中点，又＝(＋)，故点E是AB的中点，即ME是△ABC的中位线，ME∥AC，又AC⊥AB，故ME⊥AB，于是·＝0. 以圆心M为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， 设MP与x轴正半轴的夹角为θ(θ∈[0，π])，则P(cos θ，sin θ). ∴＝(－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，－1－sin θ)， ∴·＝2cos2θ＋sinθ(1＋sin θ)＝2＋sin θ， ∴2－≤·≤2＋，当θ＝时，·取到最大值2＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$