第8章 第2节 两条直线的位置关系与距离公式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二节　两条直线的位置关系与距离公式 课标解读 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． [对应学生用书P180] 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行的判定 设两条直线l1，l2的方程分别是l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线l1，l2的关系如下： l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.若k1＝k2，并且b1＝b2，那么两条直线l1，l2重合． 如果直线l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，这时仍有l1∥l2. (2)两条直线垂直的判定 设两条直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，它们的斜率分别为k1，k2. 当两条直线的斜率都存在时，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 如果两条直线l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，那么l1与l2的位置关系是l1⊥l2. (3)用直线的方向向量或法向量判定两直线平行与垂直 已知两直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①判断两条直线平行：l1∥l2⇔A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1，λ为非零实数． ②判断两条直线垂直：l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)＝A1A2＋B1B2＝0. 2．两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如下表所示． 方程组 的解的情况 一组解 无解 无数 组解 直线l1，l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1，l2的位置关系 相交 平行 重合 3.三种距离 三种 距离 条件 公式 两点间 的距离 A(x1，y1)， B(x2，y2) |AB|＝ 点到 直线 的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝ 两平行 线间的 距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝ 1．判断正误 (1)当直线l1和l2斜率都存在时，则k1＝k2⇒l1∥l2.(　　×　　) (2)如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　×　　) (3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　×　　) (4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　√　　) 2．(2023·山东济宁高三二模)“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：若直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行，则有 解得a＝0或a＝，所以“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行”的充分而不必要条件． 3．直线l1：mx－y＋1＝0，l2：(3m－2)x＋my－2＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．或1 C　解析：直线l1：mx－y＋1＝0，l2：(3m－2)x＋my－2＝0， l1⊥l2⇒m(3m－2)－m＝0，即m2－m＝0， 解得m＝0或m＝1. 4．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B． C． D． D　解析：由直线平行可得3m－6＝0，解得m＝2，则直线方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0，则两直线间的距离是＝. 5．若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋y－2＝0 A　解析：由题意可知AB的中点坐标是，kAB＝＝－1， 因为A，B关于直线l对称，所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为kl＝＝1，所以直线l的方程为y－＝x－，即x－y＋1＝0. 6．(忽视斜率不存在而致误)若直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为 ． 答案：x＝－1或x＋3y－5＝0　解析：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 综上可得，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. [对应学生用书P181] 1.(2023·陕西师大附中高考数学模拟)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 C　解析：直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直，则2(m＋1)＋m＋4＝0，解得m＝－2，故“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋4)y＋2＝0互相垂直”的充要条件． 2．(2023·北京模拟)若关于x，y的方程组(a∈R)无解，则a＝(　　) A．2 B． C．1 D． C　解析：由题意可得方程组无解，等价于直线4x＋2y＋1＝0和直线2x＋ay＋1＝0平行，则＝≠，解得a＝1.故选C. 3．(2023·山东济南历城第二中学模拟)已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C． D． D　解析：因为a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2， 所以2b＋a－4＝0，即a＋2b＝4，所以(a＋1)＋2b＝5，所以[(a＋1)＋2b]＝1， 所以＋＝[(a＋1)＋2b]＝≥ ＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值为. 4．在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，则直线l1：(sin2A)x＋(sinA)y－a＝0与l2：(sin2B)x＋(sinC)y－c＝0的位置关系是(　　) A．重合 B．相交不垂直 C．垂直 D．平行 A　解析：因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列， 所以有lg sin B－lg sin A＝lg sin C－lg sin B， 即＝⇒sin2B＝sinAsin C， 因为＝＝，＝，所以两直线重合． 1．(2023·华侨中学龙华区模拟)若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 B．2 C． D． A　解析：直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点， 满足解得 由于该点在直线y＝x＋2上， 故＝＋2，解得k＝4. 2．(2023·江苏模拟)点P为直线3x－4y＋2＝0上任意一个动点，则P到点(3，－1)的距离的最小值为 ． 答案：3　解析：由题意得当点P和点(3，－1)的连线和直线3x－4y＋2＝0垂直时距离最小，此时距离等于点(3，－1)到直线3x－4y＋2＝0的距离＝3，故P到点(3，－1)的距离的最小值为3. 3．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为 ． 答案：　解析：因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为. 4．(2024·山东聊城二模)实数x1，x2，y1，y2满足：x－ln x1－y1＝0，x2－y2－4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为 ． 答案：8　解析：由x－ln x1－y1＝0，则y1＝x－ln x1，又x2－y2－4＝0， (x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值转化为y＝x2－ln x(x>0)上的点与x－y－4＝0上的点的距离的平方的最小值， 由y＝x2－ln x，得y′＝2x－， 与x－y－4＝0平行的直线的斜率为1， ∴2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，可得切点为(1，1)， 切点到直线x－y－4＝0的距离的平方，即为(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值， ∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为＝8. 角度1　中心对称问题 【例1】 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ． 答案：x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a).由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【练1】 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0 B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.令可得所以N(－3，1).设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去).故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0. 角度2　轴对称问题 【例2】 (1)(2024·山东青岛二模)直线x－2y＋1＝0关于y＝x－1对称的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋4＝0 C．x＋2y－7＝0 D．2x－y－4＝0 (2)已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为 ． (1)D　(2)(2，6)　解析：(1)在所求的直线上任取一点(x，y)，关于y＝x－1对称的点为(x0，y0)， 则有所以因为点(x0，y0)在直线x－2y＋1＝0上， 所以y＋1－2(x－1)＋1＝0，即2x－y－4＝0. (2)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可知解得所以点A′的坐标为(2，6). 【练2】 (2023·安徽六安模拟)光线从P(2，0)出发，经x＝4，y＝x＋1两直线反射后，仍返回到P点，如图所示，则光线从P点出发回到P点所走的路程长度(即图中△PDE周长)为 ． 答案：　解析：如图所示，显然P关于直线x＝4的对称点F (6，0)，由反射光线性质知DF＝DP， 设P关于直线y＝x＋1的对称点H(x，y)，则则 故H(－1，3)，由反射光线性质知EH＝EP， 所以△PDE各边即为光线所走的路线，其周长等于线段FH的长度，且FH＝＝. 【例3】 (1)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． (2)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴，y轴上的截距和是1的直线l的方程． 解：(1)方法一　解l1与l2组成的方程组得交点P(0，2)，因为直线l3的斜率k3＝，所以直线l的斜率k＝－，方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. 方法二　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由方法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 方法三　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. (2)方法一　设直线l：＋＝1，则a＋b＝1和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.故l的方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. 方法二　根据平行直线系方程可设直线l为3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－，，由－＋＝1，知c＝－12.故直线l的方程为3x－4y－12＝0. 【练3】 求经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程． 解：设要求的直线方程为2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0， 化为(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋(λ－5)＝0， 又要求的直线与直线x＋2y－3＝0平行， 所以＝≠， 所以λ＝1， 所以要求的直线方程为9x＋18y－4＝0. 【练4】 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5, 7)等距离的直线方程． 解：设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0， 由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得 ＝， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝， 所以所求直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$