第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第八章　解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课标解读 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式). [对应学生用书P177] 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0. (2)范围：直线l倾斜角的范围是0≤α<π． 2．直线的斜率 (1) 定义：一条直线的倾斜角α(α≠)的正切值k称为这条直线的斜率．即k＝tan α． (2) 过两点的直线的斜率公式：设直线l的倾斜角为α，已知直线l上任意两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则有k＝tan α＝ . 3．倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，它们的对应关系 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) α＝0 k＝0 0<α< k>0 α＝ 不存在 <α<π k<0 4.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋ ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 5.直线的方向向量 (1)与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量． (2)斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． (3)直线 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个方向向量为(B，－A). 6．直线的法向量 (1)与直线l垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量． (2)直线 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个法向量为(A，B). (3)过点(x0，y0)，且法向量为(A，B)的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 1．判断正误 (1)直线的倾斜角越小，其斜率就越小．(　　×　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　×　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　×　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　√　　) 2．(2023·重庆南开中学高三模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝(sin ，cos )，则直线l的倾斜角为(　　) A． B． C． D． A　解析：由题意可得：直线l的斜率k＝＝＝tan ，即直线l的倾斜角为. 3．直线l1，l2，l3，l4的图象如图所示，则斜率最小的直线是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 B　解析：由题图知：kl3＞kl4＞0＞kl1＞kl2，故斜率最小的直线是l2. 4．直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)过定点 ，使得直线斜率最小的倾斜角是 ． 答案：(1，－1)　135°　解析：直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)可以化为m2(y＋1)＋y＋x＝0过定点，则解得x＝1，y＝－1，即定点(1，－1)， 直线可化为y＝－x－. m2≥0⇒m2＋1≥1⇒0＜≤1⇒－1≤－＜0，则使得直线斜率最小的倾斜角是135°． 5．(忽视截距为零而致误)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0　解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1， 则＋＝1，解得a＝5. 所以直线方程为x＋y－5＝0. 综上可得，此直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. [对应学生用书P178] 1.已知两点A(2，－3)，B(－3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k满足(　　) A．－4≤k≤－ B．k≤－4或k≥－ C．－4≤k≤ D．－≤k≤4 B　解析：如图所示，当直线l过点A时，k＝＝－4，当直线l过点B时，k＝＝－， 由题图知k≤－4或k≥－. 2．直线x＋y cos θ－5＝0的倾斜角α的取值范围是 ． 答案：　解析：当cos θ＝0时，α＝.当cos θ≠0时，斜率k＝－， ∵cos θ∈[－1，0)∪(0，1]， ∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞). ∴α∈∪. ∴α∈. 3．已知P(x，y)在线段AB上运动，A(2，4)，B(5，－2)，则的取值范围是 ． 答案：　解析：表示线段AB上的点与C(－1，－1)连线的斜率， 因为kAC＝＝，kBC＝＝－，所以由题图可知的取值范围是. 1.(2023·青岛模拟)已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的方程为(　　) A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4) C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4) C　解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)， 所以直线l的斜率k＝，故直线l的方程为y－3＝(x＋4). 2．(2023·江西宜春三模)已知过定点(2，1)作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，这样的直线有(　　) A．2条 B．3条 C．4条 D．0条 B　解析：根据题意，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，设直线l与x轴的交点为(a，0)，与y轴的交点为(0，b)， 则直线l的方程为＋＝1，直线l经过点(2，1)，则有＋＝1，① 直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则S＝×|a|×|b|＝4，变形可得ab＝±8，② 联立①②可得：a2－8a＋16＝0或a2＋8a－16＝0， 方程a2－8a＋16＝0，Δ1＝(－8)2－4×16＝0，有1个实根， 方程a2＋8a－16＝0，Δ2＝82＋4×16>0，有2个实根， 则三组不同的实数解a和b满足题意，故条符合条件的直线有3条． 3．(2023·江苏模拟)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 A　解析：把A(2，1)代入直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0， 则2(a1－a2)＝b2－b1， ∵过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是＝， ∴y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0， ∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1， ∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0. 角度1　直线过定点问题 【例1】 (2023·上海模拟)对任意的实数a，b，直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒经过的一个定点的坐标是 ． 答案：(1，2)　解析：由直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0整理得a(x－y＋1)＋2b(x＋y－3)＝0， 对任意的实数a，b，直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒经过的一个定点， 所以解得 由点(1，2)代入直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0， 满足(a＋2b)×1＋(2b－a)×2＋a－6b＝0. 所以点(1，2)在直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0上， 即直线(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒过定点(1，2). 【练1】 (2023·福建南平高三第三次模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ． 答案：(－1，－1)　解析：由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得解得则A(2，1). 又B(1，0)，则＝(－1，－1). 即直线AB的一个方向向量为(－1，－1). 角度2　与直线方程有关的最值问题 【例2】 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 解：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)， S△AOB＝(1－2k)·＝[4＋(－4k)＋]≥×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB＝×ab≥×8＝4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时取等号，故直线l：＋＝1，即x＋2y－4＝0. 【变式探究】 在本例条件下，当|OA|＋|OB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：由本例方法二可知，＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a2＝2b2，即a＝2＋，b＝1＋时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋. 【练2】 (2023·江苏模拟)若0＜k＜4，直线l1：y－4＝(x－2)和直线l2：y－4＝－(x－2)与两坐标轴围成一个四边形，如图所示，则使这个四边形面积最小的k值为 ． 答案：　解析：如图所示，作PD⊥AO，直线l1：y－4＝(x－2)，过定点P(2，4)，与y轴的交点B(0，4－k)， 直线l2：y－4＝－(x－2)过定点P(2，4)，与x轴的交点A， 由题意知，四边形OAPB的面积等于△APD的面积和梯形OBPD的面积之和， 所以所求四边形的面积为×4×＋＝k2－k＋8， 当k＝时，所求四边形OAPB的面积最小． 学科网（北京）股份有限公司 $$