第7章 专题培优课7 空间几何体内切球与外接球问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

◆专题培优课7　空间几何体内切球与外接球问题 [对应学生用书P143] 球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养． 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 角度1　等体积法 【例1】 已知点O到直三棱柱ABC­A1B1C1 各面的距离都相等，球O是直三棱柱ABC­A1B1C1 的内切球，若球O的表面积为16π，△ABC的周长为4，则三棱锥A1­ABC 的体积为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图，设直三棱柱ABC­A1B1C1 的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r. 由题意可知球O的表面积为16π＝4πr2，解得r＝2， ∴h＝4， 又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4， ∴连接OA，OB，OC，OA1，OB1，OC1 可将直三棱柱ABC­A1B1C1 分成5个棱锥， 即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥， 两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的三棱锥， ∴由体积相等可得直三棱柱ABC­A1B1C1 的体积为V＝S△ABC ·h＝ahr＋bhr＋chr＋2× S△ABC ·r，即4S△ABC ＝ (a＋b＋c)hr＋S△ABC， ∴S△ABC ＝4， ∴三棱锥A1ABC 的体积为S△ABC ·h＝ ×4×4＝. 【练1】 (2023·广西玉林模拟)若正四棱锥P­ABCD内接于球O，且底面ABCD 过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为 ． 答案： 　解析：因为正四棱锥P­ABCD 内接于球O，且底面ABCD 过球心O，球的半径为4， 所以OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝4， 所以AB＝BC＝CD＝DA＝PA＝PB＝PC＝PD＝4， 所以正四棱锥P­ABCD 的表面积为S＝4××＋＝32＋32， 正四棱锥P­ABCD 的体积为V＝××4＝. 设正四棱锥P­ABCD 内切球的半径为r， 则V＝Sr＝(32＋32)r＝， 解得r＝2(－1)， 所以该四棱锥内切球的体积为πr3＝π×＝. 角度2　作截面法 【例2】 已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图，正三棱柱ABC­A1B1C1 的高等于1， 设上底面中心为O1，下底面中心为G，连接O1G， 则球O 的球心O 在O1G 的中点上，设球O 切棱AA1 于F，切棱BC 于E， 则F，E 分别为所在棱的中点，设底面边长为a，则OF＝AG＝a，GE＝a， 又OG＝，∴OE＝， ∴ a＝，解得a＝1. 则球O 的半径为R＝，球的体积V＝π×＝. 【练2】 如图，在三棱锥V­ABC 中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，VA＝VB＝VC，若三棱锥V­ABC 的内切球O 的表面积为6π，则此三棱锥的体积为(　　) A.6 B．18 C．6 D．18 D　解析：如图，连接VO并延长交底面ABC 于点E，连接AE，并延长交BC 于D. ∵ 在三棱锥V-ABC 中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，VA＝VB＝VC， ∴ 三棱锥V-ABC 是正四面体， ∴E 是△ABC的中心， ∴VE⊥平面ABC. ∵ 三棱锥V-ABC 的内切球O 的表面积为6π， ∴4πr2＝6π，解得球O 的半径r＝OE＝， 设AB＝a，则AE＝AD＝＝， VE＝＝a，∴AO＝VO＝a－. ∵OE⊥AE，∴AE2＋OE2＝AO2， ∴＋＝， 解得a＝6，∴VE＝×6＝2， ∴ 此三棱锥的体积为V＝S△ABC·VE＝××6×6×sin 60°×2＝18. 角度1　墙角型—补形法(补长方体或正方体) 【例3】 (2023·河北模拟)在三棱锥P­ABC 中，已知PA，PB，PC 两两垂直，且PA＝1，PB＝PC＝2，则三棱锥P­ABC 的外接球的表面积为 ． 答案：9π 　解析：如图所示，以线段PA，PB，PC 为相邻的三条棱为长方体，连接AB，BC，AC，即为三棱锥P­ABC. ∵长方体的外接球与三棱锥的外接球相同， ∴其外接球直径为长方体的体对角线的长．设外接球的半径为R， 则(2R)2＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝12＋22＋22＝9， 解得R＝，则S＝4πR2＝4π×＝9π. 【练3】 已知四棱锥P­ABCD的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M­ABCD体积的最大值为 . 答案：　解析：将四棱锥P­ABCD补成长方体，如图所示． 可知四棱锥P­ABCD的外接球的直径为长方体的体对角线． 设四棱锥P­ABCD的外接球的半径为R，依题意有πR3＝36π，解得R＝3. 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则c＝3. 由于a2＋b2＋c2＝62，所以a2＋b2＝27.又a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以底面ABCD面积的最大值为(ab)max＝.此时，要使得四棱锥M­ABCD的体积最大， 只需点M到底面ABCD的距离h最大．连接AC，BD，交于点O′，连接OO′， 因为OO′＝ ＝ ＝， 所以hmax＝OO′＋R＝＋3＝， 故四棱锥M­ABCD体积的最大值为VM­ABCD＝××＝. 角度2　对棱相等型—补形法(补长方体或正方体) 【例4】 在三棱锥P­ABC 中，PA＝BC＝4，PB＝AC＝5，PC＝AB＝，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为(　　) A．26π B．12π C．8π D．24π A　解析：在三棱锥P­ABC 中，PA＝BC＝4，PB＝AC＝5，PC＝AB＝， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的体对角线长等于三棱锥P­ABC 外接球的直径，如图． 设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2＋y2＝16，y2＋z2＝25，x2＋z2＝11，则x2＋y2＋z2＝26， 因此三棱锥P­ABC 外接球的直径为， 所以三棱锥P­ABC 外接球的表面积为4π·＝26π. 【练4】 (2023·江苏南京师大附中模拟)在三棱锥P­ABC 中，PA＝BC＝5，PB＝AC＝，PC＝AB＝，则该三棱锥外接球的表面积为 ；外接球体积为 ． 答案：26π　 　解析：由题意，该三棱锥的对棱都相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示． 记该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则 即a2＋b2＋c2＝26，所以r＝＝， S＝4πr2＝26π，V＝πr3＝. 角度3　单面定球心法(定＋算) 【例5】 (2022·广西贺州模拟)已知△ABC 的三个顶点都在球O 上，AC⊥BC，AC＝BC＝2，且三棱锥VO­ABC＝，则球O 的体积为(　　) A．π B．π C．π D．36π D　解析：如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，则AB＝2.取AB 中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心，OH⊥平面ABC， 则VOABC＝＝××2×2·OH，解得OH＝ ， 则球O的半径OA＝＝3， 则球O的体积为π·33＝36π. 【练5】 (2022·山西长治第二中学校模拟)在四面体ABCD 中，△ABD，△BCD都是边长为2 的等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，则该四面体外接球的表面积为 ． 答案： 　解析：依题意作图，取BD的中点P，连接AP，CP， 取△ABD的中心E，△BCD的中心G，过E，G分别作平面ABD和平面BCD的垂线，得交点H，则点H就是四面体ABCD外接球的球心，CH就是球的半径r，如图． 因为AP＝CP＝，GH＝PE＝，CG＝， r2＝CH2＝CG2＋GH2＝， 所以该四面体外接球的表面积为S＝4πr2＝π. 角度4　双面定球心法(两次单面定球心) 【例6】 已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝BC＝CD＝4，现沿BD 进行翻折，使得A 到达A′ 的位置，连接A′C，此时二面角A′­BD­C 为150°，则四面体A′BCD 外接球的半径为(　　) A． B． C． D． C　解析：如图，取BD的中点E，连接A′E，CE，因为AB＝AD＝BD＝BC＝CD＝4, 即BC＝CD＝2， 所以CE⊥BD，A′E⊥BD，∠A′EC 即为二面角A′BD­C 的平面角，且∠BCD＝90°，所以△BCD 外接圆的圆心为E， 设△A′BD 外接圆的圆心为O1，则O1E＝，过点O1，E 分别作平面A′BD，平面BDC 的垂线，交于点O，则O 即为四面体A′BCD 外接球的球心． 因为二面角A′BD­C 的平面角为150°，即∠A′EC＝150°，则∠OEO1＝60°. 在Rt△OO1E 中，OE＝＝，连接OB，则OB 即为外接球的半径R， 则R2＝OB2＝OE2＋BE2＝，即R＝. 【练6】 (2023·湖南邵阳第二中学模拟)一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将△AMD，△BMC 分别沿MD，MC折起，使MA，MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为(　　) A． B．48π C．81π D． A　解析：如图所示． 由图①可知在四面体A­CDM中，由正方形ABCD，M 为AB 的中点，可得MA⊥AD，MA⊥AC，AC∩AD＝A，故MA⊥平面ACD. 将图形旋转得到如图②所示的三棱锥MACD，其中△ACD为等边三角形，过△ACD的中心O1作平面ACD的垂线l1，过线段MC的中点O2作平面MAC的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记l1∩l2＝O，则O即为三棱锥MACD外接球的球心． 设外接球的半径为R，连接OC，O1C， 可得O1C＝4××＝，OO1＝1. 在Rt△OO1C中，OC2＝OO＋O1C2＝＝R2， 故该四面体外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $$