第7章 第5节 空间向量及其运算（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第五节　空间向量及其运算 课标解读 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 3．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 4．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 5．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 6．掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示． [对应学生用书P161] 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的定义 如图，在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴和z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O­xyz. 在空间直角坐标系O­xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面． (2)空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，建立了空间中的点P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系．有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． (3)空间两点间的距离公式 已知空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，则A，B两点间的距离为|AB|＝ .这就是空间两点间的距离公式． 提醒：原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝. 2．空间向量中的特殊向量 名称 概念 零向量 模为0的向量，方向为任意方向 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反且长度相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量 3.空间向量中的有关定理 定理 语言描述 向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b (a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a 向量共面的充要条件 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2 空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和p＝xe1＋ye2＋ze3 4.空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个空间向量a，b，a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉为a，b的数量积，零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0 性质 a·a＝|a|2；|a|＝；a·b＝0⇔a⊥b；cos 〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) 运算律 a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) (2)投影向量 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得 ＝a，＝b，〈a，b〉＝α. 过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则OB1为在方向上的投影向量，投影向量的模|OB1|＝|||cos α| 称为投影长． 5．空间向量的坐标表示 (1)向量线性运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)， λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R. 当a∥b时，(x1，y1，z1)＝λ(x2，y2，z2)， 其中λ∈R，即a∥b⇔(x1，y1，z1) ∥(x2，y2，z2)⇔ x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(λ∈R). (2)向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 a·b＝(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2. |a|＝ ＝ ， cos 〈a，b〉＝ ＝. a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 1．判断正误 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　×　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　×　　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　×　　) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　×　　) 2．(2023·江西萍乡芦溪中学一模)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　　) A．a＋b，a－b－c，3a－c B．a－2b，a＋c，－3b－c C．2a＋b，a－c，3a＋b－c D．a－2b，b＋c，3a－3b＋c C　解析：对于A，若a＋b，a－b－c，3a－c共面， 则存在实数x，y使得a＋b＝x(a－b－c)＋y(3a－c)，则无解， 所以a＋b，a－b－c，3a－c不共面，故A错误； 对于B，若a－2b，a＋c，－3b－c共面， 则存在实数m，n使得a－2b＝m(a＋c)＋n(－3b－c)，则无解， 故a－2b，a＋c，－3b－c不共面，故B错误； 对于C，因为(2a＋b)＋(a－c)＝3a＋b－c， 所以2a＋b，a－c，3a＋b－c共面，故C正确； 对于D，若a－2b，b＋c，3a－3b＋c共面， 则存在实数s，t使得a－2b＝s(b＋c)＋t(3a－3b＋c)，则无解， 故a－2b，b＋c，3a－3b＋c不共面，故D错误． 故选C. 3．(2023·湖南师大附中模拟)如图，点M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且MN＝OM，设＝a，＝b，＝c，则下列向量与相等的是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a＋b＋c D．a＋b＋c A　解析：∵M在四面体OABC的棱BC的中点，MN＝OM， ∴＝－＝－＝×(＋)－＝＋－＝－a＋b＋c. 4．(2023·江西模拟)已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则·的最小值为(　　) A．－2 B．－3 C．－1 D．0 A　解析：由题意知，正方体的外接球的球心为O， 正方体的外接球的直径AB＝＝2， 则O为AB的中点， 所以＝－，且|＝||＝， 故·＝(－)·(－)＝·－(＋)·＋2＝2－3， 由于||≥＝1，所以·的最小值1－3＝－2. 5．(2023·安徽滁州五校联考)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，则x＝(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．6 B　解析：向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)， 则2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)， (2a－b)·b＝1，则－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3. 6．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足＝＋＋，则点M (填“∈”或“∉”)平面ABC. 答案：∈　解析：∵＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋， ∵＋＋＝1， ∴M，A，B，C四点共面，即点M∈平面ABC. [对应学生用书P163] 1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出下列各式： 其中运算结果为向量AC1的共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　解析：对①，(＋)＋＝＋＝； 2．(2023·四川绵阳南山中学模拟)如图，设＝a，＝b，＝c，若＝，＝2，则＝(　　) A．a＋b－c B．－a－b＋c C．a－b－c D．－a＋b＋c A　解析：由题意得＝＋＝＋＝(－)＋(－) ＝＋－＝a＋b－c. 3．(2023·江西赣州月考)在三棱柱ABC­A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，若点D为B1C1的中点，则＝(　　) A．a－b＋c B．a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c A　解析：∵＝a，＝b，＝c，点D为B1C1的中点， 角度1　共线向量定理的应用 【例1】 (2023·山西太原模拟)在△ABC中，点D在BC上，且BD＝2DC，过D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，记＝λ，＝μ，若λ＝，则μ＝(　　) A． B． C． D． C　解析：依题意＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 又＝，即＝，＝μ即＝， 所以＝×＋×＝＋，因为D，M，N三点共线，所以＋＝1，解得μ＝. 【练1】 (2023·天津南开中学模拟)如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A． B． C．2 D． D　解析：由＝可得＝，即＝4， 故＝m＋＝m＋. 因为B，P，D三点共线，所以m＋＝1，m＝. 角度2　共面向量定理的应用 【例2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋). (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－). 即＝＋＝－－， ∴，，三个向量共面． (2)由(1)知，，共面且过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 【例3】 如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足 ＝kAC1，＝k(0≤k≤1).判断向量 是否与向量 ，共面． 【练2】 (2023·黑龙江鹤岗一中模拟)在△ABC中，点M是BC上一点，且＝3，点P为AM上一点，向量＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，则＋的最小值为(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 B　解析：因为＝3， 所以＝λ＋μ＝λ＋3μ， 又A，P，M三点共线，所以λ＋3μ＝1， 所以＋＝(λ＋3μ)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当λ＝3u，即λ＝，μ＝时等号成立，所以＋的最小值为12. 【练3】 已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝PB1＋7＋，那么点M必在平面 内． 答案：BA1D1　解析：因为＝PB1＋7＋ 所以M，B，A1，D1四点共面，即点M必在平面BA1D1内． 角度1　空间向量数量积的运算 【例4】 在三棱锥P­ABC中，PB＝PC＝1，∠APB＝∠APC＝90°，∠BPC＝60°，则·＝(　　) A． B． C．1 D． A　解析：因为三棱锥PABC中，PB＝PC＝1，∠APB＝∠APC＝90°，∠BPC＝60°， 所以·＝(－)·＝·－·＝||·||cos ∠BPC－0＝1×1×cos 60°＝. 角度2　利用数量积求长度 【例5】 (2023·山东滕州模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则||＝(　　) A． B． C． D． D　解析：∵AB＝AD＝1，PA＝1，＝－， ∴＝[＋(－)]＝－＋＋. ∵AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°， ∴2＝(－＋＋)2＝(2＋2＋2)－×||·||·cos 60°＋×||·||·cos 60°＝(1＋1＋1)－×1×1×＋×1×1×＝， ∴||＝. 故选D. 角度3　利用数量积求夹角 【例6】 (1)(2023·江苏南京中华中学模拟)在空间直角坐标系O­xyz中，若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．1 B．－17 C．－1或－17 D．17或－1 (2)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为 ． (1)D　(2)120°　解析：(1)由题意，向量a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)， 可得a·b＝－2－λ－2＝－4－λ，|a|＝，|b|＝， 因为a与b的夹角为120°，可得cos 120°＝，即－＝， 整理得λ2－16λ－17＝0，解得λ＝－1或λ＝17. (2)设c＝(x，y，z)，∵向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，(a＋b)·c＝7， ∴a＋b＝(－1，－2，－3)，∴ 设a与c的夹角为θ，cos θ＝＝＝－， ∴θ＝120°. 【练4】 已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则·的取值范围为(　　) A．[－2，－] B．[－，0] C．[－，－] D．[－2，0] D　解析：设外接球的半径为r，则2r＝＝3，解得r＝. 设O是球心，则||∈，||2∈， ·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－∈[－2，0]. 【练5】 (2023·四川绵阳模拟)如图，空间四边形OABC中，OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝，∠AOB＝，点M，N分别在OA，BC上，且OM＝2MA，BN＝CN，则MN＝(　　) A． B． C． D． A　解析：因为OM＝2MA，BN＝CN， 所以＝－＝(＋)－＝－＋＋. 又OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝，∠AOB＝， 所以·＝0，·＝0， ·＝||||cos ＝2， 所以2＝＝2＋2＋2－·－·＋·＝||2＋||2＋||2－·＝×22＋×22＋×22－×2＝，所以||＝. 【练6】 (2023·四川宜宾四中模拟)两个非零向量a，b，定义|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉．若a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，则|a×b|＝ ． 答案：2　解析：设向量a，b的夹角为θ. ∵a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)， ∴|a|＝，|b|＝2，a·b＝2， ∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]， ∴sin θ＝， ∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝×2×＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$