第7章 第4节 直线、平面垂直的判定与性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第四节　直线、平面垂直的判定与性质 课标解读 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． [对应学生用书P155] 1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称直线l与平面α垂直．直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们的交点叫作垂足． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 3.直线到平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离． 4．直线和平面所成的角 名称 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，则直线l称为平面α的一条斜线，如图中直线PA 斜足 斜线l与平面α的交点A 射影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影 直线 与平 面所 成的 角 定义：平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． 当直线l与平面α平行或在平面α内时，直线l与平面α所成的角是0°. 当直线l与平面α垂直时，直线l与平面α所成的角是90° 取值 范围 直线l与平面α所成角的取值范围是[0°，90°] 5.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． ②二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角． (2)平面和平面垂直的定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．若平面α，β互相垂直，则记作α⊥β． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 1．判断正误 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　×　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　×　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　×　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　×　　) 2．若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数条直线”正确；a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可以在平面α内，即不能推出a⊥α， 所以“a⊥α”是“a垂直于α内无数条直线”的充分不必要条件． 3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　) A．α∥γ 　 B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 　 D．以上都有可能 D　解析：若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α，γ可以平行，垂直，相交但不垂直． 4．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P­AC­O为45°，则(　　) A.该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 AC　解析：在△PAB中，由余弦定理得AB＝2，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝.对于A，该圆锥的体积V＝πr2 h＝π，故A选项正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P­AC­O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，所以AC＝2，故C选项正确；对于D，PH＝OH＝，S△PAC＝×AC×PH＝2，故D选项错误．故选AC. 5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1. 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD.又BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确． 6．(忽视平面到空间的变化)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为 ． 答案：平行、相交或异面　解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． [对应学生用书P157] 1.(多选)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　) A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β ABD　解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确． 2．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° D　解析：如图所示：不妨设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为∠DB1A，所以sin 30°＝＝，即b＝c，B1D＝2c＝，解得a＝c. 对于A，AB＝a，AD＝b，AB＝AD，A错误； 对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan ∠BAE＝＝，所以∠BAE≠30°，B错误； 对于C，AC＝＝c，CB1＝＝c，AC≠CB1，C错误； 对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin ∠DB1C＝＝＝，而0＜∠DB1C＜90°，所以∠DB1C＝45°，D正确． 角度1　线面垂直的判定 【例1】 (2023·黑龙江双鸭山模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AC1交A1C于点O，∠BAC＝90°，D为BC中点． (1)求证：C1A⊥平面A1B1C； (2)求直线B1C1与平面A1B1C所成的角． (1)证明：在正方形ACC1A1中，C1A⊥A1C. ∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC. 又∵侧面ABB1A1是正方形，∴AB⊥AA1. ∵AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1， ∴AB⊥平面ACC1A1. 而C1A⊂平面ACC1A1，则AB⊥C1A，而A1B1∥AB， ∴A1B1⊥C1A，而A1B1∩A1C＝A1. 又A1B1，CA1⊂平面A1B1C， ∴C1A⊥平面A1B1C. (2)解：连接OB1，如图所示． ∵ACC1A1为正方形， ∠BAC＝90°， ∴AC1⊥A1C，AC1⊥A1B1， 而A1B1∩CA1＝A1， A1B1，CA1⊂平面A1B1C， ∴AC1⊥平面A1B1C， ∴∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角． ∵C1O＝C1A＝C1B1，∴∠C1B1O＝30°， ∴直线B1C1与平面A1B1C所成的角为30°. 角度2　线面垂直的性质 【例2】 (2023·山东莱西第一中学模拟)如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，AC＝BC，F是EB的中点． (1)求证：DF∥平面ABC； (2)求证：DF⊥平面EAB. 证明：(1)取AB的中点G，连接CG，FG. ∵F是EB的中点， ∴FG綊EA. ∵EA和DC都垂直于平面ABC，∴EA∥DC. ∵EA＝2DC，∴FG∥DC，FG＝DC， ∴四边形CDFG为平行四边形，从而DF∥CG. ∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC. (2)∵EA⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，∴CG⊥EA. ∵AC＝BC，BG＝GA，∴CG⊥AB， ∵EA∩AB＝A，EA，AB⊂平面EAB， ∴CG⊥平面EAB， 由(1)可知，DF∥CG，∴DF⊥平面EAB. 【练1】 (2023·山东临沂模拟)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求AE与平面BDE所成角的大小． (1)证明：根据题意，由于四边形ABCD是正方形，则有AC⊥BD. 又由DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 则AC⊥DE， 而BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D， 故AC⊥平面BDE. (2)解：根据题意，设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示． 由于AC⊥平面BDE，则EO是直线AE在平面BDE上的射影， 故∠AEO即为AE与平面BDE所成的角． 在Rt△EAD中，EA＝＝2， 在Rt△EOA中，AO＝，则sin ∠AEO＝＝， 故∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. 【练2】 (2023·辽宁沈阳二十中模拟)已知四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且AE＝AD，BC＝3，O为AB的中点，PA＝PB，AB＝AD.证明：EC⊥PE. 证明：连接OE(图略)，因为平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝PB，O为AB的中点， 所以PO⊥AB，所以PO⊥平面ABCD. 因为EC⊂平面ABCD，所以PO⊥EC. 因为四边形ABCD为矩形，BC＝AD＝3，CD＝AB＝AD＝2，所以AE＝AD＝1，DE＝2， 且EC＝＝2，OE＝＝，OC＝＝， 所以OE2＋EC2＝OC2，所以OE⊥EC. 又因为PO∩OE＝O且PO，OE⊂平面POE， 所以EC⊥平面POE.因为PE⊂平面POE，所以EC⊥PE. 角度1　面面垂直的判定 【例3】 (2023·衡水中学模拟)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1. (1)证明：平面PAB⊥平面PBC； (2)求四棱锥P­ABCD的体积． (1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝. 因为PC＝2，BC＝1，PB＝，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB， 又PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. (2)解：在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示． 由(1)知BC⊥平面PAB. 因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD. 又平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD. 因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝. 因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P­ABCD的体积为VP­ABCD＝××(1＋2)×1×＝. 角度2　面面垂直的性质 【例4】 (2023·江苏镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． 证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. 因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC. 因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. 因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， 所以PA⊥平面ABC. (2)如图，连接BE并延长交PC于点H. 因为点E是△PBC的垂心， 所以PC⊥BH. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以PC⊥AE. 因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB. 由(1)知PA⊥平面ABC， 又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB. 因为PA∩PC＝P，且PA，PC⊂平面PAC， 所以AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． 【练3】 (2023·江西赣州兴国县模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°，D，E分别为棱AB，B1C1的中点，F为线段C1E的中点． (1)证明：AF∥平面A1DE； (2)在棱BB1上是否存在一点G，使平面ACG⊥平面BB1C1C？若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． (1)证明：如图，取A1C1的中点M，连接AM，EM，FM. 因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，故四边形AA1B1B为平行四边形，所以AB∥A1B1且AB＝A1B1. 因为D为AB的中点，则AD∥A1B1且AD＝A1B1. 因为M，E分别为A1C1，B1C1的中点， 所以EM∥A1B1且EM＝A1B1， 所以，AD∥EM且AD＝EM，故四边形ADEM为平行四边形，所以AM∥DE. 因为AM⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE， 所以AM∥平面A1DE. 因为M，F分别为A1C1，C1E的中点，所以FM∥A1E. 因为FM⊄平面A1DE，A1E⊂平面A1DE， 所以FM∥平面A1DE， 因为AM∩FM＝M，AM，FM⊂平面AFM， 所以平面AFM∥平面A1DE， 因为AF⊂平面AFM，所以AF∥平面A1DE. (2)解：当点G为BB1的中点时，平面ACG⊥平面BB1C1C. 因为四边形AA1C1C为矩形，则AC⊥CC1，因为BB1∥CC1，则BB1⊥AC. 因为四边形BB1C1C为菱形，则BC＝BB1， 因为∠B1BC＝60°，所以△B1BC为等边三角形， 因为G为BB1的中点，所以BB1⊥CG. 因为AC∩CG＝C，AC，CG⊂平面ACG， 所以BB1⊥平面ACG. 因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面ACG⊥平面BB1C1C， 因此，当点G为BB1的中点时，平面ACG⊥平面BB1C1C. 【练4】 如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AB＝2CD＝4，BC＝，PC＝，PB＝2.求证：PD⊥AC. 证明：如图所示，过点D作DM⊥AB于点M，设AC与BD的交点为O.因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AB＝2CD＝4，BC＝， 所以AD＝BC＝，AM＝1. 所以cos ∠DAB＝＝. 在△ABD中，BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos ∠DAB＝18， 即BD＝3.又因为＝，所以DO＝，OB＝2. 同理可得CO＝，OA＝2. 因为DO2＋OC2＝CD2，所以AC⊥BD. 又因为平面PBD⊥平面ABCD，且平面PBD∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥平面PBD， 又因为PD⊂平面PBD，所以PD⊥AC. 【例5】 (1)(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C­AB­D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B． C． D． (2)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，AA1＝3，AA1⊥AC，D为A1C1的中点，BD＝3，则二面角A1­AC­B的正切值为 ． (1)C　(2)－　解析：(1)如图所示，取AB的中点M，连接CM，DM，则CM⊥AB，DM⊥AB，又CM，DM⊂平面CMD，CM∩DM＝M，于是AB⊥平面CMD，∠CMD即为二面角C­AB­D的平面角，于是∠CMD＝150°.设AB＝2，则CM＝1，MD＝，在△CMD中，由余弦定理可得CD＝＝.延长CM，过点D作CM的垂线，设垂足为H，则∠HMD＝30°，DH＝DM＝，MH＝DM＝，所以CH＝1＋＝.因为DH⊂平面CMD，则AB⊥DH，又DH⊥CM，AB，CM⊂平面ABC，AB∩CM＝M，所以DH⊥平面ABC，∠DCM即为直线CD与平面ABC所成角，于是在Rt△DCH中，tan ∠DCM＝＝. (2)取AC的中点E，连接ED，EB，如图所示． 因为点D为A1C1的中点，△ABC是边长为2的正三角形， 所以DE＝AA1＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC， 所以∠BED为二面角A1ACB的平面角． 在△BED中，DE＝3，BE＝3，BD＝3， 所以由余弦定理得cos ∠BED＝ ＝－， 所以∠BED＝120°， 所以tan ∠BED＝－. 【练5】 (2023·江苏淮安模拟)周恩来纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体内接于半径R的球O(即所有顶点都在球上)，记正四棱锥侧面PB1C1与正方体底面A1B1C1D1所成二面角为θ，则tan θ＝ ． 答案：－1　解析：由正方体的性质可知该组合体的外接球O的球心为正方体的中心． 设正方体底面A1B1C1D1的中心为O1，B1C1的中点为E，连接PO，O1E，PE， 则PE⊥B1C1，O1E⊥B1C1，则∠PEO1＝θ，设正方体的棱长为a，则PO＝a，PO1＝a－a，O1E＝a， ∴tan θ＝＝－1. 【练6】 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． (1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D. ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC. 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点． 又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC. (2)解：如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F. ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝. 建立空间直角坐标系C­xyz如图所示， 则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)， ∴＝(0，，0)，CC1＝(－，0，)，AB1＝(－2，，). 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 即取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1). 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，AB1〉|＝＝. ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$