第7章 第3节 直线、平面平行的判定与性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第三节　直线、平面平行的判定与性质 课标解读 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． [对应学生用书P150] 1．直线与平面平行的判定 定理 表示 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b 图形语言 3.平面与平面平行的判定定理 定理 表示 图形 文字 符号 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β 4.平面和平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b 图形语言 1．判断正误 (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　×　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　×　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　×　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　√　　) 2．(2023·广东茂名模拟)已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　) A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．必要而不充分条件 D．充分而不必要条件 D　解析：若“m∥n”，则“m∥α”成立，即充分性成立． ∵m∥α，∴m不一定平行n， 即“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件． 3．(2023·辽宁模拟)能使两个不同平面α与β平行的条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α，β垂直于同一个平面 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一条直线 D　解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，则平面α与β相交或平行，故A错误； 对于B，α，β垂直于同一个平面，则平面α与β相交或平行，故B错误； 对于C，α，β平行于同一条直线，则平面α与β相交或平行，故C错误； 对于D，α，β垂直于同一条直线，则平面α与β平行，故D正确． 4．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH，则GH与EF的位置关系为(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 B　解析：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEHF＝GH，所以GH∥BC.同理可证，EF∥BC，因此GH∥EF. 5．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G A　解析：由正方体可得EG∥E1G1，E1F∥GH1，EG∩GH1＝G，E1G1∩E1F＝E1，由面面平行的判定定理可知平面E1FG1与平面EGH1平行，故选A. 6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为 ． 答案：平行　解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO(图略).在△BDD1中，点O为BD的中点，点E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，所以BD1∥平面AEC. [对应学生用书P151] 1．(2023·上海模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是(　　) A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β B．若m∥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β C．若m⊥n，m∥α，n∥β，则α∥β D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C　解析：对于A，因为m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，而n⊥β，则α⊥β， 当n⊄α时，在直线m上取点P，过P作直线n′∥n，则m⊥n′，过直线m，n′的平面γ∩α＝l，如图所示， 由m⊥α得m⊥l，于是得l∥n′∥n，而n⊥β，则l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，A正确； 对于B，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n∥β，则存在过直线n的平面Δ，使得Δ∩β＝c， 则有直线c∥n，即有c⊥α，所以α⊥β，B正确； 对于C，如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m， 平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m∥α，n∥β，而α∩β＝AD，C不正确； 对于D，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，得α∥β，D正确． 2．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是(　　) A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APC C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面APC BC　解析：如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN. 易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以A选项错误．对于B，由A知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.所以B选项正确．对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确．对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以D选项错误． 角度1　直线与平面平行的判定 【例1】 (2023·河南开封模拟)如图，O1，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，AA1，BB1，CC1为圆台的母线，AB＝2A1B1＝8.证明：C1D∥平面OBB1O1. 证明：连接DE，O1E，因为C为圆O的直径AB所对弧的中点， 所以△BOC为等腰直角三角形，即∠OBD＝45°， 又D在圆E上，故△BED为等腰直角三角形， 所以DE綊OC， 又CC1是母线且O1C1＝OC，则O1C1∥OC， 故DE綊O1C1，则DEO1C1为平行四边形， 所以EO1∥DC1，又EO1⊂平面OBB1O1，DC1⊄平面OBB1O1， 故C1D∥平面OBB1O1. 角度2　直线与平面平行的性质 【例2】 (2023·重庆巴蜀中学模拟)在四棱锥V­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，BC⊥平面VAB，VA⊥VB，设平面VAB与平面VCD 的公共直线为l.写出图中与直线l平行的直线，并证明． 证明：题图中与l平行的直线为AB 和CD， 因为底面ABCD 为平行四边形，所以CD∥AB， 因为CD⊄ 平面VAB，AB⊂ 平面VAB， 所以CD∥ 平面VAB， 因为平面VAB 与平面VCD 的交线l，CD⊂ 平面VCD， 所以CD∥l，即l∥CD，由平行线的传递性得，l∥AB. 【练1】 (2023·浙江宁波模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点． (1)若M为棱CC1上靠近C点的四等分点，求证：BM∥平面PQC； (2)若平面PQC与直线AA1交于R点，求平面PRQC将正方体分割成的上、下两部分的体积之比． (1)证明：如图，取PC的中点N，DC的中点G，连接NG，NM，NQ， 易得NG∥MC，且NG＝MC，∴四边形MNGC为平行四边形， ∴MN綊CG，又∵CG∥BQ，且CG＝BQ， ∴MN∥BQ，且MN＝BQ，∴四边形MNQB为平行四边形， ∴BM∥NQ，又∵BM⊄平面PQC，NQ⊂平面PQC， ∴BM∥平面PQC. (2)解：如图所示，延长CQ和DA，使其交于E点，连接PE，交A1A于点R， ∵Q是AB的中点，AQ∥DC， ∴A为ED的中点，又AR∥PD， ∴＝＝＝.∴RA＝， V下＝VP­EDC－VR­AEQ＝××2×4×1－××2×1×＝， V上＝V正方体－V下＝， ∴＝. 【练2】 (2023·山东济南模拟)如图，四边形ABCD为长方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l. (1)证明：DF∥平面PBE； (2)证明：DF∥l； (3)求三棱锥P­BDE的体积． (1)证明：如图，取PB中点G，连接FG，EG，因为点E，F分别为AD，PC的中点， 所以FG∥CB，FG＝BC，因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE， 因为DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE. (2)证明：由(1)知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l. (3)解：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD为三棱锥P­BDE的高， 所以VP­BDE＝S△BDE×PD＝××2×2×2＝. 角度1　面面平行的判定 【例3】 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又∵G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB， ∴A1G綊EB. ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 【变式探究】 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M. ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD. ∴D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 角度2　面面平行的性质 【例4】 (2023·河北唐县第一中学模拟)如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF＝2，AB＝1，AD＝. (1)求证：BC⊥AF； (2)求证：AF∥平面DCE. 证明：(1)四边形ABCD为矩形，即AB⊥BC，又BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF＝B， 则有BC⊥平面ABF，而AF⊂平面ABF， 所以BC⊥AF. (2)因为BF∥CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，则BF∥平面CDE. 在矩形ABCD中，AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，则AB∥平面CDE. 又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF＝B，所以平面ABF∥平面CDE，而AF⊂平面ABF， 所以AF∥平面DCE. 【练3】 (2023·山东模拟)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，点E，F分别为边AA1，DD1的中点． (1)求三棱锥E­A1BC的体积； (2)证明：平面CFA1∥平面BDE. (1)解：显然三棱锥E­A1BC与三棱锥C­A1BE的体积相等，即. ∵平行六面体ABCD­A1B1C1D1为长方体， ∴三棱锥C­A1BE的高为BC，且三棱锥C­A1BE的底面面积即， ∴ 三棱锥E­A1BC的体积V＝Sh＝×2×2＝. (2)证明：∵长方体ABCD­A1B1C1D1， ∴AA1綊DD1. ∵点E，F分别为边AA1，DD1的中点， ∴A1E＝DF，A1E∥DF， ∴四边形A1EDF为平行四边形， ∴A1F∥ED. 又A1F⊄平面BDE，ED⊂平面BDE，∴A1F∥平面BDE， 如图，连接AC交BD于点O，连接EO， ∴点O为AC的中点，∴EO∥A1C， 又A1C⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE. ∵A1C∩A1F＝A1，∴平面CFA1∥平面BDE. 【练4】 (2023·江苏模拟)在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值． 解：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，如图所示． 由棱柱的性质可知，四边形AA1B1B为平行四边形，所以O为A1B的中点． 因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1， 所以OD1∥BC1，则D1为A1C1的中点，则D1C1＝A1C1. 因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面AA1C1C∩平面BC1D＝C1D，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1， 所以AD1∥C1D. 又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1为平行四边形， 所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，因此＝1. 【例5】 (2023·江苏扬中第二高级中学模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为(　　) A．1 B． C． D． B　解析：在正方体中，E，F，G，H，I，N分别是CD，DD1，A1D1，A1B1，BB1，BC的中点， 由正方体性质易知BD∥EN，而A1B∥D1C，EF∥D1C，则A1B∥EF， 由BD⊂平面A1BD，EN⊄平面A1BD，则EN∥平面A1BD，同理有EF∥平面A1BD， 由EN∩EF＝E，EN，EF⊂平面EFGHIN，故平面EFGHIN∥平面A1BD， 所以平面EFGHIN中的直线平行于平面A1BD. 由MN∥平面A1BD，则M在直线EF上运动，要使MN最小，只需MN⊥EF， 延长EF，C1C交于K，故只需求出△ENK底边EK上的高即可， 由已知可得CE＝CK＝CN＝1，则△ENK为边长为的等边三角形， 所以底边EK上的高为，即MN最小值为. 【练5】 (2023·湖南衡山模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，已知E，F，I分别是PB，PC，AB上一点，且＝. (1)证明：EI∥平面PAD； (2)若EF∥平面ABCD，证明：平面EFI∥平面PAD. 证明：(1)△PAB中，＝， 所以EI∥PA， 又因为EI⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以EI∥平面PAD. (2)因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC， 所以EF∥BC. 又因为BC∥AD，所以EF∥AD， 又因为EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 又因为EI∥平面PAD，且EF∩EI＝E， EF⊂平面EFI，EI⊂平面EFI， 所以平面EFI∥平面PAD. 学科网（北京）股份有限公司 $$