第7章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二节　空间点、直线、平面的位置关系 课标解读 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． [对应学生用书P145] 1．空间点、线、面位置关系的表示 (1)点A在直线l上，记作A∈l；点B不在直线l上，记作B∉l. (2)点A在平面α内，记作A∈α；点B不在平面α内，记作B∉α. (3)直线a在平面α内，记作a⊂α； 直线b不在平面α内，记作b⊄α. (4)直线a与直线l相交于点O，记作：a∩l＝O，直线b与直线l不相交，记作：b∩l＝∅． (5)直线l与平面α相交于点A，记作：l∩α＝A；直线l与平面α不相交，记作：l∩α＝∅. (6)若平面α和平面β相交于l，记作：α∩β＝l；平面α和平面β不相交，记作：α∩β＝∅． 2．四个基本事实及三个推论 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基本 事实 1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈α，B∈α，则AB⊂α 用来证明直线在平面内 基本 事实 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面 推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇔α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 基本 事实 4 平行于同一条直线的两条直线平行 用来证明线线平行 3.直线与直线的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系有且只有以下三种： ①相交——在同一个平面内，两条直线有且只有一个公共点； ②平行——在同一个平面内，两条直线没有公共点； ③异面——两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点． (2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． (3)异面直线 ①异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． ②异面直线的判定方法：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线． ③异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a′和b′ 结论 我们把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则θ∈(0°，90°] 特殊 情况 如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直 1．判断正误 (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．(　　×　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　√　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　×　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　×　　) 2．下列命题正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 答案：D 3．直线l与平面α不平行，则(　　) A．l与α相交 B．l⊂α C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对 C　解析：因为空间中直线和平面的位置关系有三种，即直线和平面平行、直线和平面相交及直线在平面内，因为直线l与平面α不平行，所以直线l与平面α的位置关系是直线l与平面α相交或l⊂α. 4．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR 等于(　　) A．30° B．30° 或150° C．150° D．以上结论都不对 B　解析：由题意可知AB∥PQ，BC∥QR，且∠ABC＝30°， 根据空间等角定理可知∠PQR 为30° 或150°. 5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C(或其补角)即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形， ∴∠D1B1C＝60°. 6.(基本事实掌握不准致误)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是 . (填“平行”“相交”或“异面”) 答案：相交　解析：∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，∴PQ∥A1D，∴直线A1P与DQ共面． 又∵PQ＝A1D，∴四边形A1DQP是梯形， ∴直线A1P与DQ相交． [对应学生用书P147] 1.(2023·贵州凯里实验高级中学模拟)已知长方体ABCD­A1B1C1D1 中，对角线AC1与平面A1BD 交于点O，则O为△A1BD 的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 C　解析：如图，平面ACC1A1 与平面A1BD 的交线为A1E，显然点E 是BD 的中点，且点O 在A1E 上，故点O 在BD 的中线上， 同理可得，点O 在A1D，A1B 的中线上， 即点O 是△A1BD 三边中线的交点，即为△A1BD 的重心． 2．(多选)(2023·江苏南京江宁区模拟)如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．B，B1，O，M四点共面 B．A，M，O，A1四点共面 C．A，O，C，M四点共面 D．A，M，O三点共线 BCD　解析：连接BD，OM， 则B，B1，O都在平面BB1D1D上， 若M∈平面BB1D1D， 则直线OM⊂平面BB1D1D， ∴A∈平面BB1D1D，显然A∉平面BB1D1D， ∴A不正确． 由M∈A1C，A1C⊂平面ACC1A1，可得A，M，O，A1四点共面，故B正确． 由B选项分析可得A，O，C，M四点共面，故C正确． 连接AC，A1C1，ABCD­A1B1C1D1是长方体， O是B1D1的中点，∴O∈A1C1，OA⊂平面AB1D1，OA⊂平面ACC1A1， ∴平面ACC1A1∩平面AB1D1＝OA， 而直线A1C交平面AB1D1于点M，即M∈OA， ∴D正确． 3．(2023·安徽马鞍山二中模拟)在四棱锥P­ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PD＝PC，∠DPC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，M为PC的中点，＝2.证明：A，B，M，N四点共面． 证明：延长CD，BA交于点Q(图略). 因为AD綊BC， 所以BA＝AQ，CD＝DQ， 连接PQ，在△PQC中，D，M分别为CQ，PC的中点， 故QM与PD的交点为△PQC的重心，设为G，所以＝2. 因为＝2，所以点G与点N重合， 所以A，B，M，N四点都在平面QBM中， 故A，B，M，N四点共面． 【例1】 (1) (2023·四川成都模拟)如图，两个正方形ABCD，ADEF 不在同一个平面内，点P，Q 分别为线段EF，CD 的中点，则直线FQ与PB的关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 (2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行 (1)C　(2)D　解析：(1)如图，取AB 的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD. 又AD∥EF， ∴GQ∥EF，则G，Q，E，F 确定平面GQEF， 又FQ⊂ 平面GQEF，P∈ 平面GQEF，P∉FQ，B∉ 平面GQEF， ∴直线FQ与PB是异面直线．故选C. (2)连接D1E并延长与AD交于点M(图略)，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点． 连接BF并延长，交AD于点N.因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1. 【练1】 (2022·福建福州三模)在底面半径为1的圆柱OO1 中，过旋转轴OO1 作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E 是的中点，F 是AB的中点，则(　　) A．AE＝CF，AC与EF 是共面直线 B．AE≠CF，AC与EF 是共面直线 C．AE＝CF，AC与EF 是异面直线 D．AE≠CF，AC与EF 是异面直线 D　解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD 为边长为2的正方形， 点E 是 的中点，F 是AB 的中点，所以AC⊂ 平面ABC，EF 与平面ABC相交，且与AC无交点， 所以AC 与EF 是异面直线；又CF＝＝，AE＝＝，所以AE≠CF. 【练2】 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是底面正方形ABCD的中心，M是CC1的中点，N是C1D1的中点，则下列说法正确的是(　　) A．ON＝BM，且直线ON，BM是异面直线 B．ON＝BM，且直线ON，BM是相交直线 C．ON≠BM，且直线ON，BM是异面直线 D．ON≠BM，且直线ON，BM是相交直线 A　解析：根据题意，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2a， 取BC的中点P，连接C1P，OP，如图所示． 由于OP綊NC1，则四边形OPC1N是平行四边形， 则有ON∥PC1且ON＝PC1.在平面BCC1B1中，边长为2a，P为BC的中点，M是CC1的中点， BM与PC1相交且BM＝PC1＝＝a， 故ON＝BM，且直线ON，BM是异面直线． 【例2】 (2023·四川南充模拟)将边长为1的正方形AA1O1O (及其内部)绕OO1 旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C 在平面AA1O1O 的同侧，则异面直线B1C与OA 所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　解析：作出过点B1 的圆柱的母线B1B，连接BC，OB，如图所示， 则有∠AOB＝∠A1O1B1＝， 而∠AOC＝，即有∠BOC＝，△OBC 为正三角形，∠OBC＝∠AOB＝， 因此，BC∥OA，∠BCB1 是异面直线B1C 与OA 所成的角． 由BB1⊥平面OBC 得BB1⊥BC，而BC＝OB＝OA＝AA1＝BB1，从而有∠BCB1＝，cos∠BCB1＝， 所以异面直线B1C 与OA 所成的角的余弦值为. 【变式探究】 本例变为：如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值． 解：连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角． 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝ ，A1B＝BC1＝ ， 故cos ∠A1BC1＝ ＝ ，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 . 【练3】 (2023·江西新余二模)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，点E，F分别是棱AB，AA1的中点，E，F，C1∈平面α，直线A1D1∩平面α＝P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图，连接EF并延长，交线段B1A1的延长线于点G，连接GC1交A1D1于点P， 知A1P＝A1D1，连接BA1，由正方体的结构特征知CD1∥BA1， ∴异面直线BP与CD1所成的角为∠PBA1， 在△PBA1中，由已知得A1P＝1，A1B＝2，BP＝＝3， 则cos ∠PBA1＝＝. 【例3】 (1)(2023·山东青岛模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1 中，E，F 分别为BC，CC1 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面多边形的形状为(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 (2)已知长方体ABCD­A1B1C1D1 中AB＝AA1＝4，BC＝3，M为AA1 的中点，N为C1D1 的中点，过B1 的平面α与DM，A1N 都平行，则平面α 截长方体所得截面的面积为(　　) A.3 B．3 C．4 D．5 (1)B　(2)A　解析：(1)如图，把平面AEF 补形为四边形AEFD1， 连接AD1，BC1，因为E，F 分别为BC，CC1 的中点，则EF∥BC1. 又在正方体ABCD­A1B1C1D1 中，AD1∥BC1， 所以EF∥AD1，则A，D1，F，E 四点共面． 则平面AEF 截正方体所得的截面多边形的形状为四边形． (2)如图，过B1 作B1E∥A1N 交D1C1 的延长线于点E，则C1E＝D1C1，若G 为CC1的中点，连接B1G， 而M为AA1 的中点，在长方体中，B1G∥DM，而B1G∩B1E＝B1 且B1G，B1E⊂平面B1GE. 由A1N⊄平面B1GE，则A1N∥平面B1GE，由DM⊄平面B1GE，则DM∥平面B1GE， 所以平面B1GE 即为平面α，延长EG 交DC 于F， 故A，F，E，G，B1 共面． 连接AF，即平面AFGB1为平面α 截长方体所得截面． 延长AF，B1G 分别交BC 于一点，而在△ABH，△B1BH中CF，CG 都为中位线， 由AB＝AA1＝4，BC＝3，则＝， 故AF，B1G 交BC 于同一点H， 易知△AHB1为等腰三角形且AH＝B1H＝2，AB1＝4，则cos ∠AHB1＝＝， 可得sin ∠AHB1＝. 又SAFGB1＝S△AHB1＝××52×＝3. 【练4】 已知正方体ABCD­A1B1C1D1 的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF 截该正方体所得的截面图形周长为(　　) A．6 B．10 C．＋2 D． D　解析：如图，取CC1 的中点G，连接BG，则D1E∥BG，取CG 的中点N，连接FN，则FN∥BG， 所以FN∥D1E，则直线FN⊂ 平面D1EF， 延长D1E，DA 交于H，连接FH 交AB 于点M，连接ME，则A 为HD 的中点． 则平面D1EF 截该正方体所得的截面图形为D1EMFN. 由条件可得A1E＝AE＝2，则C1N＝3，CN＝1， 则D1E＝＝2， D1N＝＝5，FN＝＝. 取AD的中点Q，连接QF，则AM∥FQ，所以＝， 所以AM＝×FQ＝×4＝，则MB＝， 则ME＝＝＝， MF＝＝＝， 所以截面图形周长为D1E＋ME＋MF＋FN＋ND1＝2＋＋＋＋5＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$