河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月测试数学试题

2023-2024学年高一年级下学期5月份测试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 命题人： 审题人： 使用日期：5月29日 说明： 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时间120分钟. 2.将Ⅰ卷和Ⅱ卷的答案都写在答题卷上，在试卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。 1．复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某市高中采用按比例分配的分层随机抽样的方法从三个年级的教师队伍中抽取若干名教师调查心血管疾病情况，有关数据如下表所示，则抽取样本中教师的总人数为(　　) 教师人数 抽取人数 高一年级 69 x 高二年级 57 y 高三年级 54 18 A．58 B．59 C．60 D．62 3．已知m, n表示两条不同的直线，α， β表示两个不重合的平面，且m∥α，下列说法中正确的是(　　) A．若m∥β，则α∥β B．若α∥β，则m∥β C．若m⊥β，则α⊥β D．若α⊥β，则m⊥β 4．设（a，b，）.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程的解的情况，下列描述正确的是( ) A.方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B.可能方程有四个实数根的解 C.可能有两个实数根，两个纯虚数根 D.可能方程没有纯虚数根的解 5．已知与共线，且向量与向量垂直，则（　　） A． B． C． D． 6．已知非零向量满足，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的3分。有选错的得0分. 9．设A, B是两个概率大于0的随机事件，下列说法中正确的有(　　) A．若事件A和B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1 B．若事件A和B是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1 C．若事件A和B相互独立，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．若事件A和B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B) 10．某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中正确的有(　　) (第10题) A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 B．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 C．该市14天空气质量指数的第30百分位数为55 D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大 11．在三角形中，令，，若，，，，则（　　） A．，的夹角为 B．， C． D．三角形的边上的中线长为 3、 填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分. 12．某人掷一颗骰子25次，其中点数1向上4次、点数2向上5次、点数3向上2次、点数4向上3次、点数5向上6次、点数6向上5次，则点数为偶数的经验概率是______. 13．设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为 . 14．已知，则在方向上的投影为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求B； （2）若，，求的面积的最大值. 16．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围 17．（15分）如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面. 18．(12分)已知|a|＝2, |b|＝， (a＋2b)·(b－3a)＝9.　 (1) 求a与b的夹角θ； (2) 在△ABC中，若＝a, ＝b，求边BC的长． 19．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1, 2), B(－5, 4), C(1, －1)． (1) 分别求出以线段AB, AC为邻边的平行四边形的两条对角线长． (2) 是否存在实数t，使得向量－t与向量OB垂直？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由． 19．(12分)为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为， ， ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． (1) 分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2) 求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率． 22．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°， E为CD的中点，PA⊥底面ABCD, PA＝2. (1) 求证：平面PBE⊥平面PAB； (2) 求点D到平面PBE的距离； (3) 求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值． 数学参考答案 1．A　2．C　3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．C 9. AD 10.BCD 11．ABD 12． 13． 14． 15．【详解】（1）由题意，在中，，∵， ∴,即，∴，∵，∴，可得，解得：. （2）由题意及（1）得在中，，，，∴为边的中点， ∴,∴，即，设，，则，所以，当且仅当时，等号成立.∴，当且仅当时，等号成立，∴的面积的最大值为. 16．【解析】（1）在中，，∵， ∴，即， 由正弦定理得：，∴，∴，又，∴，∴. (2)由正弦定理得：，∴，， ∴ ，∵，∴，即， ∴，，∴，即. 17．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，， ∵是菱形的对角线，的交点， ∴，且， 又∵，且， ∴，且， 从而为平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 证明：连接， ∵四边形为菱形，∴， ∵，是的中点，∴， 又，平面， ∴平面，又平面， ∴平面平面. 18.解：(1)根据题意得，，即，解得，因为为边上的高，所以，解得. (2)① 由（1）知，所以，所以， 所以，因为， 所以，所以，即， 又，所以 ，解得，不符合题意，故不存在实数使 ② ，， 所以 当时取得最小值，即. 所以的最小值为：. 18．(1) 由(a＋2b)·(b－3a)＝－3a2＋2b2－5a·b＝9，得a·b＝－3，所以cosθ＝＝－.又θ∈[0, π]，所以θ＝　 (2) 因为＝－＝b－a，所以||2＝(b－a)2＝b2＋a2－2a·b＝13，从而边BC的长度为||＝　 19．(1) 记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B．甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)＝××＝.甲队得1分，即三人中只有1人答对，其余2人答错，其概率为P(B)＝××＋××＋××＝.所以甲队总得分为3分与1分的概率分别为， 　 (2) 记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D．事件C即甲队三人中有2人答对，1人答错，则P(C)＝××＋××＋××＝.事件D即乙队三人中只有1人答对，其余2人答错，则P(D)＝××＋××＋××＝.由题意得事件C与事件D相互独立，所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝×＝　 1 学科网（北京）股份有限公司 $$