2024年中考数学复习-二次函数中与角有关的存在性问题复习讲义

二次函数中与角有关的存在性问题复习讲义 与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。 【类型一 相等角的存在性问题】 方法一：角相等，则正切值相等(锐角范围内) 【例1】如图，抛物线 与x轴交于点A和点B(3,0), 与y轴交于点C(0,3), 点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB. (1)求此抛物线的解析式. (2) 点M 是抛物线上的动点, 设点M的横坐标为m.当∠MBA=∠BDE时, 求点M的坐标. 【解答】(1) 把点B(3,0), C(0,3)代入 得到 解得 ∴抛物线的解析式为∴顶点D坐标(1,4).(2) 作 轴于G, 连接BM. 则. 设 ∵DE⊥x轴, D(1,4), ∴∠DEB=90°, DE=4, OE=1, 当点M在x轴上方时， 解得 或3 (舍去), 当点M在x轴下方时， 解得 或m=3 (舍去), ∴点 综上所述，满足条件的点M坐标 或 提示：也可以利用△DBE∽△BMG来求解，大家不妨自己尝试。 方法二：利用平行线构造相等角 【例2】如图，抛物线 与x轴交于点A(-5,0), B(1,0), 顶点为D, 与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式及D点坐标； (2)在直线AC 上方的抛物线上是否存在点E，使得∠ECA=2∠CAB，如果存在这样的点E，求出 面积，如果不存在，请说明理由. 【解答】(1) ∵抛物线 与x轴交于点 A(-5,0), B(1,0),抛物线的表达式为： ∴顶点 (2) 如图, 过点C作CM∥AB , 过点E 作EF⊥CM , 设点 交y轴交于点C , ∴点 ∵CM∥AB , ∴∠MCA=∠CAB , ∵∠ECA=2∠CAB=∠ECF+∠MCA, ∴∠ECF =∠CAB , 且. 即 解得∴m=0 (不合题意), m=-3, ∴点 【例3】如图, 直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线 与直线 分别交y轴的，正半轴于点 C和第一象限的点P，连接PB，得 (O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点 F，设M是点C，F间抛物线上的一点(包括端点)，其横坐标为m. (1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式； (2)求满足. 的点 M的坐标. 【简答】(1)易得点P的坐标为(3，4)，抛物线的解析式为 (2) ①当点 M 在线段OP 上方时, 轴, ∴当点C、M重合时, , ∴点M的坐标为 (0, 4); ②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取.点 D，连接DP，使得I 此时 设点D的坐标为(n, 0), 则 解得： ∴点D的坐标为 设直线PD的解析式为y=kx+a(k≠0), 将P (3, 4)、D ( , 0) 代入y=kx+a,可求得直线PD的解析式为 联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组即可解得点 M 的坐标为 综上所述: 满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为(0, 4) 或 方法三：利用圆周角定理构造相等角 【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点C(0,3),交x轴于点A、B(A点在 B 点左侧),顶点为D. (1) 求抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2) 将 沿直线BC对折， 点A的对称点为. 试求 的坐标； (3) 抛物线的对称轴上是否存在点P，使 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】(1) ∵把C(0,3)代入 得-9a=3, 解得 ∴所以抛物线的解析式为 ∵令 得: 解得： (2) 如图1, 作. 轴, 垂足为H. 且∠AOC=∠COB=90°, ∴△AOC∽△COB. ∴∠ACO=∠CBO. ∵A'H||OC, AC=A'C, ∴OH=OA=1, A'H=2OC=6; ∴A'(1,6); (3) 分两种情况: ①如图2, 以AB为直径作⊙M, ⊙M交抛物线的对称轴于P(BC的下方) . ∴点 P的横坐标为 4 .由圆周角定理得. ②如图3所示：以A'B为直径作 交抛物线的对称轴于P'，过点M'作. 垂足为E，连接 ∵点A'与点A关于 BC对称, ∵∠CP'B=∠CA'B, ∴∠CP'B=∠A.∵A'(1,6), B(9,0), ∴M'(5,3). ∴M'E=1. ∴点 P'的坐标为 综上所述, 点P的坐标为P(4,-5)或( 【类型二 二倍角或半角的存在性问题】 (一)二倍角的构造方法 如图，已知∠α，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2α，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则∠ADC=2α. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数(一般用正切)计算就可以了。 【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 A，与y轴交于点C，抛物线 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D 为直线 AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点 E, △CDE的面积为S₁,△BCE 的面积为S 求 的最大值； ②过点 D 作DF⊥AC, 垂足为点F, 连接CD, 是否存在点D, 使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。 【简答】(1)根据题意得A(-4, 0), C(0, 2), (2)①易知B(1, 0), 过 D作 轴交 AC于M, 过B作 轴交于 AC于N, 设 ∴当.a=-2时, 取最大值是 ②∵A(-4, 0), B(1, 0), C(0, 2), ∴OA=4, OC=2, ∴在OA上取一点 P使得PA=PC, 设OP=m, 则 PC=PA=4-m, 在RT△PCO中, 由勾股定理得: 解得 过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G， 情况一: 如图2, ∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG, 即 设 舍去), 情况二： 设 , 则DC=5k, 舍去), ∴点 D 的横坐标为-2 或 (二)半角的构造方法 如图1，已知∠α，构造半角可以用下面两种办法： 方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图2，延长CB至D，使得I 则 若AC、BC的长度已知，则容易求出 的值，从而进行相关计算。 方法二: 如图3, 直接做∠α的角平分线BE, 若AC、BC的长度已知, 则容易求出tan∠EBC的值。 【例6】如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y=a(x+5)(x-3)与x轴交于A, B 两点(点A在点B 的左侧),且过点(2, 4), (1)接写出a的值和点 B的坐标； (2)将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于MN两点两抛物线交于点 P，求点M到直线PB的距离； (3)在(2)的条件下，若点D为直线BP上的一个动点，是否存在点D，使得 若存在，请求点 D的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】(1) 将点 (-2, 4) 代入y=a(x+5)(x-3)得: 解得： 点 B坐标为 (3, 0), 点P (0, 4), 则PB=5; (2)平移后, 点A、M、N的坐标分别为(-5, 0)、(-3, 0)、(3, 0),设点 M到直线PB的距离为h， 则 即: h×5=6×4, 解得: ∴点M到直线PB的距离为 (3)存在,设 过点B作∠PBA的平分线BH交y轴于点H, 过点H作HG⊥PB于点G, 设OH=m, 则HG=m, PH=4-m, PG=PB-BG=5-3=2, 则. 即 解得： 设 DA 与y轴交于 Q, 则 由A、Q两点坐标可求得直线AD的表达式为： 易求得直线PB 的表达式为： 联立①②并解得： 故点 【针对练习】 1.如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 与y轴交于点C, 与x轴交于A, B两点, 点B的坐标为(3,0),直线. 恰好经过B，C两点 (1)求出抛物线 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 A 的坐标； (2)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且. 求点 P的坐标. 2.如图,抛物线 与x轴交于点A(-2,0), B(6,0), 与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点D(4，m)在抛物线上，连接BC、BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足 如果存在，请求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 3.如图,抛物线 与x轴交于 与y轴交于 点D在该抛物线上, 且点D的横坐标为3, 连接BC、BD, (1)求该抛物线的解析式； (2) 设 求 的值； (3)点D关于抛物线对称轴的对称点为E，连接BE，在抛物线上是否存在点P，使得 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 4.抛物线 与x轴交于 A(1, 0), B(m, 0), 与y轴交于 C. (1) 若 ，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴； (2)如图,设 于G，在线段OG上是否存在点P，使 若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 5.如图，已知抛物线 经过 两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD. (1)求该抛物线的表达式； (2)点P 为该抛物线上一动点(与点 B 、C不重合)，设点P 的横坐标为t. ①当点P 在直线BC的下方运动时，求 的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图,抛物线 交x轴于 A、B两点, 交y轴于点C, 直线 经过B、C两点. (1)求抛物线的解析式； (2) 过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于 的2倍时，请直接写出点M的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$